פונקציית ההצטברות (האינטגרל) ותכונותיה

מבוא

מטרות השיעור

להגדיר את פונקציית ההצטברות $F_{a} (x)$ כגודל המצטבר של פונקציה רציפה f מנקודת התחלה a עד x
להכיר את סימון האינטגרל $F_{a} (x) = \int_{a}^{x} f (u) d u$ ואת האינטגרל המסוים $\int_{a}^{b} f (u) d u$
לקשר בין סימן הפונקציה הנתונה לבין עלייה/ירידה של פונקציית ההצטברות
לקשר בין מגמת הפונקציה הנתונה (עולה/יורדת) לבין סוג הקעירות של ההצטברות
להבין את תפקיד הקצה התחתון a

הרעיון המרכזי

הגדרת פונקציית ההצטברות

נתונה פונקציה רציפה f(u) המתארת קצב שינוי בתחום [a,b]. נתבונן בגודל המצטבר החל מהקצה התחתון a עד נקודה x הנעה ימינה. לכל x מתאים ערך מצטבר אחד — וזוהי פונקציית ההצטברות:

F_{a} (x) = \int_{a}^{x} f (u) d u

הסימן $\int$ מקורו באות S של המילה Sum (סכום).
משתמשים ב-u למשתנה הפנימי כדי להבדילו מהקצה העליון x.
du מזכיר שהתרומות הן מכפלות של ערך הפונקציה באורך קטע קטן.

האינטגרל המסוים הוא הערך עבור קצה עליון קבוע b: $F_{a} (b) = \int_{a}^{b} f (u) d u$

תכונות פונקציית ההצטברות

ערך התחלתי: $F_{a} (a) = \int_{a}^{a} f (u) d u = 0$ (טרם הצטבר דבר).
כש-f חיובית → $F_{a}$ עולה (מצטבר גודל חיובי).
כש-f שלילית → $F_{a}$ יורדת (מצטבר גודל שלילי).
כש-f חיובית ועולה → $F_{a}$ עולה וקעורה כלפי מעלה (מצטבר גודל חיובי הולך וגדל).
כש-f חיובית ויורדת → $F_{a}$ עולה וקעורה כלפי מטה (מצטבר גודל חיובי הולך וקטן).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הערך ההתחלתי

נתונה פונקציית הצטברות $F_{a}(x)$ של f החל מ- $a=2$ . מהו $F_{a}(2)$ ?

F_{a} (a) = \int_{a}^{a} f (u) d u = 0

שלב 1 — הגדרה

F_{a}(2) = ∫ from 2 to 2 of f(u)du

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: ערך פונקציית ההצטברות בקצה התחתון שווה לאפס, כלומר $F_{a}(a)=0$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: עלייה/ירידה מתוך סימן הפונקציה

f(u) חיובית בקטע [0,3] ושלילית בקטע [3,5]. תארו את מגמת $F_{a}(x) (a=0)$ .

מגמת ההצטברות נקבעת מסימן הפונקציה הנתונה: $f > 0 \Rightarrow F_{a} ↑$ , $f < 0 \Rightarrow F_{a} ↓$ .

שלב 1 — בקטע [0,3]

f חיובית → מצטבר גודל חיובי

→ F_{a}

עולה.

דוגמה 3: חישוב הצטברות של פונקציה קבועה

$f(u)=3 ($ קבועה). מצאו את $F_{a}(x)$ עם $a=0$ , וחשבו את האינטגרל המסוים מ-0 עד 4.

\int_{0}^{x} 3 d u = 3 x, \int_{0}^{4} 3 d u = 12

שלב 1 — הצטברות של קבוע

מ-0 עד x: השטח הוא מלבן בגובה 3 וברוחב x, כלומר

F_{a}(x) = 3x

דוגמה 4: סוג הקעירות מתוך מגמת הפונקציה

f(u) חיובית ועולה בכל התחום. מהי צורת הגרף של פונקציית ההצטברות $F_{a}$ ?

כש-f חיובית ועולה: ההצטברות עולה בקצב הולך וגדל — קעורה כלפי מעלה.

(לעומת זאת, אם f חיובית ויורדת, ההצטברות עולה בקצב הולך וקטן — קעורה כלפי מטה.)

שלב 1 — סימן

f חיובית

→ F_{a}

עולה.

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה הקבועה $f(u)=3$ . חשבו את האינטגרל המסוים ∫ from 0 to 4 of 3 du.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

הפונקציה הנתונה f חיובית ועולה בכל התחום. כיצד נראה הגרף של פונקציית ההצטברות $F_{a}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

הפונקציה הנתונה f חיובית ויורדת (אך נשארת חיובית) בכל התחום. כיצד נראה הגרף של פונקציית ההצטברות $F_{a}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים ש- $F_{a}(a)=0$

טעות: אם f(2)=5 אז $F_{2} (2) = 5$ .

נכון: $F_{2} (2) = \int_{2}^{2} f (u) d u = 0$ .

למה זה קורה?

תלמידים מציבים את ערך הפונקציה f(a) במקום אפס.

איך מתקנים?

פונקציית ההצטברות מתחילה מאפס בקצה התחתון:

F_{a}(a)=0

, כי טרם הצטבר דבר.

טעות נפוצה: מבלבלים בין סימן הפונקציה לבין המגמה שלה

f>0 ⟸ $F_{a}$ עולה. f עולה ⟸ $F_{a}$ קעורה כלפי מעלה. אלו שני דברים שונים!

למה זה קורה?

לא מבחינים בין 'f חיובית' (קובע עלייה) ל-'f עולה' (קובע קעירות).

איך מתקנים?

הסימן קובע אם

F_{a}

עולה או יורדת. המגמה (עולה/יורדת) קובעת את סוג הקעירות.

טעות נפוצה: חושבים שהקצה התחתון a לא משנה

$F_{a_{1}} (x) - F_{a_{2}} (x) = \int_{a_{2}}^{a_{1}} f (u) d u$ — קבוע שאינו תלוי ב-x.

למה זה קורה?

מתעלמים מהפרמטר a בהגדרה

F_{a}

איך מתקנים?

בחירת a אחר מזיזה את כל הפונקציה בקבוע: ההפרש בין

F_{a1}

ל-

F_{a2}

שווה להצטברות בין

a_{1}

ל-

a_{2}

טעות נפוצה: הופכים את משמעות du

$F_{a} (x) = \int_{a}^{x} f (u) d u$ — u רץ, x הוא הגבול העליון הקבוע (זמנית).

למה זה קורה?

לא מבינים למה צריך לסמן du או למה המשתנה הפנימי הוא u.

איך מתקנים?

du מזכיר שהתרומה היא ערך הפונקציה כפול רוחב קטע קטן. u הוא המשתנה הרץ מ-a עד x; x הוא הקצה העליון.

סיכום

מה למדנו?

פונקציית ההצטברות:

F_{a} (x) = \int_{a}^{x} f (u) d u

תכונות:

$F_{a} (a) = 0$ (ערך התחלתי).
$f > 0 \Rightarrow F_{a}$ עולה; $f < 0 \Rightarrow F_{a}$ יורדת.
f חיובית עולה → $F_{a}$ קעורה כלפי מעלה; f חיובית יורדת → $F_{a}$ קעורה כלפי מטה.
בחירת a אחר מזיזה את $F_{a}$ בקבוע.

ראינו שהקשר בין f ל- $F_{a}$ מזכיר מאוד את הקשר בין פונקציה לנגזרת — וזה בדיוק נושא המשפט היסודי בשיעור הבא!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פונקציית ההצטברות ותכונותיה!

פונקציית ההצטברות (האינטגרל) ותכונותיה

פונקציית ההצטברות (האינטגרל) ותכונותיה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הערך ההתחלתי

נתונה פונקציית הצטברות Fa(x)F_{a}(x)Fa​(x) של f החל מ-a=2a=2a=2. מהו Fa(2)F_{a}(2)Fa​(2)?

דוגמה 2: עלייה/ירידה מתוך סימן הפונקציה

f(u) חיובית בקטע [0,3] ושלילית בקטע [3,5]. תארו את מגמת Fa(x)(a=0)F_{a}(x) (a=0)Fa​(x)(a=0).

דוגמה 3: חישוב הצטברות של פונקציה קבועה

f(u)=3(f(u)=3 (f(u)=3(קבועה). מצאו את Fa(x)F_{a}(x)Fa​(x) עם a=0a=0a=0, וחשבו את האינטגרל המסוים מ-0 עד 4.

דוגמה 4: סוג הקעירות מתוך מגמת הפונקציה

f(u) חיובית ועולה בכל התחום. מהי צורת הגרף של פונקציית ההצטברות FaF_{a}Fa​?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים ש-Fa(a)=0F_{a}(a)=0Fa​(a)=0

טעות נפוצה: מבלבלים בין סימן הפונקציה לבין המגמה שלה

טעות נפוצה: חושבים שהקצה התחתון a לא משנה

טעות נפוצה: הופכים את משמעות du

סיכום

תרגול נוסף

נתונה פונקציית הצטברות $F_{a}(x)$ של f החל מ- $a=2$ . מהו $F_{a}(2)$ ?

f(u) חיובית בקטע [0,3] ושלילית בקטע [3,5]. תארו את מגמת $F_{a}(x) (a=0)$ .

$f(u)=3 ($ קבועה). מצאו את $F_{a}(x)$ עם $a=0$ , וחשבו את האינטגרל המסוים מ-0 עד 4.

f(u) חיובית ועולה בכל התחום. מהי צורת הגרף של פונקציית ההצטברות $F_{a}$ ?

טעות נפוצה: שוכחים ש- $F_{a}(a)=0$