כללי אינטגרציה, חישוב שטחים, נפחים וממוצע

מבוא

מטרות השיעור

לדעת לאנטגרל חזקות, את $\frac{1}{2 x}$ ואת $\frac{1}{x ^{n}}$ (עבור $n \neq = 1$ )
ליישם את כללי כפל בקבוע, סכום והפרש
לאנטגרל פונקציה מורכבת עם פנימית לינארית (חלוקה במקדם של x)
לחשב שטח בין גרף לציר ה-x כולל מקרה שבו הפונקציה מחליפה סימן
לחשב נפח גוף סיבוב סביב ציר ה-x ואת הערך הממוצע של פונקציה

הרעיון המרכזי

כללי האינטגרציה

כלל החזקה: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)$

שורש במכנה: $\int \frac{1}{2 x} d x = x + C$

חזקה הופכית: $\int \frac{1}{x ^{n}} d x = \int x^{- n} d x = \frac{x ^{- n + 1}}{- n + 1} + C (n \neq = 1)$

כפל בקבוע, סכום והפרש: $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x, \int (f \pm g) d x = \int f d x \pm \int g d x$

פונקציה מורכבת עם פנימית לינארית — מחלקים במקדם של x: $\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$

בדיקה מהירה

מהי פונקציה קדומה (אינטגרל לא מסוים) של $f(x)=x^{2}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

שטח, נפח וממוצע

שטח בין גרף לציר ה-x: אם הפונקציה מחליפה סימן, מפצלים את התחום בנקודות האיפוס, ולוקחים את הערך המוחלט של כל חלק: $שטח = \int_{a}^{c} ∣ f ∣ d x + \int_{c}^{b} ∣ f ∣ d x$

נפח גוף סיבוב סביב ציר ה-x: $V = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x$

ערך ממוצע של f בתחום [a,b]: $\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אינטגרל מסוים של פולינום

חשבו $∫ from 0 to 2 of (3x^{2}+2x) dx$ .

\int_{0}^{2} (3 x^{2} + 2 x) d x = [x^{3} + x^{2}]_{0}^{2} = 12

שלב 1 — פונקציה קדומה

∫(3x^{2}+2x)dx = x^{3} + x^{2} + C

דוגמה 2: שורש במכנה וחזקה הופכית

חשבו $∫ from 1 to 4 of \frac{1}{2√x} dx$ ואת $∫ from 1 to 2 of \frac{1}{x^{2}} dx$ .

\int_{1}^{4} \frac{1}{2 x} d x = [x]_{1}^{4} = 1, \int_{1}^{2} \frac{1}{x ^{2}} d x = [- \frac{1}{x}]_{1}^{2} = \frac{1}{2}

שלב 1 — קדומה של $\frac{1}{2√x}$

∫ \frac{1}{2√x} dx = √x + C

דוגמה 3: פונקציה מורכבת עם פנימית לינארית

חשבו $∫ from 0 to 1 of (2x+1)^{3} dx$ .

\int_{0}^{1} (2 x + 1)^{3} d x = [\frac{( 2 x + 1 ) ^{4}}{8}]_{0}^{1} = \frac{81 - 1}{8} = 10

אל תשכחו לחלק במקדם הפנימי 2!

שלב 1 — קדומה עם חלוקה במקדם הפנימי

הפנימית

2x+1

; המקדם של x הוא 2. קדומה:

(2x+1)^{4}/4 \cdot (\frac{1}{2}) = (2x+1)^{4}/8

דוגמה 4: שטח כשהפונקציה מחליפה סימן

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של $f(x)=x^{2}-1$ לבין ציר ה-x בתחום [0,2].

S = \int_{0}^{1} (x^{2} - 1) d x + \int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2

שטח הוא תמיד חיובי — לכן מפצלים בנקודת האיפוס ולוקחים ערכים מוחלטים.

שלב 1 — נקודת איפוס

x^{2}-1=0 ⟸ x=1 (

בתחום). f שלילית ב-[0,1] וחיובית ב-[1,2].

תשובה מספרית

חשבו את האינטגרל המסוים $∫ from 0 to 2 of (3x^{2}+2x) dx$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: נפח גוף סיבוב

הגרף של $f(x)=x$ בתחום [0,3] מסתובב סביב ציר ה-x. מהו נפח הגוף שנוצר?

V = π \int_{0}^{3} x^{2} d x = π [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{3} = 9 π

זהו בדיוק נפח חרוט בעל רדיוס 3 וגובה 3: $\frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π \cdot 9 \cdot 3 = 9 π$ .

שלב 1 — נוסחת הנפח

V = \pi ∫ from a to b of [f(x)]^{2} dx

תשובה מספרית

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של $f(x)=x^{2}-1$ לבין ציר ה-x בתחום [0,2]. (שימו לב: הפונקציה מחליפה סימן.)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 6: ערך ממוצע של פונקציה

מהו הערך הממוצע של $f(x)=x^{2}$ בתחום [0,3]?

\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{3 - 0} \int_{0}^{3} x^{2} d x = \frac{9}{3} = 3

הערך הממוצע הוא גובה הפונקציה הקבועה שההצטברות שלה זהה לזו של f.

שלב 1 — נוסחת הממוצע

f̄ = \frac{1}{b-a} \cdot ∫ from a to b of f dx

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לא מפצלים שטח כשהפונקציה מחליפה סימן

ל- $f (x) = x^{2} - 1$ ב-[0,2]: האינטגרל הרגיל נותן $- \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$ , אבל השטח הוא $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$ .

למה זה קורה?

מחשבים אינטגרל אחד על כל התחום ומקבלים הפרש בין החלקים במקום סכום.

איך מתקנים?

מוצאים את נקודות האיפוס, מפצלים את התחום, ולוקחים את הערך המוחלט של כל חלק לפני החיבור.

טעות נפוצה: שוכחים לחלק במקדם הפנימי

טעות: $\int (2 x + 1)^{3} d x = \frac{( 2 x + 1 ) ^{4}}{4}$ .

נכון: $\int (2 x + 1)^{3} d x = \frac{( 2 x + 1 ) ^{4}}{8} + C$ .

למה זה קורה?

מתייחסים ל-

(2x+1)^{3}

כמו ל-

x^{3}

ולא מתקנים על השרשרת.

איך מתקנים?

באינטגרל של

f(ax+b)

מחלקים ב-a. הקדומה של

(2x+1)^{3}

היא

(2x+1)^{4}/4 \cdot (\frac{1}{2}) = (2x+1)^{4}/8

טעות נפוצה: שוכחים את $\pi$ או לא מעלים בריבוע בנפח סיבוב

טעות: $V = \int_{0}^{3} x d x = 4.5$ .

נכון: $V = π \int_{0}^{3} x^{2} d x = 9 π$ .

למה זה קורה?

מבלבלים בין שטח (∫f dx) לנפח

(\pi ∫f^{2} dx)

איך מתקנים?

נפח גוף סיבוב סביב ציר ה-x הוא

\pi ∫f^{2} dx

— גם ה-

\pi

וגם הריבוע הכרחיים.

טעות נפוצה: שוכחים לחלק באורך התחום בערך ממוצע

טעות: ממוצע של $x^{2}$ ב-[0,3] הוא 9.

נכון: $\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ .

למה זה קורה?

מחשבים רק את האינטגרל ושוכחים את הגורם

\frac{1}{b-a}

איך מתקנים?

ערך ממוצע

= (\frac{1}{b-a}) \cdot ∫f dx

. לחלק תמיד באורך התחום.

תשובה מספרית

מהו הערך הממוצע של הפונקציה $f(x)=x^{2}$ בתחום [0,3]?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

כללי אינטגרציה: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C, \int \frac{1}{2 x} d x = x + C, \int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$

יישומים:

שטח (מחליף סימן): מפצלים בנקודות איפוס ולוקחים ערכים מוחלטים.
נפח סיבוב סביב ציר ה-x: $V = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x$ .
ערך ממוצע: $\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f d x$ .

זכרו:

בפנימית לינארית — לחלק במקדם של x.
בנפח — אל תשכחו את $π$ ואת הריבוע.
שטח הוא תמיד חיובי.

כל הכבוד! השלמתם את היחידה על האינטגרל כפונקציית הצטברות!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על כללי האינטגרציה ויישומיהם!

כללי אינטגרציה, חישוב שטחים, נפחים וממוצע

כללי אינטגרציה, חישוב שטחים, נפחים וממוצע

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אינטגרל מסוים של פולינום

חשבו ∫from0to2of(3x2+2x)dx∫ from 0 to 2 of (3x^{2}+2x) dx∫from0to2of(3x2+2x)dx.

דוגמה 2: שורש במכנה וחזקה הופכית

חשבו ∫from1to4of12√xdx∫ from 1 to 4 of \frac{1}{2√x} dx∫from1to4of2√x1​dx ואת ∫from1to2of1x2dx∫ from 1 to 2 of \frac{1}{x^{2}} dx∫from1to2ofx21​dx.

דוגמה 3: פונקציה מורכבת עם פנימית לינארית

חשבו ∫from0to1of(2x+1)3dx∫ from 0 to 1 of (2x+1)^{3} dx∫from0to1of(2x+1)3dx.

דוגמה 4: שטח כשהפונקציה מחליפה סימן

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של f(x)=x2−1f(x)=x^{2}-1f(x)=x2−1 לבין ציר ה-x בתחום [0,2].

דוגמה 5: נפח גוף סיבוב

הגרף של f(x)=xf(x)=xf(x)=x בתחום [0,3] מסתובב סביב ציר ה-x. מהו נפח הגוף שנוצר?

דוגמה 6: ערך ממוצע של פונקציה

מהו הערך הממוצע של f(x)=x2f(x)=x^{2}f(x)=x2 בתחום [0,3]?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לא מפצלים שטח כשהפונקציה מחליפה סימן

טעות נפוצה: שוכחים לחלק במקדם הפנימי

טעות נפוצה: שוכחים את π\piπ או לא מעלים בריבוע בנפח סיבוב

טעות נפוצה: שוכחים לחלק באורך התחום בערך ממוצע

סיכום

תרגול נוסף

חשבו $∫ from 0 to 2 of (3x^{2}+2x) dx$ .

חשבו $∫ from 1 to 4 of \frac{1}{2√x} dx$ ואת $∫ from 1 to 2 of \frac{1}{x^{2}} dx$ .

חשבו $∫ from 0 to 1 of (2x+1)^{3} dx$ .

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של $f(x)=x^{2}-1$ לבין ציר ה-x בתחום [0,2].

הגרף של $f(x)=x$ בתחום [0,3] מסתובב סביב ציר ה-x. מהו נפח הגוף שנוצר?

מהו הערך הממוצע של $f(x)=x^{2}$ בתחום [0,3]?

טעות נפוצה: שוכחים את $\pi$ או לא מעלים בריבוע בנפח סיבוב