טרנספורמציות של פונקציות

מבוא

מטרות השיעור

לבצע הזזה אנכית f(x)+k והזזה אופקית f(x-p)
לזהות שיקוף ביחס לציר x (-f(x)) ושיקוף ביחס לציר y (f(-x))
לבצע מתיחה/כיווץ אנכי $a \cdot f (x)$ וערך מוחלט |f(x)|
לשלב כמה טרנספורמציות יחד ולקבל את משוואת הפונקציה החדשה ואת גרפה

טרנספורמציות מאפשרות לבנות גרף חדש מתוך גרף מוכר, מבלי לחשב מחדש את כל הנקודות. הן כלי מרכזי בקדם-אנליזה — במיוחד עבור פונקציות רציונליות כמו $y = \frac{1}{x}$ שאותן מזיזים ומשקפים.

הרעיון המרכזי

טבלת הטרנספורמציות

הזזות:

f(x)+k — הזזה אנכית: מעלה אם k>0, מטה אם k<0
f(x-p) — הזזה אופקית: ימינה אם p>0, שמאלה אם p<0 (כיוון 'הפוך' מהסימן!)

שיקופים:

-f(x) — שיקוף ביחס לציר x (הופך את ה-y)
f(-x) — שיקוף ביחס לציר y (הופך את ה-x)

מתיחה/כיווץ אנכי:

$a \cdot f (x)$ — מתיחה אם a>1, כיווץ אם 0<a<1

ערך מוחלט:

|f(x)| — משקף כלפי מעלה רק את החלקים שמתחת לציר x

כלל זהב: שינוי בתוך הסוגריים (לפני הצבה ב-f) משפיע על ה-x ובכיוון 'הפוך'; שינוי מחוץ לסוגריים משפיע על ה-y ובכיוון 'ישר'.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הזזה אופקית (הכיוון ה'הפוך')

כיצד מתקבל $y = f(x - 2)$ מתוך $y = f(x)$ ?

y=f(x-2) — הגרף זז 2 ימינה (לא שמאלה!).

שלב 1 — מזהים

השינוי

x - 2

הוא בתוך הסוגריים ⟸ משפיע על ה-x

דוגמה 2: הזזת אסימפטוטות של 1/x

מצאו את האסימפטוטות של $y = \frac{1}{x - 4} + 2$

$y = \frac{1}{x - 4} + 2$ — היפרבולה מוזזת.

שלב 1 — מתחילים מ- $\frac{1}{x}$

אסימפטוטות מקוריות:

x = 0, y = 0

בדיקה מהירה

כיצד מתקבל הגרף של $y = f(x - 2)$ מתוך הגרף של $y = f(x)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נתון הגרף $y = \frac{1}{x} ($ אסימפטוטות $x = 0$ ו- $y = 0)$ . מהן האסימפטוטות של $y = \frac{1}{x - 4} + 2$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שילוב שיקוף ומתיחה

פרקו את $y = 2f(-x)$ לטרנספורמציות

y=2f(-x)

שלב 1 — f(−x)

החלפת x ב-−x ⟸ שיקוף ביחס לציר y

בדיקה מהירה

הגרף $y = 2f(-x)$ מתקבל מ- $y = f(x)$ על ידי שילוב של אילו שתי טרנספורמציות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: ערך מוחלט

כיצד נראה $y = |f(x)|$ ?

$y = ∣ f (x) ∣ \geq 0$ תמיד.

שלב 1 — חלקים מעל ציר x

היכן ש-

f(x) \ge 0

— נשארים ללא שינוי

בדיקה מהירה

כיצד מתקבל הגרף של $y = |f(x)|$ מתוך הגרף של $y = f(x)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הזזה אופקית בכיוון הלא נכון

טעות: f(x-2) זזה שמאלה.

נכון: f(x-2) זזה ימינה ב-2.

למה זה קורה?

האינטואיציה אומרת 'מינוס = שמאלה', אבל זה הפוך.

איך מתקנים?

f(x - p)

זזה ימינה ב-

p; f(x + p)

זזה שמאלה ב-p. בדקו עם נקודה.

טעות נפוצה: בלבול בין שיקוף ביחס לציר x לציר y

-f(x) — שיקוף ביחס לציר x.

f(-x) — שיקוף ביחס לציר y.

למה זה קורה?

לא מבחינים אם המינוס משנה את ה-y או את ה-x.

איך מתקנים?

−f(x): מינוס מחוץ ⟸ הופך y ⟸ שיקוף ביחס לציר x. f(−x): מינוס בפנים ⟸ הופך x ⟸ שיקוף ביחס לציר y.

טעות נפוצה: חושבים ש-|f(x)| משקף את כל הגרף

טעות: שיקוף כל הגרף ביחס לציר x.

נכון: רק החלקים שמתחת לציר x משוקפים כלפי מעלה.

למה זה קורה?

מערבבים בין ערך מוחלט לשיקוף מלא.

איך מתקנים?

ערך מוחלט משקף כלפי מעלה רק את החלקים השליליים; החלקים החיוביים נשארים במקומם.

סיכום

מה למדנו?

הזזה אנכית f(x)+k ואופקית f(x-p) (ימינה ל-p>0).
שיקוף ביחס לציר x (-f(x)) וביחס לציר y (f(-x)).
מתיחה/כיווץ אנכי $a \cdot f (x)$ (a>1 מתיחה, 0<a<1 כיווץ).
ערך מוחלט |f(x)| משקף כלפי מעלה רק את החלקים השליליים.
כלל זהב: שינוי בתוך הסוגריים ⟸ ה-x (כיוון הפוך); שינוי מחוץ ⟸ ה-y (כיוון ישר).

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על ביצוע וזיהוי טרנספורמציות ושילובן.

טרנספורמציות של פונקציות

טרנספורמציות של פונקציות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הזזה אופקית (הכיוון ה'הפוך')

כיצד מתקבל y=f(x−2)y = f(x - 2)y=f(x−2) מתוך y=f(x)y = f(x)y=f(x)?

דוגמה 2: הזזת אסימפטוטות של 1/x

מצאו את האסימפטוטות של y=1x−4+2y = \frac{1}{x - 4} + 2y=x−41​+2

דוגמה 3: שילוב שיקוף ומתיחה

פרקו את y=2f(−x)y = 2f(-x)y=2f(−x) לטרנספורמציות

דוגמה 4: ערך מוחלט

כיצד נראה y=∣f(x)∣y = |f(x)|y=∣f(x)∣?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הזזה אופקית בכיוון הלא נכון

טעות נפוצה: בלבול בין שיקוף ביחס לציר x לציר y

טעות נפוצה: חושבים ש-|f(x)| משקף את כל הגרף

סיכום

תרגול נוסף

כיצד מתקבל $y = f(x - 2)$ מתוך $y = f(x)$ ?

מצאו את האסימפטוטות של $y = \frac{1}{x - 4} + 2$

פרקו את $y = 2f(-x)$ לטרנספורמציות

כיצד נראה $y = |f(x)|$ ?