סכום סדרה חשבונית

מבוא

מטרות השיעור

להבין את הרעיון של גאוס: זיווג איברים מהקצוות
לדעת את נוסחת הסכום בשתי צורות: $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ ו- $S_{n} = \frac{n ( 2 a _{1} + ( n - 1 ) d )}{2}$
לחשב סכום של n איברים ולפתור בעיות בעזרת הנוסחה
להבין שסדרת הסכומים החלקיים $S_{n}$ מתוארת על-ידי פונקציה ריבועית של n

הרעיון המרכזי

הוכחת הנוסחה (שיטת גאוס)

נסמן $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ונכתוב את אותו סכום גם בסדר הפוך:

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

S_{n} = a_{n} + a_{n - 1} + \dots + a_{1}

נחבר את שתי השורות איבר מול איבר. כל זוג נותן את אותו סכום $a_{1} + a_{n}$ (כי כשמתקדמים בשורה אחת ב-d, בשנייה יורדים ב-d). יש n זוגות כאלה:

2 S_{n} = n (a_{1} + a_{n}) \Rightarrow S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}

שתי צורות הנוסחה

צורה ראשונה (כשמכירים את האיבר האחרון): $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$

צורה שנייה (כשמכירים את a₁ ואת d): מציבים $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ : $S_{n} = \frac{n ( 2 a _{1} + ( n - 1 ) d )}{2}$

אם נפתח: $S_{n} = \frac{d}{2} n^{2} + (a_{1} - \frac{d}{2}) n$ — זוהי פונקציה ריבועית ב-n (ללא איבר חופשי). לכן הנקודות $(n, S_{n})$ יושבות על פרבולה, בעוד הנקודות $(n, a_{n})$ של הסדרה עצמה יושבות על קו ישר.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סכום עם האיבר האחרון ידוע

חשבו את סכום $1 + 2 + 3 + \ldots + 100$ .

S_{100} = \frac{100 ( 1 + 100 )}{2} = 5050

שלב 1 — מזהים נתונים

a_{1} = 1, a_{100} = 100, n = 100

דוגמה 2: סכום כשנתונים a₁ ו-d

בסדרה חשבונית $a_{1} = 3, d = 5$ . חשבו את $S_{10} ($ סכום עשרת האיברים הראשונים).

S_{10} = \frac{10 ( 2 \cdot 3 + 9 \cdot 5 )}{2} = 255

שלב 1 — צורה שנייה

S_{n} = n(2a_{1} + (n-1)d)/2

דוגמה 3: מציאת מספר האיברים מתוך הסכום

בסדרה $a_{1} = 2, d = 3$ . כמה איברים צריך לסכם כדי לקבל $S_{n} = 155$ ?

$3 n^{2} + n - 310 = 0 \Rightarrow n = 10$ (הפתרון השלילי נפסל כי n טבעי).

שלב 1 — מציבים בנוסחה

n(2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 3)/2 = 155

דוגמה 4: סדרת הסכומים החלקיים כפרבולה

בסדרה $a_{1} = 1, d = 2 ($ כלומר 1, 3, 5, 7, ...). הראו ש- $S_{n} = n^{2}$ .

$S_{n} = n^{2}$ — סכום המספרים האי-זוגיים הראשונים הוא ריבוע מושלם, ופונקציה ריבועית ב-n.

שלב 1 — נוסחה

S_{n} = n(2 \cdot 1 + (n-1) \cdot 2)/2

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

חשבו את הסכום $1 + 2 + 3 + \ldots + 100$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

באולם קולנוע השורה הראשונה כוללת 18 כיסאות, וכל שורה אחריה גדולה ב-2 כיסאות. כמה כיסאות בסך הכל ב-15 השורות הראשונות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בסדרה חשבונית $a_{1} = 2$ ו- $d = 3$ . כמה איברים ראשונים צריך לסכם כדי לקבל $S_{n} = 155$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: בעיה אוריינית

באולם קולנוע השורה הראשונה 18 כיסאות, וכל שורה אחריה גדולה ב-2 כיסאות. כמה כיסאות בסך הכל ב-15 השורות?

S_{15} = \frac{15 ( 18 + 46 )}{2} = 480

שלב 1 — מזהים

a_{1} = 18, d = 2, n = 15

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין נוסחת הסכום לנוסחת האיבר

$a_{10}$ הוא ערך אחד, ואילו $S_{10}$ הוא סכום עשרה איברים — מספרים שונים לגמרי.

למה זה קורה?

שתי הנוסחאות דומות ויש בהן

(n-1)d

, אז קל להחליף.

איך מתקנים?

נוסחת האיבר נותנת ערך בודד:

a_{n} = a_{1} + (n-1)d

. נוסחת הסכום מצרפת n איברים:

S_{n} = \frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}

. שאלו את עצמכם: מבקשים איבר אחד או סכום?

טעות נפוצה: שוכחים לחלק ב-2

עבור $1 + 2 + \dots + 100$ : התוצאה 5050, לא $10100 = 100 \cdot 101$ .

למה זה קורה?

זוכרים

n(a_{1}+a_{n})

אבל מדלגים על החלוקה.

איך מתקנים?

בכל זיווג חיברנו את הסכום פעמיים, ולכן חייבים לחלק ב-

2: S_{n} = \frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}

טעות נפוצה: מכפילים d ב-n במקום ב- $(n-1)$

עבור $a_{1} = 3, d = 5, n = 10$ : בתוך הסוגר $(n - 1) d = 9 \cdot 5 = 45$ , לא $10 \cdot 5 = 50$ .

למה זה קורה?

מתעלמים מהסוגריים בצורה השנייה של הנוסחה.

איך מתקנים?

בנוסחה

S_{n} = n(2a_{1} + (n-1)d)/2

— בתוך הסוגריים d מוכפל ב-

(n-1)

, בדיוק כמו בנוסחת האיבר.

טעות נפוצה: חושבים שגרף הסכומים הוא קו ישר

$S_{n} = \frac{d}{2} n^{2} + (a_{1} - \frac{d}{2}) n$ — תלות ריבועית ב-n.

למה זה קורה?

מערבבים בין גרף הסדרה (קו ישר) לגרף הסכומים.

איך מתקנים?

הסדרה

a_{n}

לינארית, אבל הסכום

S_{n}

ריבועי ב-n — הנקודות

(n, S_{n})

יושבות על פרבולה.

סיכום

מה למדנו?

הוכחה (גאוס): מזווגים איברים מהקצוות, כל זוג נותן $a_{1} + a_{n}$ .
נוסחה 1: $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ (כשמכירים את $a_{n}$ ).
נוסחה 2: $S_{n} = \frac{n ( 2 a _{1} + ( n - 1 ) d )}{2}$ (כשמכירים את $a_{1}$ ו-d).
אל תשכחו: לחלק ב-2, ולהכפיל את d ב-(n-1).
סדרת הסכומים $S_{n}$ היא ריבועית ב-n — הנקודות על פרבולה.

מצוין! עכשיו עוברים לסדרות ההנדסיות.

סכום סדרה חשבונית

סכום סדרה חשבונית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סכום עם האיבר האחרון ידוע

חשבו את סכום 1+2+3+…+1001 + 2 + 3 + \ldots + 1001+2+3+…+100.

דוגמה 2: סכום כשנתונים a₁ ו-d

בסדרה חשבונית a1=3,d=5a_{1} = 3, d = 5a1​=3,d=5. חשבו את S10(S_{10} (S10​(סכום עשרת האיברים הראשונים).

דוגמה 3: מציאת מספר האיברים מתוך הסכום

בסדרה a1=2,d=3a_{1} = 2, d = 3a1​=2,d=3. כמה איברים צריך לסכם כדי לקבל Sn=155S_{n} = 155Sn​=155?

דוגמה 4: סדרת הסכומים החלקיים כפרבולה

בסדרה a1=1,d=2(a_{1} = 1, d = 2 (a1​=1,d=2(כלומר 1, 3, 5, 7, ...). הראו ש-Sn=n2S_{n} = n^{2}Sn​=n2.

בדיקה מהירה

דוגמה 5: בעיה אוריינית

באולם קולנוע השורה הראשונה 18 כיסאות, וכל שורה אחריה גדולה ב-2 כיסאות. כמה כיסאות בסך הכל ב-15 השורות?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין נוסחת הסכום לנוסחת האיבר

טעות נפוצה: שוכחים לחלק ב-2

טעות נפוצה: מכפילים d ב-n במקום ב-(n−1)(n-1)(n−1)

טעות נפוצה: חושבים שגרף הסכומים הוא קו ישר

סיכום

חשבו את סכום $1 + 2 + 3 + \ldots + 100$ .

בסדרה חשבונית $a_{1} = 3, d = 5$ . חשבו את $S_{10} ($ סכום עשרת האיברים הראשונים).

בסדרה $a_{1} = 2, d = 3$ . כמה איברים צריך לסכם כדי לקבל $S_{n} = 155$ ?

בסדרה $a_{1} = 1, d = 2 ($ כלומר 1, 3, 5, 7, ...). הראו ש- $S_{n} = n^{2}$ .

טעות נפוצה: מכפילים d ב-n במקום ב- $(n-1)$