סדרות כלליות: כלל לפי מקום מול כלל נסיגה

מבוא

מטרות השיעור

להבחין בין כלל לפי מקום (מחשב את $a_{n}$ ישירות מ-n) לבין כלל נסיגה (מחשב כל איבר מקודמו)
להבין חשיבה רקורסיבית ואת הצורך בתנאי התחלה
להשתמש באינדוקציה כדי להוכיח שקילות בין שני הייצוגים בסדרות חשבוניות והנדסיות
להבין מדוע המעבר מכלל נסיגה לכלל לפי מקום אינו תמיד אפשרי (קושי עקרוני)

הרעיון המרכזי

שני אופני הגדרה של סדרה

כלל לפי מקום (מפורש): נוסחה שמחשבת את האיבר ישירות ממקומו. למשל $a_{n} = 5 n - 2$ .

כלל נסיגה (רקורסיבי): תנאי התחלה + כלל למעבר מאיבר לעוקבו. למשל $a_{1} = 3, a_{n + 1} = a_{n} + 5$ .

כלל הנסיגה הוא בעצם כלל רקורסיה, בדיוק כפי שמכירים במדעי המחשב (כמו חישוב n!). שימו לב: $a_{n + 1}$ הוא האיבר העוקב, ואין לבלבל אותו עם $a_{n} + 1$ .

בדיקה מהירה

מהו ההבדל בין כלל לפי מקום לבין כלל נסיגה של סדרה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מעבר מכלל לפי מקום לכלל נסיגה הוא קל. הכיוון ההפוך — מציאת כלל לפי מקום מתוך כלל נסיגה — הוא קושי עקרוני, ובתוכנית הלימודים נדרש רק עבור סדרות חשבוניות והנדסיות.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב רקורסיבי

נתון $a_{1} = 3, a\_(n+1) = a_n + 5$ . חשבו את ארבעת האיברים הראשונים

a_{1} = 3, a_{2} = 8, a_{3} = 13, a_{4} = 18

האיבר הראשון

a_{1} = 3 (

תנאי ההתחלה).

תשובה מספרית

סדרה הנדסית מוגדרת בכלל נסיגה: $a_{1} = 2, a\_(n+1) = 3 \cdot a_n$ . מהו $a_{4}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מעבר מכלל נסיגה לכלל לפי מקום (חשבונית)

נתון $a_{1} = 3, a\_(n+1) = a_n + 5$ . מצאו כלל לפי מקום

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 3 + 5 (n - 1) = 5 n - 2

מזהים את הסוג

מוסיפים קבוע 5 בכל צעד — זוהי סדרה חשבונית עם

d=5

דוגמה 3: הוכחת שקילות באינדוקציה (חשבונית)

הוכיחו באינדוקציה ש- $a_{1}=a_{1}, a\_(n+1)=a_n+d$ שקול לכלל $a_n = a_{1} + (n-1)d$

a_{k + 1} = a_{k} + d = a_{1} + (k - 1) d + d = a_{1} + k d

בסיס $(n=1)$

הכלל לפי מקום נותן

a_{1} + (1-1)d = a_{1}

— מתאים לתנאי ההתחלה.

בדיקה מהירה

בהוכחת שקילות באינדוקציה של סדרה חשבונית $(a\_(n+1)=a_n+d)$ לכלל $a_n=a_{1}+(n-1)d$ , מהו השלב המהותי בצעד שמשתמש בכלל הנסיגה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: הוכחת שקילות באינדוקציה (הנדסית)

הוכיחו ש- $a_{1}=2, a\_(n+1)=3a_n$ שקול ל- $a_n = 2 \cdot 3^(n-1)$

a_{k + 1} = 3 \cdot a_{k} = 3 \cdot 2 \cdot 3^{k - 1} = 2 \cdot 3^{k}

בסיס $(n=1)$

הכלל לפי מקום:

2 \cdot 3^{0} = 2

— מתאים לתנאי ההתחלה.

סידור

סדרו את שלבי הוכחת השקילות באינדוקציה: הכלל הרקורסיבי $a_{1}=2, a\_(n+1)=3a_n$ שקול לכלל לפי מקום $a_n = 2 \cdot 3^(n-1):$

גררו את הפריטים לסדר הנכון

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שתמיד אפשר למצוא כלל לפי מקום מכלל נסיגה

לסדרה כללית הנתונה בכלל נסיגה לא תמיד קיים כלל לפי מקום פשוט.

למה זה קורה?

ההצלחה במעבר עבור סדרות חשבוניות והנדסיות יוצרת רושם שזה תמיד פשוט.

איך מתקנים?

המעבר מכלל לפי מקום לכלל נסיגה קל תמיד. הכיוון ההפוך הוא קושי עקרוני; נדרש רק לחשבוניות והנדסיות.

טעות נפוצה: שוכחים את תנאי ההתחלה

הכלל $a_{n + 1} = a_{n} + 5$ בלבד אינו קובע אם הסדרה היא $3, 8, 13, \dots$ או $1, 6, 11, \dots$

למה זה קורה?

מתמקדים בכלל המעבר

a\_(n+1)=a_n+d

ושוכחים לציין את

a_{1}

איך מתקנים?

בלי האיבר הראשון הסדרה אינה מוגדרת באופן יחיד. כלל נסיגה חייב לכלול תנאי התחלה.

טעות נפוצה: מבלבלים בין $a\_(n+1)$ ל- $a_n + 1$

$a_{n + 1}$ = האיבר במקום n+1; $a_{n} + 1$ = ערך האיבר ה-n ועוד 1.

למה זה קורה?

הסימון

a\_(n+1)

דומה חיצונית ל-

a_n + 1

איך מתקנים?

a\_(n+1)

הוא האיבר הבא בסדרה (במקום

n+1). a_n + 1

הוא ערך האיבר ה-n ועוד 1 — דברים שונים.

טעות נפוצה: בהוכחת שקילות לא משתמשים בכלל הנסיגה

שלב צעד תקין: $a_{k + 1} = נסיגה a_{k} + d = הנחה a_{1} + (k - 1) d + d$

למה זה קורה?

תלמידים מציבים

n=k+1

ישר בכלל לפי מקום ומכריזים על סיום.

איך מתקנים?

הצעד חייב לחבר בין שני הייצוגים: מתחילים מ-

a\_(k+1)

לפי כלל הנסיגה, מחליפים את

a_k

לפי ההנחה, ומגיעים לכלל לפי מקום עבור

k+1

סיכום

מה למדנו?

כלל לפי מקום: מחשב את $a_{n}$ ישירות מ-n (למשל $a_{n} = 5 n - 2$ ).
כלל נסיגה: תנאי התחלה + מעבר מאיבר לעוקבו (למשל $a_{1} = 3, a_{n + 1} = a_{n} + 5$ ) — חשיבה רקורסיבית.
הוכחת שקילות באינדוקציה: הצעד מחבר את כלל הנסיגה עם הכלל לפי מקום.
- חשבונית: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ .
- הנדסית: $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ .
מעבר מכלל לפי מקום לכלל נסיגה — תמיד אפשרי; הכיוון ההפוך — קושי עקרוני, נדרש רק לחשבוניות והנדסיות.

כל הכבוד! סיימתם את היחידה על אינדוקציה מתמטית ושימושיה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מעבר בין ייצוגי סדרות והוכחת שקילות באינדוקציה!

סדרות כלליות: כלל לפי מקום מול כלל נסיגה וחשיבה רקורסיבית

סדרות כלליות: כלל לפי מקום מול כלל נסיגה וחשיבה רקורסיבית

סדרות כלליות: כלל לפי מקום מול כלל נסיגה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב רקורסיבי

נתון $a_{1} = 3, a\_(n+1) = a_n + 5$ . חשבו את ארבעת האיברים הראשונים

דוגמה 2: מעבר מכלל נסיגה לכלל לפי מקום (חשבונית)

נתון $a_{1} = 3, a\_(n+1) = a_n + 5$ . מצאו כלל לפי מקום

דוגמה 3: הוכחת שקילות באינדוקציה (חשבונית)

הוכיחו באינדוקציה ש- $a_{1}=a_{1}, a\_(n+1)=a_n+d$ שקול לכלל $a_n = a_{1} + (n-1)d$

דוגמה 4: הוכחת שקילות באינדוקציה (הנדסית)

הוכיחו ש- $a_{1}=2, a\_(n+1)=3a_n$ שקול ל- $a_n = 2 \cdot 3^(n-1)$

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שתמיד אפשר למצוא כלל לפי מקום מכלל נסיגה

טעות נפוצה: שוכחים את תנאי ההתחלה

טעות נפוצה: מבלבלים בין $a\_(n+1)$ ל- $a_n + 1$

טעות נפוצה: בהוכחת שקילות לא משתמשים בכלל הנסיגה

סיכום

תרגול נוסף

סדרות כלליות: כלל לפי מקום מול כלל נסיגה וחשיבה רקורסיבית

סדרות כלליות: כלל לפי מקום מול כלל נסיגה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב רקורסיבי

נתון a1=3,a_(n+1)=an+5a_{1} = 3, a\_(n+1) = a_n + 5a1​=3,a_(n+1)=an​+5. חשבו את ארבעת האיברים הראשונים

דוגמה 2: מעבר מכלל נסיגה לכלל לפי מקום (חשבונית)

נתון a1=3,a_(n+1)=an+5a_{1} = 3, a\_(n+1) = a_n + 5a1​=3,a_(n+1)=an​+5. מצאו כלל לפי מקום

דוגמה 3: הוכחת שקילות באינדוקציה (חשבונית)

הוכיחו באינדוקציה ש-a1=a1,a_(n+1)=an+da_{1}=a_{1}, a\_(n+1)=a_n+da1​=a1​,a_(n+1)=an​+d שקול לכלל an=a1+(n−1)da_n = a_{1} + (n-1)dan​=a1​+(n−1)d

דוגמה 4: הוכחת שקילות באינדוקציה (הנדסית)

הוכיחו ש-a1=2,a_(n+1)=3ana_{1}=2, a\_(n+1)=3a_na1​=2,a_(n+1)=3an​ שקול ל-an=2⋅3(n−1)a_n = 2 \cdot 3^(n-1)an​=2⋅3(n−1)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שתמיד אפשר למצוא כלל לפי מקום מכלל נסיגה

טעות נפוצה: שוכחים את תנאי ההתחלה

טעות נפוצה: מבלבלים בין a_(n+1)a\_(n+1)a_(n+1) ל-an+1a_n + 1an​+1

טעות נפוצה: בהוכחת שקילות לא משתמשים בכלל הנסיגה

סיכום

תרגול נוסף

נתון $a_{1} = 3, a\_(n+1) = a_n + 5$ . חשבו את ארבעת האיברים הראשונים

נתון $a_{1} = 3, a\_(n+1) = a_n + 5$ . מצאו כלל לפי מקום

הוכיחו באינדוקציה ש- $a_{1}=a_{1}, a\_(n+1)=a_n+d$ שקול לכלל $a_n = a_{1} + (n-1)d$

הוכיחו ש- $a_{1}=2, a\_(n+1)=3a_n$ שקול ל- $a_n = 2 \cdot 3^(n-1)$

טעות נפוצה: מבלבלים בין $a\_(n+1)$ ל- $a_n + 1$