משפט הסינוסים

מבוא

בכיתה י' למדתם טריגונומטריה במשולש ישר-זווית בעזרת sin, cos ו-tan. אבל מה עושים כשהמשולש אינו ישר-זווית? משפט הסינוסים הוא הכלי שמרחיב את הטריגונומטריה לכל משולש במישור, ומקשר בין צלעות המשולש, הזוויות שמולן ורדיוס המעגל החוסם אותו.

מטרות השיעור

להכיר את משפט הסינוסים: $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R$
לזהות נכון איזו צלע נמצאת מול איזו זווית
לפתור משולש כללי: למצוא צלעות וזוויות חסרות
להבין את הקשר בין משפט הסינוסים לבין רדיוס המעגל החוסם R

הרעיון המרכזי

משפט הסינוסים

במשולש ABC, שבו a, b, c הם אורכי הצלעות ו-A, B, C הן הזוויות שמולן, מתקיים:

\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R

כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

שתי תובנות חשובות:

כל צלע מחולקת בסינוס הזווית שמולה (לא הסמוכה!).
לצלע ארוכה יותר מתאימה זווית גדולה יותר, ולהפך.
הביטוי $\frac{a}{s i n A}$ נותן את קוטר המעגל החוסם 2R, ולא את הרדיוס.

מתי משתמשים במשפט הסינוסים? כשנתונים זווית והצלע שמולה ועוד נתון אחד (זווית נוספת או צלע נוספת). זהו המצב הנפוץ: שתי זוויות וצלע, או שתי צלעות וזווית שמול אחת מהן.

בדיקה מהירה

מהי הצורה הנכונה של משפט הסינוסים במשולש ABC?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת צלע משתי זוויות וצלע

במשולש $ABC: a = 10, A = 30^{\circ}, B = 45^{\circ}$ . מצאו את b.

b = \frac{a s i n B}{s i n A} = \frac{10 s i n 4 5 ^{\circ}}{s i n 3 0 ^{\circ}} \approx 14.14

הצלע b גדולה מ-a כי הזווית שמולה (45°) גדולה מ-30°.

שלב 1 — בוחרים יחס מתאים

נתונים a, A וגם B. נשתמש ביחס

\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}

תשובה מספרית

במשולש ABC נתון $a = 10, A = 30^{\circ}, B = 45^{\circ}$ . חשבו את אורך הצלע b (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: פתרון משולש מלא

במשולש $ABC: a = 8, A = 40^{\circ}, B = 60^{\circ}$ . מצאו את C, b ו-c.

C = 8 0^{\circ}, b \approx 10.78, c \approx 12.26

תמיד מתחילים מהזווית החסרה — היא מאפשרת להשתמש במשפט הסינוסים לכל צלע.

שלב 1 — הזווית השלישית

C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 60^{\circ} = 80^{\circ}

דוגמה 3: מציאת רדיוס המעגל החוסם

במשולש $ABC: a = 10, A = 30^{\circ}$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם R.

2 R = \frac{a}{s i n A} = \frac{10}{s i n 3 0 ^{\circ}} = 20 \Rightarrow R = 10

זהירות: $\frac{a}{s i n A}$ שווה לקוטר 2R, ולכן חילקנו בשתיים כדי לקבל את הרדיוס.

שלב 1 — כותבים את הקשר ל-2R

\frac{a}{\sin A} = 2R

תשובה מספרית

משולש ABC חסום במעגל. נתון $AC = 18 ($ הצלע שמול הזווית B) והזווית $B = 72^{\circ}$ . חשבו את רדיוס המעגל החוסם R (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מציאת זווית מתוך צלעות

במשולש $ABC: a = 7, A = 35^{\circ}, b = 10$ . מצאו את הזווית B (זווית חדה).

sin B = \frac{b s i n A}{a} = \frac{10 s i n 3 5 ^{\circ}}{7} \approx 0.8194 \Rightarrow B \approx 5 5^{\circ}

שלב 1 — היחס המתאים

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} → \sin B = b \cdot \frac{\sin A}{a}

תשובה מספרית

במשולש ABC נתון $a = 10$ ו- $A = 30^{\circ}$ . חשבו את רדיוס המעגל החוסם R.

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משייכים את הצלע לזווית הסמוכה במקום לזווית שמולה

טעות: שימוש ב- $\frac{a}{s i n B}$ כי הזווית B צמודה לצלע a.

נכון: $\frac{a}{s i n A}$ — הצלע a מול הזווית A.

למה זה קורה?

תלמידים מסתכלים על הזווית הקרובה לצלע ולא על זו שממול.

איך מתקנים?

כל צלע משויכת לזווית שנמצאת מולה: a מול A, b מול B, c מול C.

טעות נפוצה: שוכחים את סכום הזוויות $180^{\circ}$

אם נתונים $A = 4 0^{\circ}$ ו- $B = 6 0^{\circ}$ , אז $C = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 8 0^{\circ}$ .

למה זה קורה?

ניגשים ישר לנוסחה בלי למצוא את הזווית החסרה.

איך מתקנים?

לפני יישום משפט הסינוסים, השלימו זווית חסרה דרך

A + B + C = 180^{\circ}

טעות נפוצה: מבלבלים בין 2R לבין R

טעות: $R = \frac{10}{s i n 3 0 ^{\circ}} = 20$ (זה הקוטר, לא הרדיוס!)

נכון: $2 R = 20 \Rightarrow R = 10$

למה זה קורה?

הביטוי

\frac{a}{\sin A}

נראה כמו 'רדיוס', אך הוא הקוטר.

איך מתקנים?

\frac{a}{\sin A} = 2R

הוא הקוטר. כדי לקבל את הרדיוס חלקו בשתיים:

R = \frac{a}{2 \cdot \sin A}

טעות נפוצה: עיגול מוקדם מדי שמעוות את התוצאה

$sin 7 2^{\circ} \approx 0.9511$ (ולא 0.95). עיגול גס משבש את התשובה הסופית.

למה זה קורה?

מעגלים

\sin

של זווית לספרה אחת ואז התשובה הסופית רחוקה.

איך מתקנים?

שמרו לפחות 4 ספרות בערכי הסינוס ועגלו רק בסוף.

סיכום

מה למדנו?

משפט הסינוסים:

\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R

נקודות מפתח:

כל צלע מחולקת בסינוס הזווית שמולה.
צלע ארוכה יותר ↔ זווית גדולה יותר.
$\frac{a}{s i n A} = 2 R$ — הקוטר! לרדיוס חלקו בשתיים.
מתחילים מהשלמת הזווית החסרה (סכום 180°).
שומרים ערכי סינוס מדויקים ומעגלים רק בסוף.

עכשיו אתם יכולים לפתור כל משולש שבו נתונה זווית והצלע שמולה!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על משפט הסינוסים ופתרון משולשים.

משפט הסינוסים

משפט הסינוסים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת צלע משתי זוויות וצלע

במשולש ABC:a=10,A=30∘,B=45∘ABC: a = 10, A = 30^{\circ}, B = 45^{\circ}ABC:a=10,A=30∘,B=45∘. מצאו את b.

דוגמה 2: פתרון משולש מלא

במשולש ABC:a=8,A=40∘,B=60∘ABC: a = 8, A = 40^{\circ}, B = 60^{\circ}ABC:a=8,A=40∘,B=60∘. מצאו את C, b ו-c.

דוגמה 3: מציאת רדיוס המעגל החוסם

במשולש ABC:a=10,A=30∘ABC: a = 10, A = 30^{\circ}ABC:a=10,A=30∘. מצאו את רדיוס המעגל החוסם R.

דוגמה 4: מציאת זווית מתוך צלעות

במשולש ABC:a=7,A=35∘,b=10ABC: a = 7, A = 35^{\circ}, b = 10ABC:a=7,A=35∘,b=10. מצאו את הזווית B (זווית חדה).

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משייכים את הצלע לזווית הסמוכה במקום לזווית שמולה

טעות נפוצה: שוכחים את סכום הזוויות 180∘180^{\circ}180∘

טעות נפוצה: מבלבלים בין 2R לבין R

טעות נפוצה: עיגול מוקדם מדי שמעוות את התוצאה

סיכום

תרגול נוסף

במשולש $ABC: a = 10, A = 30^{\circ}, B = 45^{\circ}$ . מצאו את b.

במשולש $ABC: a = 8, A = 40^{\circ}, B = 60^{\circ}$ . מצאו את C, b ו-c.

במשולש $ABC: a = 10, A = 30^{\circ}$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם R.

במשולש $ABC: a = 7, A = 35^{\circ}, b = 10$ . מצאו את הזווית B (זווית חדה).

טעות נפוצה: שוכחים את סכום הזוויות $180^{\circ}$