סכום סדרה הנדסית וסכום אינסופי מתכנס

מבוא

מטרות השיעור

לדעת את נוסחת הסכום החלקי $S_{n} = \frac{a _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ (עבור $q \neq = 1$ )
להבין אינטואיטיבית מדוע $q^{n} \to 0$ כאשר |q|<1
להבין מתי סכום של אינסוף איברים מתכנס, ולחשב אותו לפי $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$
להציג שבר עשרוני מחזורי כסכום אינסופי של סדרה הנדסית

הרעיון המרכזי

נוסחת הסכום החלקי

עבור סדרה הנדסית עם מנה $q \neq = 1$ , סכום n האיברים הראשונים הוא:

S_{n} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + \dots + a_{1} q^{n - 1} = \frac{a _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}

רעיון ההוכחה: נכפול את $S_{n}$ ב-q ונחסר: $q S_{n} - S_{n} = a_{1} q^{n} - a_{1}$ , ומכאן מבודדים את $S_{n}$ . (אם q=1 כל האיברים שווים ו- $S_{n} = n \cdot a_{1}$ .)

גבול אינטואיטיבי: מה קורה ל- $q^{n}$ ?

כאשר |q|<1 (למשל $q = \frac{1}{2}$ ), החזקות הולכות וקטנות:

(\frac{1}{2})^{1} = 0.5, (\frac{1}{2})^{2} = 0.25, (\frac{1}{2})^{10} \approx 0.001, \dots

ככל שמתקדמים, $q^{n}$ מתקרב ל-0 ככל שנרצה. אומרים: הגבול של $q^{n}$ הוא 0. (לכל מספר חיובי קטן שנבחר, החל ממקום מסוים כל האיברים קטנים ממנו.)

סכום אינסופי מתכנס

כאשר |q|<1, נציב $q^{n} \to 0$ בנוסחת הסכום:

S = \frac{a _{1} ( 0 - 1 )}{q - 1} = \frac{- a _{1}}{q - 1} = \frac{a _{1}}{1 - q}

הסכום מתכנס (סופי) רק כאשר |q|<1. אם $∣ q ∣ \geq 1$ האיברים אינם קטנים לאפס, הסכום מתבדר והנוסחה אינה תקפה.

S = \frac{a _{1}}{1 - q}, ∣ q ∣ < 1

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סכום חלקי

בסדרה הנדסית $a_{1} = 2, q = 3$ . חשבו את $S_{5} ($ סכום חמשת האיברים הראשונים).

S_{5} = \frac{2 ( 3 ^{5} - 1 )}{3 - 1} = 242

שלב 1 — נוסחה

S_{n} = a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1}

דוגמה 2: סכום אינסופי מתכנס

חשבו את הסכום האינסופי $8 + 4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} +$ ...

$S = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = 16$ — אינסוף איברים חיוביים, וסכום סופי!

שלב 1 — מזהים סדרה הנדסית

a_{1} = 8, q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

דוגמה 3: סכום מתבדר

האם לסכום האינסופי $3 + 6 + 12 + 24 +$ ... יש ערך סופי?

כש- $∣ q ∣ \geq 1$ הסכום האינסופי מתבדר — הנוסחה $\frac{a _{1}}{1 - q}$ לא חלה.

שלב 1 — מזהים את המנה

q = \frac{6}{3} = 2

דוגמה 4: שבר עשרוני מחזורי כסכום אינסופי

הציגו את 0.3333... כסכום אינסופי של סדרה הנדסית, ומצאו את ערכו כשבר.

$0. \overline{3} = \frac{3/10}{1 - 1/10} = \frac{1}{3}$ — שבר עשרוני מחזורי הוא סכום הנדסי אינסופי מתכנס.

שלב 1 — פירוק לסכום

0.333... = 0.3 + 0.03 + 0.003 +

...

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

בסדרה הנדסית $a_{1} = 2$ ו- $q = 3$ . חשבו את $S_{5} ($ סכום חמשת האיברים הראשונים).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו את הסכום האינסופי $8 + 4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} +$ ...

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

הציגו את השבר העשרוני המחזורי 0.7777... כשבר פשוט (מנה של שני מספרים שלמים), בעזרת סכום הנדסי אינסופי.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: כדור קופץ (בעיה אוריינית)

כדור נופל מגובה 6 מטר, ובכל קפיצה עולה ל- $\frac{2}{3}$ מהגובה הקודם. מהו סכום כל הגבהים אליהם הכדור עולה (כלפי מעלה בלבד)?

S = \frac{4}{1 - \frac{2}{3}} = 12 מטר

שלב 1 — סדרת הגבהים

הגובה הראשון של עלייה:

6 \cdot (\frac{2}{3}) = 4

, אחר כך

4 \cdot (\frac{2}{3})

וכו

'. a_{1} = 4, q = \frac{2}{3}

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שכל סכום אינסופי הוא אינסוף

$8 + 4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} + \dots = 16$ — אינסוף איברים, סכום סופי.

למה זה קורה?

אינטואיציה שגויה: 'מחברים אינסוף מספרים חיוביים, אז זה חייב להיות אינסוף'.

איך מתקנים?

כאשר

|q|<1

האיברים קטנים מהר מספיק כדי שהסכום יתכנס לערך סופי

. 8+4+2+1+\ldots = 16

, לא אינסוף.

טעות נפוצה: משתמשים בנוסחת הסכום האינסופי גם כש- $|q| \ge 1$

עבור $3 + 6 + 12 + \dots$ (q=2) הסכום מתבדר; הצבה בנוסחה תיתן תוצאה חסרת משמעות.

למה זה קורה?

מציבים בנוסחה בלי לבדוק את תנאי ההתכנסות.

איך מתקנים?

הנוסחה

S = \frac{a_{1}}{1-q}

תקפה רק כאשר

|q|<1

. אם

|q| \ge 1

, הסדרה מתבדרת ואין סכום סופי.

טעות נפוצה: מבלבלים בין סכום הנדסי לסכום חשבוני

$S_{n} = \frac{a _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ — שימו לב לחזקה $q^{n}$ .

למה זה קורה?

מנסים נוסחת סכום חשבונית בסדרה הנדסית.

איך מתקנים?

בסכום הנדסי מופיעה חזקה:

S_{n} = a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1}

. בחשבוני אין חזקה:

S_{n} = \frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}

טעות נפוצה: שוכחים את הסימן $(q-1)$ במכנה

$\frac{a _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1} = \frac{a _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ — אותו ביטוי, רק מסדרים את הסימנים.

למה זה קורה?

מתבלבלים בין

(q-1)

ל-

(1-q)

איך מתקנים?

בסכום החלקי המכנה הוא

(q-1)

. בסכום האינסופי משתמשים ב-

(1-q): S = \frac{a_{1}}{1-q}

. שתי הצורות עקביות אם שומרים על הסימן.

סיכום

מה למדנו?

סכום חלקי הנדסי: $S_{n} = \frac{a _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ (עבור $q \neq = 1$ ).
כאשר |q|<1 מתקיים $q^{n} \to 0$ (גבול אינטואיטיבי), ולכן הסכום האינסופי מתכנס.
סכום אינסופי מתכנס: $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$ — תקף רק כש-|q|<1.
אם $∣ q ∣ \geq 1$ הסכום מתבדר ואין להשתמש בנוסחה.
שברים עשרוניים מחזוריים הם סכומים הנדסיים אינסופיים מתכנסים (למשל $0. \overline{3} = \frac{1}{3}$ ).

כל הכבוד! סיימתם את היחידה על סדרות חשבוניות והנדסיות.

סכום סדרה הנדסית וסכום אינסופי מתכנס

סכום סדרה הנדסית וסכום אינסופי מתכנס

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סכום חלקי

בסדרה הנדסית a1=2,q=3a_{1} = 2, q = 3a1​=2,q=3. חשבו את S5(S_{5} (S5​(סכום חמשת האיברים הראשונים).

דוגמה 2: סכום אינסופי מתכנס

חשבו את הסכום האינסופי 8+4+2+1+12+8 + 4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} +8+4+2+1+21​+...

דוגמה 3: סכום מתבדר

האם לסכום האינסופי 3+6+12+24+3 + 6 + 12 + 24 +3+6+12+24+... יש ערך סופי?

דוגמה 4: שבר עשרוני מחזורי כסכום אינסופי

הציגו את 0.3333... כסכום אינסופי של סדרה הנדסית, ומצאו את ערכו כשבר.

בדיקה מהירה

דוגמה 5: כדור קופץ (בעיה אוריינית)

כדור נופל מגובה 6 מטר, ובכל קפיצה עולה ל-23\frac{2}{3}32​ מהגובה הקודם. מהו סכום כל הגבהים אליהם הכדור עולה (כלפי מעלה בלבד)?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שכל סכום אינסופי הוא אינסוף

טעות נפוצה: משתמשים בנוסחת הסכום האינסופי גם כש-∣q∣≥1|q| \ge 1∣q∣≥1

טעות נפוצה: מבלבלים בין סכום הנדסי לסכום חשבוני

טעות נפוצה: שוכחים את הסימן (q−1)(q-1)(q−1) במכנה

סיכום

בסדרה הנדסית $a_{1} = 2, q = 3$ . חשבו את $S_{5} ($ סכום חמשת האיברים הראשונים).

חשבו את הסכום האינסופי $8 + 4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} +$ ...

האם לסכום האינסופי $3 + 6 + 12 + 24 +$ ... יש ערך סופי?

כדור נופל מגובה 6 מטר, ובכל קפיצה עולה ל- $\frac{2}{3}$ מהגובה הקודם. מהו סכום כל הגבהים אליהם הכדור עולה (כלפי מעלה בלבד)?

טעות נפוצה: משתמשים בנוסחת הסכום האינסופי גם כש- $|q| \ge 1$

טעות נפוצה: שוכחים את הסימן $(q-1)$ במכנה