המשפט היסודי: הצטברות כפעולה הפוכה לגזירה

מבוא

מטרות השיעור

להבין שהנגזרת של פונקציית ההצטברות היא הפונקציה הנתונה: $F_{a}^{'} (x) = f (x)$
להבין שאינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה (קישור לפונקציה הקדומה)
ליישם את כלל האינטגרל המסוים: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$
להבין ששתי פונקציות בעלות אותה נגזרת נבדלות בקבוע
למצוא פונקציה לפי נגזרתה ונקודה שעליה

הרעיון המרכזי

המשפט היסודי של החדו״א

פונקציית ההצטברות נבנתה מתוך פונקציית קצב השינוי f. לכן טבעי לצפות שקצב השינוי של ההצטברות הוא בדיוק f:

חלק ראשון: אם $F_{a} (x) = \int_{a}^{x} f (u) d u$ אז $F_{a}^{'} (x) = f (x)$

כלומר, פונקציית ההצטברות היא פונקציה קדומה של f — אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה.

חלק שני (כלל החישוב): אם F פונקציה כלשהי המקיימת F'(x)=f(x), אז $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

מדוע $F_a'(x)=f(x)? ($ רעיון ההצדקה)

נתבונן במנת ההפרשים של ההצטברות בקטע הקצר [x, x+h]: $\frac{F _{a} ( x + h ) - F _{a} ( x )}{h}$

המונה הוא התוספת להצטברות ב"קטע האחרון". עבור פונקציה רציפה ועולה, התוספת כלואה בין שני מלבנים: $f (x) \cdot h \leq F_{a} (x + h) - F_{a} (x) \leq f (x + h) \cdot h$

נחלק ב-h: $f (x) \leq \frac{F _{a} ( x + h ) - F _{a} ( x )}{h} \leq f (x + h)$

כש- $h \to 0$ הרציפות נותנת $f (x + h) \to f (x)$ , ולכן הביטוי האמצעי — שהוא $F_{a}^{'} (x)$ — שואף ל-f(x). מ.ש.ל.

פונקציות קדומות נבדלות בקבוע

אם F'(x)=f(x) וגם G'(x)=f(x), אז (F-G)'=0 ולכן F-G קבוע. כלומר לפונקציה נתונה יש משפחה שלמה של פונקציות קדומות, הנבדלות בקבוע C. פונקציית ההצטברות $F_{a}$ היא זו שערכה ב-a שווה אפס.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הנגזרת של ההצטברות

נתון $F_{a}(x) = ∫ from a to x of (3u^{2}) du$ . מהי הנגזרת $F_{a}'(x)$ ?

F_{a}^{'} (x) = f (x) = 3 x^{2}

שלב 1 — המשפט היסודי

הנגזרת של פונקציית ההצטברות היא הפונקציה הנתונה (הביטוי שבתוך האינטגרל).

דוגמה 2: חישוב אינטגרל מסוים באמצעות פונקציה קדומה

חשבו את ∫ from 1 to 3 of 2x dx.

\int_{1}^{3} 2 x d x = [x^{2}]_{1}^{3} = 9 - 1 = 8

שלב 1 — מוצאים פונקציה קדומה

אנו מחפשים F עם

F'(x)=2x

. מתאים

F(x)=x^{2} (

כי

(x^{2})'=2x)

תשובה מספרית

חשבו את האינטגרל המסוים ∫ from 1 to 3 of 2x dx. (רמז: פונקציה קדומה היא $x^{2}.)$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מהירות ודרך — המקרה הפרדיגמטי

מהירות גוף $v(t)=2t ($ מ/ש). מהו ההעתק בין $t=1$ ל- $t=4$ שניות?

\int_{1}^{4} 2 t d t = [t^{2}]_{1}^{4} = 16 - 1 = 15

פונקציית המהירות היא הנגזרת של פונקציית ההעתק — בדיוק קשר פונקציה–נגזרת.

שלב 1 — ההעתק הוא הצטברות המהירות

ההעתק

= ∫ from 1 to 4 of 2t dt

בדיקה מהירה

לפי המשפט היסודי, מהי הנגזרת של פונקציית ההצטברות $F_{a}(x) = ∫ from a to x of (3u^{2}) du$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מהירות גוף היא $v(t)=2t ($ מ/ש). מהו ההעתק (במטרים) בין $t=1$ ל- $t=4$ שניות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה

נתון $F'(x)=2x$ ו- $F(1)=5$ . מצאו את F(x).

F (x) = x^{2} + C, 1 + C = 5 \Rightarrow C = 4, F (x) = x^{2} + 4

הנקודה הנתונה היא שקובעת איזו פונקציה קדומה מתוך כל המשפחה.

שלב 1 — משפחת הקדומות

כל הפונקציות עם נגזרת 2x הן

F(x)=x^{2}+C

תשובה מספרית

נתון $F'(x)=4x$ ו- $F(2)=10$ . מהו הערך $F(0)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחשבים $F(a)-F(b)$ במקום $F(b)-F(a)$

טעות: $\int_{1}^{3} 2 x d x = F (1) - F (3) = 1 - 9 = - 8$ .

נכון: $\int_{1}^{3} 2 x d x = F (3) - F (1) = 9 - 1 = 8$ .

למה זה קורה?

מבלבלים בסדר ההצבה של הגבולות.

איך מתקנים?

תמיד מציבים קודם את הגבול העליון: ∫ from a to b של f שווה

F(b)-F(a)

טעות נפוצה: שוכחים את קבוע האינטגרציה C

טעות: מ-F'(x)=2x מסיקים מיד $F (x) = x^{2}$ .

נכון: $F (x) = x^{2} + C$ , ואת C קובעים מהנקודה הנתונה.

למה זה קורה?

חושבים שלפונקציה יש פונקציה קדומה יחידה.

איך מתקנים?

לכל פונקציה יש משפחה שלמה של קדומות, הנבדלות בקבוע C. במציאת פונקציה מנקודה — C הכרחי.

טעות נפוצה: חושבים שהקבוע C משנה את ערך האינטגרל המסוים

$(b^{2} + C) - (a^{2} + C) = b^{2} - a^{2}$ — ה-C מתבטל באינטגרל המסוים.

למה זה קורה?

לא שמים לב שה-C מצטמצם.

איך מתקנים?

בחישוב

F(b)-F(a)

הקבוע מצטמצם:

(G(b)+C)-(G(a)+C) = G(b)-G(a)

. לכן אפשר לבחור כל קדומה.

טעות נפוצה: בלבול בין הפונקציה הנתונה לפונקציה הקדומה

ב- $\int_{1}^{3} 2 x d x$ : הפונקציה הנתונה היא f(x)=2x, הקדומה היא $F (x) = x^{2}$ .

למה זה קורה?

לא ברור מי f ומי F בכלל החישוב.

איך מתקנים?

f היא הפונקציה הנתונה (קצב השינוי, הביטוי שבתוך האינטגרל). F היא הקדומה שלה

(F'=f)

סיכום

מה למדנו?

המשפט היסודי של החדו״א:

הנגזרת של פונקציית ההצטברות היא הפונקציה הנתונה: $F_{a}^{'} (x) = f (x)$ .
אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה.
כלל החישוב: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ עבור כל פונקציה קדומה F.
פונקציות קדומות נבדלות בקבוע C; נקודה נתונה קובעת אותו.

זכרו:

מציבים קודם את הגבול העליון: F(b)-F(a).
הקבוע C מצטמצם באינטגרל מסוים.

בשיעור הבא נלמד את כללי האינטגרציה ונחשב שטחים, נפחים וממוצעים!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על המשפט היסודי וחישוב אינטגרלים מסוימים!

המשפט היסודי: הצטברות כפעולה הפוכה לגזירה

המשפט היסודי: הצטברות כפעולה הפוכה לגזירה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הנגזרת של ההצטברות

נתון Fa(x)=∫fromatoxof(3u2)duF_{a}(x) = ∫ from a to x of (3u^{2}) duFa​(x)=∫fromatoxof(3u2)du. מהי הנגזרת Fa′(x)F_{a}'(x)Fa′​(x)?

דוגמה 2: חישוב אינטגרל מסוים באמצעות פונקציה קדומה

חשבו את ∫ from 1 to 3 of 2x dx.

דוגמה 3: מהירות ודרך — המקרה הפרדיגמטי

מהירות גוף v(t)=2t(v(t)=2t (v(t)=2t(מ/ש). מהו ההעתק בין t=1t=1t=1 ל-t=4t=4t=4 שניות?

דוגמה 4: מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה

נתון F′(x)=2xF'(x)=2xF′(x)=2x ו-F(1)=5F(1)=5F(1)=5. מצאו את F(x).

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחשבים F(a)−F(b)F(a)-F(b)F(a)−F(b) במקום F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a)

טעות נפוצה: שוכחים את קבוע האינטגרציה C

טעות נפוצה: חושבים שהקבוע C משנה את ערך האינטגרל המסוים

טעות נפוצה: בלבול בין הפונקציה הנתונה לפונקציה הקדומה

סיכום

תרגול נוסף

נתון $F_{a}(x) = ∫ from a to x of (3u^{2}) du$ . מהי הנגזרת $F_{a}'(x)$ ?

מהירות גוף $v(t)=2t ($ מ/ש). מהו ההעתק בין $t=1$ ל- $t=4$ שניות?

נתון $F'(x)=2x$ ו- $F(1)=5$ . מצאו את F(x).

טעות נפוצה: מחשבים $F(a)-F(b)$ במקום $F(b)-F(a)$