קירוב הצטברות בשיטת המלבנים

מבוא

מטרות השיעור

להבין מדוע פונקציה שאינה קבועה דורשת קירוב כדי לחשב הצטברות
לחלק תחום לקטעים שווים ולחשב את רוחב המלבן $Δ x = \frac{b - a}{n}$
לחשב קירוב שמאלי, ימני וממוצע של ההצטברות
להבין שעבור פונקציה עולה הקירוב השמאלי הוא חסר והימני הוא יתר
להבין שככל ש-n גדל הקירוב מתכנס לערך המדויק

הרעיון המרכזי

שיטת המלבנים

פונקציה רציפה כללית (ישר משופע, פרבולה וכו') אינה קבועה, ולכן איננו יודעים מיד את הגודל המצטבר. נקרב אותה כך:

נחלק את התחום [a,b] ל-n קטעים שווים, כל אחד ברוחב $Δ x = \frac{b - a}{n}$ .
בכל קטע נבחר גובה קבוע המקרב את ערכי הפונקציה שם.
נסכם את שטחי המלבנים — זה הקירוב להצטברות.

שלוש בחירות לגובה המלבן:

קירוב שמאלי — גובה = ערך הפונקציה בקצה השמאלי של כל קטע.
קירוב ימני — גובה = ערך הפונקציה בקצה הימני של כל קטע.
קירוב ממוצע — גובה = הממוצע בין ערכי הקצה השמאלי והימני (מתכנס מהר ביותר).

התכנסות והערכת שגיאה

עבור פונקציה עולה: הקירוב השמאלי הוא חסר (קטן מהערך המדויק) והקירוב הימני הוא יתר (גדול מהערך המדויק). הערך המדויק כלוא ביניהם.
ככל ש-n גדל, המלבנים צרים יותר וההפרש בין הקירובים קטן — הקירוב מתכנס לערך המדויק של ההצטברות.
עבור פונקציה לינארית, הקירוב הממוצע נותן את הערך המדויק כבר בקטע אחד.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: רוחב המלבן

מחלקים את [1,2] ל-4 קטעים שווים. מהו רוחב כל מלבן?

Δ x = \frac{2 - 1}{4} = 0.25

שלב 1 — נוסחת הרוחב

\Delta x = \frac{b-a}{n}

תשובה מספרית

מחלקים את התחום [0,4] ל-8 קטעים שווים. מהו רוחב כל מלבן?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: קירוב שמאלי וימני לפרבולה

קרבו את ההצטברות של $f(x)=x^{2}$ בתחום [1,2] בעזרת $n=2$ קטעים, בקירוב שמאלי ובקירוב ימני.

L_{2} = (1 + 2.25) \cdot 0.5 = 1.625, R_{2} = (2.25 + 4) \cdot 0.5 = 3.125

הפונקציה עולה, ולכן השמאלי חסר והימני יתר. הערך המדויק ( $\frac{7}{3} \approx 2.333$ ) כלוא ביניהם.

שלב 1 — רוחב הקטע

\Delta x = \frac{2-1}{2} = 0.5

. הקטעים: [1,1.5] ו-[1.5,2].

תשובה מספרית

מחלקים את התחום [1,2] ל-4 קטעים שווים בשיטת המלבנים. מהו רוחב כל מלבן?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

קרבו את ההצטברות של $f(x)=x^{2}$ בתחום [1,2] בעזרת קירוב שמאלי עם $n=2$ קטעים. (נתון: $f(1)=1, f(1.5)=2.25, f(2)=4.)$

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: קירוב ממוצע

באותם נתונים $(f(x)=x^{2}, [1,2], n=2)$ , חשבו את הקירוב הממוצע.

M_{2} = 1.625 \cdot 0.5 + 3.125 \cdot 0.5 = 2.375

שימו לב: הקירוב הממוצע שווה לממוצע של השמאלי והימני: $\frac{1.625 + 3.125}{2} = 2.375$ .

שלב 1 — ממוצע גבהים בכל קטע

קטע [1,1.5]: ממוצע

\frac{1+2.25}{2} = 1.625

. קטע [1.5,2]: ממוצע

\frac{2.25+4}{2} = 3.125

תשובה מספרית

קרבו את ההצטברות של $f(x)=x^{2}$ בתחום [1,2] בעזרת הקירוב הממוצע עם $n=2 ($ גובה כל מלבן = ממוצע ערכי הקצוות) $. (f(1)=1, f(1.5)=2.25, f(2)=4.)$

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: לפונקציה לינארית — הממוצע מדויק

קרבו את ההצטברות של $f(x)=2x$ בתחום [0,4] בעזרת $n=4$ , שמאלי וימני, והשוו לערך המדויק.

L_{4} = 12, R_{4} = 20, M_{4} = 16 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8

עבור פונקציה לינארית הקירוב הממוצע נותן את הערך המדויק.

שלב 1 — רוחב ונקודות

\Delta x = \frac{4-0}{4} = 1

. ערכים:

f(0)=0, f(1)=2, f(2)=4, f(3)=6, f(4)=8

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים בקצה הימני של התחום כרוחב המלבן

טעות: רוחב המלבן בתחום [1,2] הוא 2.

נכון: $Δ x = \frac{2 - 1}{4} = 0.25$ .

למה זה קורה?

מבלבלים בין גבול התחום b לבין רוחב תת-הקטע

\Delta x

איך מתקנים?

רוחב כל מלבן הוא

\Delta x = \frac{b-a}{n}

, ולא b. בתחום [1,2] עם

n=4

הרוחב הוא 0.25.

טעות נפוצה: חושבים שהקירוב השמאלי תמיד גדול יותר

ל- $f (x) = x^{2}$ (עולה) בתחום [1,2]: $L_{2} = 1.625 < \frac{7}{3} < 3.125 = R_{2}$ .

למה זה קורה?

לא מקשרים בין כיוון העלייה/הירידה של הפונקציה לבין מי חסר ומי יתר.

איך מתקנים?

עבור פונקציה עולה: השמאלי חסר, הימני יתר. עבור פונקציה יורדת — הפוך.

טעות נפוצה: מסכמים גבהים בלי להכפיל ברוחב

טעות: קירוב שמאלי = 1 + 2.25 = 3.25.

נכון: $(1 + 2.25) \cdot 0.5 = 1.625$ .

למה זה קורה?

שוכחים ששטח מלבן הוא גובה × רוחב.

איך מתקנים?

הקירוב = (סכום הגבהים)

\times \Delta x

. אל תשכחו את הכפל ב-

\Delta x

טעות נפוצה: חושבים שהגדלת n תמיד מקרבת מלמעלה

ככל שמחלקים לעוד מלבנים צרים, ההפרש $R_{n} - L_{n}$ הולך וקטן עד שמתאפס בגבול.

למה זה קורה?

לא מבינים שהקירוב מתכנס משני הצדדים.

איך מתקנים?

ככל ש-n גדל, השמאלי גדל לכיוון הערך המדויק והימני קטן לכיוונו (לפונקציה עולה). שניהם מתכנסים לאותו ערך.

סיכום

מה למדנו?

שיטת המלבנים:

רוחב כל מלבן: $Δ x = \frac{b - a}{n}$ .
קירוב שמאלי (גבהים בקצה השמאלי), קירוב ימני (קצה ימני), קירוב ממוצע (ממוצע הקצוות).
הקירוב = (סכום הגבהים) × $Δ x$ .

זכרו:

פונקציה עולה: שמאלי חסר, ימני יתר; הערך המדויק כלוא ביניהם.
ככל ש-n גדל הקירוב מתכנס לערך המדויק.
לפונקציה לינארית — הקירוב הממוצע מדויק.

בשיעור הבא נגדיר רשמית את פונקציית ההצטברות כגבול תהליך זה!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על קירוב הצטברות בשיטת המלבנים!

קירוב הצטברות בשיטת המלבנים

קירוב הצטברות בשיטת המלבנים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: רוחב המלבן

מחלקים את [1,2] ל-4 קטעים שווים. מהו רוחב כל מלבן?

דוגמה 2: קירוב שמאלי וימני לפרבולה

קרבו את ההצטברות של f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2 בתחום [1,2] בעזרת n=2n=2n=2 קטעים, בקירוב שמאלי ובקירוב ימני.

דוגמה 3: קירוב ממוצע

באותם נתונים (f(x)=x2,[1,2],n=2)(f(x)=x^{2}, [1,2], n=2)(f(x)=x2,[1,2],n=2), חשבו את הקירוב הממוצע.

דוגמה 4: לפונקציה לינארית — הממוצע מדויק

קרבו את ההצטברות של f(x)=2xf(x)=2xf(x)=2x בתחום [0,4] בעזרת n=4n=4n=4, שמאלי וימני, והשוו לערך המדויק.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים בקצה הימני של התחום כרוחב המלבן

טעות נפוצה: חושבים שהקירוב השמאלי תמיד גדול יותר

טעות נפוצה: מסכמים גבהים בלי להכפיל ברוחב

טעות נפוצה: חושבים שהגדלת n תמיד מקרבת מלמעלה

סיכום

תרגול נוסף

קרבו את ההצטברות של $f(x)=x^{2}$ בתחום [1,2] בעזרת $n=2$ קטעים, בקירוב שמאלי ובקירוב ימני.

באותם נתונים $(f(x)=x^{2}, [1,2], n=2)$ , חשבו את הקירוב הממוצע.

קרבו את ההצטברות של $f(x)=2x$ בתחום [0,4] בעזרת $n=4$ , שמאלי וימני, והשוו לערך המדויק.