הצטברות של פונקציה קבועה ופונקציית מדרגות

מבוא

מטרות השיעור

להבין שכאשר פונקציה מתארת קצב שינוי, פונקציית ההצטברות מתארת את הכמות שהצטברה
לחשב את הגודל המצטבר של פונקציה קבועה באמצעות המכפלה $ערך \times אורך הקטע$
להרחיב את החישוב לפונקציית מדרגות (קבועה למקוטעין)
לקשר את הגודל המצטבר לשטח שמתחת לגרף — בהתחשב בסימן
להבחין בין ההעתק (הגודל המצטבר, בהתחשב בסימן) לבין הדרך הכוללת

הרעיון המרכזי

הצטברות כשטח

נתונה פונקציה v(t) המתארת קצב שינוי של גודל מסוים (למשל מהירות). הגודל המצטבר עד לזמן מסוים שווה לשטח הכלוא בין הגרף לציר הזמן, בהתחשב בסימן:

כאשר הפונקציה חיובית — מצטבר גודל חיובי (ההצטברות עולה).
כאשר הפונקציה שלילית — מצטבר גודל שלילי (ההצטברות יורדת).

עבור פונקציה קבועה בקטע, התרומה להצטברות היא פשוט: $תרומה = ערך הפונקציה \times אורך הקטע$

זוהי בדיוק הנוסחה המוכרת: דרך = מהירות קבועה × זמן.

העתק מול דרך כוללת

שימו לב להבחנה חשובה כאשר המהירות מחליפה סימן:

ההעתק = הגודל המצטבר עם הסימן (כמה השתנה המיקום מנקודת ההתחלה).
הדרך הכוללת = סכום הערכים המוחלטים של התרומות (כמה מטרים הגוף עבר בפועל).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מהירות קבועה חיובית

גוף נע במהירות קבועה 12 מ/ש במשך 5 שניות. מהו ההעתק?

S = 12 \times 5 = 60 מטר

שלב 1 — מזהים את הנתונים

המהירות קבועה:

v = 12

מ/ש, משך הזמן:

\Delta t = 5

ש.

דוגמה 2: פונקציית מדרגות חיובית

ברז ממלא בריכה: 3 ל/דק במשך 4 דקות, ואז 5 ל/דק במשך 6 דקות. כמה מים הצטברו?

12 + 30 = 42 ליטר

כל מדרגה תורמת מלבן נפרד; השטח הכולל הוא סכום שטחי המלבנים.

שלב 1 — קטע ראשון

3 ל/דק במשך 4 דק:

3 \cdot 4 = 12

ליטר.

תשובה מספרית

ברז ממלא בריכה בקצב 3 ליטר/דקה במשך 4 דקות, ואז בקצב 5 ליטר/דקה במשך 6 דקות. כמה ליטר הצטברו בסך הכול?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מהירות שלילית — ההצטברות יורדת

גוף נע במהירות 4- מ/ש (בכיוון הנגדי) במשך 7 שניות. מהו ההעתק?

S = (- 4) \times 7 = - 28 מטר

כאשר הפונקציה שלילית, הגודל המצטבר יורד.

שלב 1 — ערך שלילי

המהירות שלילית:

v = -4

מ/ש (תנועה בכיוון ההפוך).

תשובה מספרית

גוף נע במהירות קבועה 12 מ/ש במשך 5 שניות. מהו ההעתק (במטרים)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: פונקציית מדרגות שמחליפה סימן — העתק מול דרך

מהירות גוף: 6 מ/ש בקטע [0,3] ואז 2- מ/ש בקטע [3,8]. מצאו את ההעתק ואת הדרך הכוללת.

העתק = 18 - 10 = 8, דרך = 18 + 10 = 28

שלב 1 — תרומה ראשונה

6 \cdot 3 = 18

מטר (קדימה).

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

תזרים מזומנים לחשבון (בש"ח לחודש): 200 בחודשים $1-3$ , ואז 150- בחודשים $4-6 ($ משיכה). מהו הסכום שהצטבר בחשבון בתום 6 החודשים (בש"ח)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לוקחים תמיד את השטח החיובי

טעות: מהירות 5- מ/ש במשך 4 ש' תורמת +20 מטר.

נכון: $(- 5) \times 4 = - 20$ — ההעתק יורד ב-20 מטר.

למה זה קורה?

תלמידים זוכרים ש'שטח חיובי' ושוכחים שתרומה של פונקציה שלילית היא שלילית.

איך מתקנים?

כאשר הפונקציה הנתונה שלילית בקטע, התרומה להצטברות שלילית והגודל המצטבר יורד.

טעות נפוצה: מבלבלים בין העתק לדרך כוללת

בקטעים שתרמו +18 ו--10:

העתק = 18 - 10 = 8, דרך כוללת = 18 + 10 = 28.

למה זה קורה?

כששואלים 'כמה הגוף זז' לא ברור אם מתכוונים למיקום הסופי או לדרך שעבר.

איך מתקנים?

העתק = הגודל המצטבר בהתחשב בסימן. דרך כוללת = סכום הערכים המוחלטים של התרומות.

טעות נפוצה: מחברים ערכים במקום להכפיל באורך הקטע

טעות: 3 ל/דק ו-5 ל/דק נותנים 3 + 5 = 8.

נכון: $3 \cdot 4 + 5 \cdot 6 = 12 + 30 = 42$ ליטר (כשהקטעים באורך 4 ו-6).

למה זה קורה?

תלמידים סוכמים את גבהי המדרגות ושוכחים שכל מדרגה נמשכת לאורך קטע.

איך מתקנים?

כל מדרגה תורמת ערך × אורך הקטע. רק אחר כך מחברים את התרומות.

טעות נפוצה: טועים באורך הקטע

בקטע [3,8] במהירות -2: התרומה היא $(- 2) \cdot (8 - 3) = - 10$ , ולא $(- 2) \cdot 8$ .

למה זה קורה?

לוקחים את הקצה הימני של הקטע במקום את האורך (הקצה הימני פחות השמאלי).

איך מתקנים?

אורך הקטע [a,b] הוא

b-a

, לא b. בקטע [3,8] האורך הוא 5, לא 8.

תשובה מספרית

מהירות גוף (במ/ש): 6 בקטע [0,3] ואז 2- בקטע [3,8]. מהו ההעתק (בהתחשב בסימן), במטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

רעיון ההצטברות:

כשפונקציה מתארת קצב שינוי, הגודל המצטבר = השטח שמתחת לגרף בהתחשב בסימן.
עבור פונקציה קבועה: תרומה = ערך הפונקציה × אורך הקטע.
עבור פונקציית מדרגות: מחברים את תרומות כל המדרגות.

זכרו:

פונקציה חיובית → ההצטברות עולה; פונקציה שלילית → ההצטברות יורדת.
העתק בהתחשב בסימן ≠ דרך כוללת (סכום ערכים מוחלטים).
אורך הקטע [a,b] הוא b-a.

עכשיו אתם מוכנים לקרב הצטברות של פונקציות כלליות בשיטת המלבנים!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הצטברות של פונקציות קבועות ומדרגות!