סרטוט סקיצת גרף הפונקציה

מבוא

מטרות השיעור

לאסוף באופן שיטתי את כל הנתונים הדרושים לסקיצה
לשלב תחום הגדרה, נקודות חיתוך, סימן, אסימפטוטות והתנהגות בקצוות לכדי גרף עקבי
להבין שכל ענף נשאר בצד אחד של האסימפטוטה האנכית
לסרטט סקיצה מתוך נתון אלגברי או נתון גרפי

שיעור זה מאחד את כל מה שלמדנו: תכונות המנה (שיעור 1), אסימפטוטות (שיעור 2) וטרנספורמציות (שיעור 3). המטרה — סקיצה איכותית ונכונה, ללא נגזרת. מומלץ לאמת כל סקיצה בעזרת תוכנת גרפים.

הרעיון המרכזי

חמשת שלבי החקירה לסקיצה

תחום הגדרה — פוסלים את אפסי המכנה.
נקודות חיתוך — אפסי המונה (חיתוך עם ציר x) והצבת x=0 (חיתוך עם ציר y).
אסימפטוטות — אנכיות (אפסי המכנה ללא צמצום) ואופקית (השוואת מעלות).
סימן — בכל תחום קובעים אם הגרף מעל או מתחת לציר x (טבלת סימנים).
סרטוט — מציירים סקיצה עקבית עם כל הנתונים. רק בסוף!

מפתח: כל ענף נשאר בצד אחד של האסימפטוטה האנכית ואינו חוצה אותה. את האסימפטוטה האופקית הגרף עשוי לחצות.

סידור

סדרו את שלבי החקירה הנכונים לסרטוט סקיצה של גרף פונקציה רציונלית, מהשלב הראשון לאחרון:

גררו את הפריטים לסדר הנכון

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סקיצה מלאה של 1/(x − 2)

סרטטו סקיצה של $h(x) = \frac{1}{x - 2}$

h (x) = \frac{1}{x - 2}

שלב 1 — תחום

x - 2 \ne 0 ⟸ x \ne 2

בדיקה מהירה

נתונה $h(x) = \frac{1}{x - 2}$ . מהו שיעור ה-y של החיתוך עם ציר y, ומהו סימן הפונקציה בענף הימני $(x > 2)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: כשהמעלות שוות — (x − 1)/(x + 1)

אספו את נתוני הסקיצה של $h(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

h (x) = \frac{x - 1}{x + 1}

שלב 1 — תחום ואסימפטוטה אנכית

x + 1 \ne 0 ⟸ x \ne -1

; אסימפטוטה אנכית

x = -1

בדיקה מהירה

אילו מהנתונים הבאים נכונים עבור $h(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: ספירת חיתוכים מתוך פירוק

כמה חיתוכים עם ציר x יש ל- $h(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}$ ?

h (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 4}

שלב 1 — פירוק

(x - 1)(x + 1)/((x - 2)(x + 2))

דוגמה 4: זיהוי פונקציה מתוך נתון גרפי

גרף בעל אסימפטוטה אנכית $x = 3$ , אופקית $y = 0$ , ללא חיתוך עם ציר x, וחיתוך ציר y ב- $(0, -\frac{1}{3})$ — מהי הפונקציה?

h (x) = \frac{1}{x - 3}

שלב 1 — אסימפטוטה אנכית $x = 3$

המכנה צריך להתאפס ב-

x = 3 ⟸

צורה

\frac{1}{x - 3}

בדיקה מהירה

גרף של פונקציה רציונלית מתואר כך: אסימפטוטה אנכית $x = 3$ , אסימפטוטה אופקית $y = 0$ , אין חיתוך עם ציר x, וחיתוך עם ציר y בנקודה $(0, -\frac{1}{3})$ . איזו מהפונקציות הבאות מתאימה לתיאור?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הגרף חוצה את האסימפטוטה האנכית

טעות: ענף עובר 'דרך' x=2.

נכון: ענף אחד עבור x<2, ענף נפרד עבור x>2.

למה זה קורה?

לא מבינים שהפונקציה אינה מוגדרת על האסימפטוטה האנכית.

איך מתקנים?

כל ענף נשאר בצד אחד של האסימפטוטה האנכית. הגרף לעולם אינו חוצה אותה.

טעות נפוצה: מסרטטים לפני שאוספים את כל הנתונים

טעות: סקיצה לא עקבית עם הנתונים.

נכון: אוספים תחילה תחום, חיתוכים, אסימפטוטות וסימן.

למה זה קורה?

קופצים ישר לציור.

איך מתקנים?

בצעו את חמשת השלבים: תחום, חיתוכים, אסימפטוטות, סימן — ורק אז סרטוט.

טעות נפוצה: מתעלמים מהסימן בכל תחום

טעות: ענף ימני מתחת לציר x ב- $\frac{1}{x - 2}$ .

נכון: עבור x>2 המנה חיובית ⟸ הענף מעל ציר x.

למה זה קורה?

מציבים ענפים מעל/מתחת לציר x באופן שרירותי.

איך מתקנים?

היעזרו בטבלת סימנים — בכל תחום קבעו אם המנה חיובית (מעל) או שלילית (מתחת).

סיכום

מה למדנו?

חמשת שלבי הסקיצה:

תחום הגדרה — פוסלים אפסי המכנה.
חיתוכים — אפסי המונה והצבת x=0.
אסימפטוטות — אנכיות (אפסי מכנה) ואופקית (השוואת מעלות).
סימן — מתי הגרף מעל/מתחת לציר x.
סרטוט — סקיצה עקבית, רק בסוף.

זכרו: כל ענף נשאר בצד אחד של האסימפטוטה האנכית. אמתו בתוכנת גרפים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על איסוף הנתונים וסרטוט סקיצה של גרף פונקציה רציונלית.

סרטוט סקיצת גרף הפונקציה

סרטוט סקיצת גרף הפונקציה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סקיצה מלאה של 1/(x − 2)

סרטטו סקיצה של h(x)=1x−2h(x) = \frac{1}{x - 2}h(x)=x−21​

דוגמה 2: כשהמעלות שוות — (x − 1)/(x + 1)

אספו את נתוני הסקיצה של h(x)=x−1x+1h(x) = \frac{x - 1}{x + 1}h(x)=x+1x−1​

דוגמה 3: ספירת חיתוכים מתוך פירוק

כמה חיתוכים עם ציר x יש ל-h(x)=x2−1x2−4h(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}h(x)=x2−4x2−1​?

דוגמה 4: זיהוי פונקציה מתוך נתון גרפי

גרף בעל אסימפטוטה אנכית x=3x = 3x=3, אופקית y=0y = 0y=0, ללא חיתוך עם ציר x, וחיתוך ציר y ב-(0,−13)(0, -\frac{1}{3})(0,−31​) — מהי הפונקציה?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הגרף חוצה את האסימפטוטה האנכית

טעות נפוצה: מסרטטים לפני שאוספים את כל הנתונים

טעות נפוצה: מתעלמים מהסימן בכל תחום

סיכום

תרגול נוסף

סרטטו סקיצה של $h(x) = \frac{1}{x - 2}$

אספו את נתוני הסקיצה של $h(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

כמה חיתוכים עם ציר x יש ל- $h(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}$ ?

גרף בעל אסימפטוטה אנכית $x = 3$ , אופקית $y = 0$ , ללא חיתוך עם ציר x, וחיתוך ציר y ב- $(0, -\frac{1}{3})$ — מהי הפונקציה?