טריגונומטריה עם משפטי המעגל

מבוא

עד כה למדנו את משפט הסינוסים ואת נוסחאות השטח בנפרד. בבעיות אמיתיות — וגם בבחינת הבגרות — מופיע לרוב שילוב של טריגונומטריה עם משפטי המעגל והגאומטריה האוקלידית. בשיעור זה נראה כיצד הזוויות ההיקפיות והמרכזיות, וגם הזווית הישרה הנשענת על קוטר, נפגשות עם משפט הסינוסים כדי לפתור בעיות מורכבות.

מטרות השיעור

להיזכר במשפטי המעגל: זווית מרכזית = פי שניים מזווית היקפית על אותה קשת
לזכור שזווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90°
לקשר בין מיתר, רדיוס המעגל החוסם והזווית ההיקפית: $מיתר = 2 R sin φ$
לשלב את כל הכלים לפתרון בעיות מורכבות ולחישוב שטחים בתוך מעגל

הרעיון המרכזי

הגשר בין המעגל לטריגונומטריה

משפטי המעגל המרכזיים:

זווית מרכזית = פי שניים מהזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת.
זווית היקפית הנשענת על קוטר = 90° (משולש ישר-זווית).
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת — שוות.

הגשר לטריגונומטריה: במשולש ABC החסום במעגל שרדיוסו R מתקיים

\frac{a}{s i n A} = 2 R \Rightarrow a = 2 R sin A

כלומר כל מיתר שווה ל-2R כפול הסינוס של הזווית ההיקפית הנשענת עליו. זהו בדיוק משפט הסינוסים, והוא הקשר הישיר בין המעגל לבין הטריגונומטריה.

אסטרטגיית הפתרון בבעיות משולבות: מזהים מהמעגל זווית או רדיוס, מתרגמים את הנתון לצלע/זווית במשולש, ואז מפעילים את משפט הסינוסים או את נוסחת השטח.

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: זווית היקפית הנשענת על קוטר המעגל היא תמיד $90^{\circ}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מזווית היקפית לזווית מרכזית

זווית היקפית הנשענת על קשת היא $35^{\circ}$ . מצאו את הזווית המרכזית על אותה קשת.

∠_{מרכזית} = 2 \cdot 3 5^{\circ} = 7 0^{\circ}

שלב 1 — המשפט המתאים

זווית מרכזית = פי שניים מהזווית ההיקפית על אותה קשת

דוגמה 2: מיתר, רדיוס וזווית היקפית

במעגל שרדיוסו $R = 6$ , מיתר נשען על זווית היקפית של $40^{\circ}$ . מצאו את אורך המיתר.

מיתר = 2 R sin 4 0^{\circ} = 12 \cdot 0.6428 \approx 7.71

המיתר הוא הצלע שמול הזווית ההיקפית במשולש החסום.

שלב 1 — הקשר

מיתר

= 2R \cdot \sin (

הזווית ההיקפית)

תשובה מספרית

מיתר במעגל שרדיוסו $R = 6$ נשען על זווית היקפית של $40^{\circ}$ . חשבו את אורך המיתר (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: ניצול הזווית הישרה על קוטר

במשולש ABC, הצלע AB קוטר באורך 20 והזווית $A = 30^{\circ}$ . מצאו את BC.

BC = A B sin A = 20 sin 3 0^{\circ} = 10

זיהוי הקוטר מיד נותן משולש ישר-זווית.

שלב 1 — זווית על קוטר

AB קוטר ⟸ הזווית C הנשענת עליו היא

90^{\circ}

. המשולש ישר-זווית ב-C.

תשובה קצרה

במשולש ABC החסום במעגל, הצלע AB היא קוטר באורך 20, והזווית $A = 30^{\circ}$ . חשבו את אורך הצלע BC ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה. כתבו את הערך המספרי בלבד.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שטח משולש חסום מהרדיוס והזוויות

משולש חסום במעגל $R = 10$ עם זוויות $50^{\circ}, 60^{\circ}, 70^{\circ}$ . מצאו את השטח.

S = \frac{1}{2} ab sin C \approx 124.68

קיצור שימושי: $S = 2 R^{2} sin A sin B sin C$ .

שלב 1 — מוצאים צלעות

a = 2R \cdot \sin 50^{\circ} = 20 \cdot 0.766 = 15.32, b = 2R \cdot \sin 60^{\circ} = 20 \cdot 0.866 = 17.32

תשובה מספרית

משולש ABC חסום במעגל שרדיוסו $R = 10$ . זוויות המשולש הן $A = 50^{\circ}, B = 60^{\circ}, C = 70^{\circ}$ . חשבו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.5

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שטח מורכב בתוך מעגל

מרובע חסום ABCD מחולק באלכסון AC. במשולש $ABC: AB=12, BC=9, B=80^{\circ}$ . במשולש $ACD: AD=10, DC=11, D=100^{\circ}$ . מצאו את שטח המרובע.

S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 sin 8 0^{\circ} + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 11 sin 10 0^{\circ} \approx 107.34

שימו לב: במרובע חסום זוויות נגדיות משלימות ל-180°, ולכן $sin 10 0^{\circ} = sin 8 0^{\circ}$ .

שלב 1 — שטח ABC

S_{1} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 \cdot \sin 80^{\circ} = 54 \cdot 0.9848 ≈ 53.18

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין זווית מרכזית לזווית היקפית

זווית היקפית 35° ↔ זווית מרכזית $2 \cdot 3 5^{\circ} = 7 0^{\circ}$ .

למה זה קורה?

לא זוכרים מי כפולה ממי.

איך מתקנים?

הזווית המרכזית כפולה מההיקפית הנשענת על אותה קשת: מרכזית

= 2 \cdot

היקפית.

טעות נפוצה: לא מזהים את הזווית הישרה על קוטר

AB קוטר $\Rightarrow ∠ C = 9 0^{\circ}$ .

למה זה קורה?

מפספסים שמיתר שהוא קוטר יוצר זווית היקפית של

90^{\circ}

איך מתקנים?

כל אימת שמיתר הוא קוטר — הזווית ההיקפית הנשענת עליו

90^{\circ}

. חפשו את המשולש ישר-הזווית!

טעות נפוצה: שוכחים ש- $\frac{a}{\sin A} = 2R ($ קוטר ולא רדיוס)

\frac{a}{s i n A} = 2 R \Rightarrow R = \frac{a}{2 s i n A}

למה זה קורה?

לא מקשרים בין הצלע במשולש החסום לבין רדיוס המעגל.

איך מתקנים?

במשולש חסום

a = 2R \cdot \sin A

. לקבלת R חלקו את 2R בשתיים.

טעות נפוצה: חושבים ש- $\sin$ של זווית קהה במרובע חסום שונה מהמשלימה

sin 10 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 10 0^{\circ}) = sin 8 0^{\circ}

למה זה קורה?

לא מנצלים את הקשר בין זוויות נגדיות במרובע חסום.

איך מתקנים?

במרובע חסום זוויות נגדיות משלימות ל-

180^{\circ}

, ו-

\sin (180^{\circ}-x) = \sin x

סיכום

מה למדנו?

הגשר בין המעגל לטריגונומטריה:

זווית מרכזית = פי שניים מזווית היקפית על אותה קשת.
זווית על קוטר = 90° → משולש ישר-זווית.
מיתר $= 2 R sin φ$ (משפט הסינוסים).
שטח משולש חסום $= 2 R^{2} sin A sin B sin C$ .
במרובע חסום זוויות נגדיות משלימות ל-180°.

אסטרטגיה: מזהים נתון מהמעגל → מתרגמים לצלע/זווית → מפעילים סינוסים או נוסחת שטח.

עכשיו אתם יכולים לפתור בעיות שמשלבות מעגל, גאומטריה אוקלידית וטריגונומטריה!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על שילוב טריגונומטריה עם משפטי המעגל.

טריגונומטריה עם משפטי המעגל

טריגונומטריה עם משפטי המעגל

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מזווית היקפית לזווית מרכזית

זווית היקפית הנשענת על קשת היא 35∘35^{\circ}35∘. מצאו את הזווית המרכזית על אותה קשת.

דוגמה 2: מיתר, רדיוס וזווית היקפית

במעגל שרדיוסו R=6R = 6R=6, מיתר נשען על זווית היקפית של 40∘40^{\circ}40∘. מצאו את אורך המיתר.

דוגמה 3: ניצול הזווית הישרה על קוטר

במשולש ABC, הצלע AB קוטר באורך 20 והזווית A=30∘A = 30^{\circ}A=30∘. מצאו את BC.

דוגמה 4: שטח משולש חסום מהרדיוס והזוויות

משולש חסום במעגל R=10R = 10R=10 עם זוויות 50∘,60∘,70∘50^{\circ}, 60^{\circ}, 70^{\circ}50∘,60∘,70∘. מצאו את השטח.

דוגמה 5: שטח מורכב בתוך מעגל

מרובע חסום ABCD מחולק באלכסון AC. במשולש ABC:AB=12,BC=9,B=80∘ABC: AB=12, BC=9, B=80^{\circ}ABC:AB=12,BC=9,B=80∘. במשולש ACD:AD=10,DC=11,D=100∘ACD: AD=10, DC=11, D=100^{\circ}ACD:AD=10,DC=11,D=100∘. מצאו את שטח המרובע.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין זווית מרכזית לזווית היקפית

טעות נפוצה: לא מזהים את הזווית הישרה על קוטר

טעות נפוצה: שוכחים ש-asin⁡A=2R(\frac{a}{\sin A} = 2R (sinAa​=2R(קוטר ולא רדיוס)

טעות נפוצה: חושבים ש-sin⁡\sinsin של זווית קהה במרובע חסום שונה מהמשלימה

סיכום

תרגול נוסף

זווית היקפית הנשענת על קשת היא $35^{\circ}$ . מצאו את הזווית המרכזית על אותה קשת.

במעגל שרדיוסו $R = 6$ , מיתר נשען על זווית היקפית של $40^{\circ}$ . מצאו את אורך המיתר.

במשולש ABC, הצלע AB קוטר באורך 20 והזווית $A = 30^{\circ}$ . מצאו את BC.

משולש חסום במעגל $R = 10$ עם זוויות $50^{\circ}, 60^{\circ}, 70^{\circ}$ . מצאו את השטח.

מרובע חסום ABCD מחולק באלכסון AC. במשולש $ABC: AB=12, BC=9, B=80^{\circ}$ . במשולש $ACD: AD=10, DC=11, D=100^{\circ}$ . מצאו את שטח המרובע.

טעות נפוצה: שוכחים ש- $\frac{a}{\sin A} = 2R ($ קוטר ולא רדיוס)

טעות נפוצה: חושבים ש- $\sin$ של זווית קהה במרובע חסום שונה מהמשלימה