סדרה חשבונית

מבוא

מטרות השיעור

להבין מהי סדרה חשבונית: סדרה שבה ההפרש בין כל שני איברים סמוכים קבוע
לכתוב את כלל הנסיגה $a_{n + 1} = a_{n} + d$ ואת הכלל לפי מקום $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
לעבור בין שני הכללים ולמצוא איבר כלשהו
לזהות אם סדרה היא חשבונית, ולהפריך בעזרת דוגמה נגדית אחת

הרעיון המרכזי

הגדרת סדרה חשבונית

סדרה היא חשבונית אם ההפרש בין כל איבר לקודמו קבוע. ההפרש הקבוע מסומן d:

d = a_{n + 1} - a_{n} (אותו ערך לכל n)

כלל נסיגה: $a_{1} = a_{1}, a_{n + 1} = a_{n} + d$

כלל לפי מקום: מהאיבר הראשון מוסיפים את d בדיוק (n-1) פעמים כדי להגיע לאיבר ה-n:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

אם d>0 הסדרה עולה, אם d<0 יורדת, ואם d=0 קבועה. הנקודות $(n, a_{n})$ יושבות על קו ישר (פונקציה לינארית) — השיפוע הוא d.

התכונה ש'נתנה את השם'

בסדרה חשבונית כל איבר (חוץ מהראשון) הוא הממוצע החשבוני של שכניו:

a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}

זוהי גם דרך נוחה לבדוק אם שלושה מספרים יוצרים סדרה חשבונית.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: כתיבת כלל לפי מקום

נתונה סדרה חשבונית עם $a_{1} = 4$ ו- $d = 3$ . כתבו את הכלל לפי מקום ומצאו את $a_{10}$ .

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 3 n + 1, a_{10} = 31

שלב 1 — מציבים בנוסחה

a_{n} = a_{1} + (n-1)d = 4 + (n-1) \cdot 3

דוגמה 2: מציאת d ו-a₁ משני איברים

בסדרה חשבונית $a_{3} = 11$ ו- $a_{7} = 27$ . מצאו את $a_{1}$ ואת d.

a_{7} - a_{3} = (7 - 3) d \Rightarrow d = 4, a_{1} = 3

שלב 1 — מספר הצעדים בין האיברים

מ-

a_{3}

ל-

a_{7}

יש

7 - 3 = 4

צעדים של d.

דוגמה 3: מעבר מכלל לפי מקום לכלל נסיגה

נתון כלל לפי מקום $a_{n} = 5n - 2$ . כתבו כלל נסיגה.

בכלל לינארי $a_{n} = d n + c$ ההפרש שווה למקדם של n: כאן d=5.

שלב 1 — האיבר הראשון

a_{1} = 5 \cdot 1 - 2 = 3

דוגמה 4: זיהוי בעזרת דוגמה נגדית

האם הסדרה 2, 5, 8, 12, ... חשבונית?

די בדוגמה נגדית אחת כדי להפריך טענה — כאן $a_{4} - a_{3} = 4 \neq = 3$ .

שלב 1 — בודקים את ההפרש הראשון

5 - 2 = 3

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

בסדרה חשבונית $a_{1} = 4$ ו- $d = 3$ . מהו $a_{10}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בסדרה חשבונית $a_{3} = 11$ ו- $a_{7} = 27$ . מהו ההפרש הקבוע d?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בסדרה חשבונית $a_{2} = 9$ וגם $a_{5} + a_{11} = 78$ . מהו האיבר הראשון $a_{1}? ($ רמז: הציגו הכול באמצעות $a_{1}$ ו-d)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: בעיה אוריינית

לירון חוסכת לכרטיס. בשבוע הראשון יש לה 80 ₪, ובכל שבוע היא מוסיפה 25 ₪. כמה יהיה לה בשבוע ה-12?

a_{12} = 80 + 11 \cdot 25 = 355 ₪

שלב 1 — מזהים סדרה חשבונית

a_{1} = 80, d = 25 (

תוספת קבועה)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים ב- $a_{1} + n \cdot d$ במקום $a_{1} + (n-1)d$

עבור $a_{1} = 4, d = 3$ : הנוסחה הנכונה $a_{5} = 4 + 4 \cdot 3 = 16$ , ולא $4 + 5 \cdot 3 = 19$ .

למה זה קורה?

חושבים שמוסיפים את d פעם אחת לכל מקום, כולל הראשון.

איך מתקנים?

מהאיבר הראשון עד האיבר ה-n יש רק

(n-1)

צעדים. לכן

a_{n} = a_{1} + (n-1)d

. בדקו תמיד ש-

n=1

מחזיר את

a_{1}

טעות נפוצה: קובעים 'חשבונית' אחרי בדיקת זוג אחד

2,5,8,12: ההפרשים 3,3,4 — לא קבוע, ולכן לא חשבונית.

למה זה קורה?

רואים שהפרש אחד מתאים ומכלילים מיד.

איך מתקנים?

הפרש קבוע חייב להתקיים לאורך כל הסדרה. בדקו כמה זוגות; אם נמצא זוג אחד עם הפרש שונה — הסדרה אינה חשבונית.

טעות נפוצה: מחשבים את d בכיוון ההפוך

בסדרה $10, 7, 4, \dots$ מתקיים d = 7-10 = -3 (שלילי), לא +3.

למה זה קורה?

כותבים

d = a_{n} - a_{n+1}

במקום

d = a_{n+1} - a_{n}

ומקבלים סימן הפוך.

איך מתקנים?

ההפרש הוא תמיד 'האיבר הבא פחות הנוכחי

': d = a_{n+1} - a_{n}

. בסדרה יורדת d יוצא שלילי — וזה תקין.

טעות נפוצה: שוכחים שהנקודות יושבות על קו ישר

$a_{n} = 3 n + 1$ — הנקודות (1,4),(2,7),(3,10) על קו ישר בשיפוע 3.

למה זה קורה?

לא מקשרים בין הסדרה החשבונית לפונקציה לינארית.

איך מתקנים?

a_{n} = dn + (a_{1} - d)

היא פונקציה לינארית ב-n; הנקודות

(n, a_{n})

על קו ישר עם שיפוע d.

סיכום

מה למדנו?

סדרה חשבונית: הפרש קבוע d בין איברים סמוכים.
כלל נסיגה: $a_{n + 1} = a_{n} + d$ .
כלל לפי מקום: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ — שימו לב ל-(n-1)!
מ- $a_{k}$ ל- $a_{m}$ יש (m-k) צעדים, ולכן $a_{m} - a_{k} = (m - k) d$ .
הנקודות $(n, a_{n})$ על קו ישר; כל איבר הוא הממוצע החשבוני של שכניו.
דוגמה נגדית אחת מספיקה כדי להפריך שסדרה חשבונית.

יופי! בשיעור הבא נלמד לסכם את איברי הסדרה החשבונית.

סדרה חשבונית

סדרה חשבונית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: כתיבת כלל לפי מקום

נתונה סדרה חשבונית עם a1=4a_{1} = 4a1​=4 ו-d=3d = 3d=3. כתבו את הכלל לפי מקום ומצאו את a10a_{10}a10​.

דוגמה 2: מציאת d ו-a₁ משני איברים

בסדרה חשבונית a3=11a_{3} = 11a3​=11 ו-a7=27a_{7} = 27a7​=27. מצאו את a1a_{1}a1​ ואת d.

דוגמה 3: מעבר מכלל לפי מקום לכלל נסיגה

נתון כלל לפי מקום an=5n−2a_{n} = 5n - 2an​=5n−2. כתבו כלל נסיגה.

דוגמה 4: זיהוי בעזרת דוגמה נגדית

האם הסדרה 2, 5, 8, 12, ... חשבונית?

בדיקה מהירה

דוגמה 5: בעיה אוריינית

לירון חוסכת לכרטיס. בשבוע הראשון יש לה 80 ₪, ובכל שבוע היא מוסיפה 25 ₪. כמה יהיה לה בשבוע ה-12?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים ב-a1+n⋅da_{1} + n \cdot da1​+n⋅d במקום a1+(n−1)da_{1} + (n-1)da1​+(n−1)d

טעות נפוצה: קובעים 'חשבונית' אחרי בדיקת זוג אחד

טעות נפוצה: מחשבים את d בכיוון ההפוך

טעות נפוצה: שוכחים שהנקודות יושבות על קו ישר

סיכום

נתונה סדרה חשבונית עם $a_{1} = 4$ ו- $d = 3$ . כתבו את הכלל לפי מקום ומצאו את $a_{10}$ .

בסדרה חשבונית $a_{3} = 11$ ו- $a_{7} = 27$ . מצאו את $a_{1}$ ואת d.

נתון כלל לפי מקום $a_{n} = 5n - 2$ . כתבו כלל נסיגה.

טעות נפוצה: משתמשים ב- $a_{1} + n \cdot d$ במקום $a_{1} + (n-1)d$