ל

תכונות f(x)/g(x) על סמך תכונות f ו-g

30%
📖שיעור
50 דקות

תכונות f(x)/g(x) על סמך תכונות f ו-g

לומדים לקבוע את תחום ההגדרה, נקודות החיתוך, תחומי החיוביות והשליליות, תחומי העלייה והירידה ונקודות הקיצון של מנה רציונלית — מתוך תכונות המונה והמכנה, ללא חשבון דיפרנציאלי

תכונות f(x)/g(x) על סמך תכונות f ו-g

מבוא

מטרות השיעור

  • לקבוע את תחום ההגדרה של מנה על ידי פסילת אפסי המכנה
  • למצוא את נקודות החיתוך עם הצירים מתוך אפסי המונה והצבת x=0
  • לקבוע תחומי חיוביות ושליליות באמצעות כלל הסימנים של מנה
  • להסיק עלייה/ירידה ונקודות קיצון מתכונות המונה והמכנה — בלי כלי החשבון הדיפרנציאלי

בפרק זה אנו חוקרים פונקציה רציונלית מהצורה , כאשר המכנה g(x) הוא פולינום ממעלה שנייה לכל היותר. הרעיון המנחה: אם אנחנו מכירים את התכונות של המונה ושל המכנה בנפרד, נוכל להסיק את תכונות המנה — מבלי לגזור.

הרעיון המרכזי

ארבע תכונות מרכזיות של מנה

1. תחום הגדרה: כל x שעבורו . פוסלים את אפסי המכנה.

2. נקודות חיתוך:

  • עם ציר x: שם f(x)=0 ובתנאי שהערך בתחום ההגדרה.
  • עם ציר y: מציבים x=0 (אם 0 בתחום) ומקבלים .

3. סימן המנה (כלל הסימנים): כאשר f ו-g בעלי אותו סימן; כאשר הם בעלי סימנים מנוגדים.

4. עלייה/ירידה וקיצון: מסיקים מהתנהגות המונה והמכנה. למשל, בתחום שבו g חיובית ועולה, ההופכי יורד.

כל החקירה כאן נעשית בכלים אלגבריים ובהבנה איכותית של הגרף — ללא נגזרת. מומלץ לאמת כל מסקנה בעזרת תוכנת גרפים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: תחום הגדרה ונקודות חיתוך

חקרו תחום ונקודות חיתוך של h(x)=x−3x2−4h(x) = \frac{x - 3}{x^{2} - 4}

1

שלב 1 — אפסי המכנה

x2−4=(x−2)(x+2)=0⟸x=2x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0 ⟸ x = 2 או x=−2x = -2

דוגמה 2: תחומי חיוביות ושליליות

קבעו היכן h(x)=x−1x+2h(x) = \frac{x - 1}{x + 2} חיובית והיכן שלילית

1

שלב 1 — נקודות מפנה

המונה מתאפס ב-x=1x = 1, המכנה מתאפס ב-x=−2x = -2
בדיקה מהירה

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה h(x)=x−3x2−4h(x) = \frac{x - 3}{x^{2} - 4}?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

באילו תחומים הפונקציה h(x)=x−1x+2h(x) = \frac{x - 1}{x + 2} חיובית?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: סימן כאשר המכנה חיובי תמיד

קבעו את סימן h(x)=x+1x2+1h(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 1}

— סימן המנה נקבע כולו על ידי המונה.

1

שלב 1 — תחום הגדרה

x2+1≥1>0x^{2} + 1 \ge 1 > 0 לכל x, לכן התחום הוא כל x ממשי
תשובה קצרה

נתונה הפונקציה h(x)=x−3x2−4h(x) = \frac{x - 3}{x^{2} - 4}. מהו שיעור ה-x של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר x? רשמו את ערך ה-x.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נתונה הפונקציה h(x)=x+1x2+1h(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 1}. שימו לב: המכנה x2+1x^{2} + 1 חיובי לכל x ממשי. באיזה תחום h שלילית?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: עלייה/ירידה של ההופכי

g חיובית ועולה בתחום — מה קורה ל-h=1gh = \frac{1}{g}?

1

שלב 1 — מבינים את ההופכי

ככל ש-g(x) חיובי וגדל, ההופכי 1g(x)\frac{1}{g(x)} קטן

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לפסול את אפסי המכנה

טעות: קביעה שתחום ההגדרה של הוא כל x ממשי.

נכון: יש לפסול x=2 ו-x=-2.

למה זה קורה?

תלמידים מסתכלים רק על המונה ושוכחים שהמכנה אסור שיתאפס.

איך מתקנים?

תמיד פתרו תחילה g(x)=0g(x) = 0 ופסלו ערכים אלה מתחום ההגדרה.

טעות נפוצה: מתעלמים מסימן המכנה בקביעת חיוביות

טעות: בלבד.

נכון: גם עבור x<-2 (שם שניהם שליליים) המנה חיובית.

למה זה קורה?

חושבים שהמנה חיובית בדיוק כשהמונה חיובי.

איך מתקנים?

המנה חיובית כאשר המונה והמכנה בעלי אותו סימן. תמיד בדקו את שני הסימנים.

טעות נפוצה: מכריזים על חיתוך עם ציר x מאפס של המונה שאינו בתחום

טעות: ב- קביעה שיש חיתוך ב-(2,0).

נכון: x=2 מאפס גם את המכנה ולכן פסול — אין שם חיתוך.

למה זה קורה?

כל אפס של המונה נחשב בטעות לנקודת חיתוך, גם אם הוא פסול.

איך מתקנים?

ודאו שאפס המונה נמצא בתחום ההגדרה (אינו מאפס גם את המכנה).

סיכום

מה למדנו?

  • תחום הגדרה: פוסלים את אפסי המכנה g(x)=0.
  • חיתוך עם ציר x: אפסי המונה שנמצאים בתחום ההגדרה.
  • חיתוך עם ציר y: , אם 0 בתחום.
  • סימן: המנה חיובית כשהמונה והמכנה בעלי אותו סימן.
  • עלייה/ירידה: מסיקים מהתנהגות המונה והמכנה (למשל, ההופכי של פונקציה חיובית ועולה — יורד) — ללא נגזרת.

מומלץ לאמת כל מסקנה בעזרת תוכנת גרפים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על קביעת תכונות של מנה רציונלית מתוך תכונות המונה והמכנה.

חזרה ליחידה: קדם-אנליזה של פונקציה רציונלית
תרגול