הוכחה באינדוקציה של נוסחאות סכום

מבוא

מטרות השיעור

ליישם את שלב הבסיס ושלב הצעד להוכחת נוסחאות סכום
להבין את התפקיד המרכזי של הנחת האינדוקציה בשלב הצעד
להוכיח נוסחאות מוכרות כמו $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ו- $1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$
לכתוב הוכחה מסודרת: בסיס, הנחה, צעד, הסקה

הרעיון המרכזי

כשמוכיחים נוסחת סכום באינדוקציה, הסוד נמצא בשלב הצעד: הסכום עד k+1 הוא הסכום עד k ועוד האיבר הבא. במקום לסכום מחדש מאפס, מחליפים את הסכום עד k בביטוי הסגור שלו (לפי הנחת האינדוקציה) ומוסיפים את האיבר ה-(k+1).

המבנה הקבוע של הוכחת נוסחת סכום

בסיס: מציבים n=1 בשני האגפים ובודקים שוויון.
הנחת האינדוקציה: מניחים שהנוסחה נכונה עבור n=k.
צעד: כותבים את הסכום עד k+1 כ"סכום עד k" ועוד "האיבר ה-(k+1)", מחליפים לפי ההנחה, ומפשטים עד הנוסחה עבור k+1.
הסקה: מסיקים שהנוסחה נכונה לכל n טבעי.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סכום המספרים הטבעיים

הוכיחו: $1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}$

\frac{k ( k + 1 )}{2} + (k + 1) = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2}

בסיס $(n=1)$

אגף שמאל

= 1

. אגף ימין

= 1 \cdot \frac{2}{2} = 1

. שווים, ולכן הבסיס מתקיים.

תשובה מספרית

בהוכחה באינדוקציה של $1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}$ , מה ערך אגף ימין בשלב הבסיס $(n=1)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: סכום המספרים האי-זוגיים

הוכיחו: $1+3+5+\ldots+(2n-1) = n^{2}$

k^{2} + (2 k + 1) = (k + 1)^{2}

בסיס $(n=1)$

אגף שמאל

= 1

. אגף ימין

= 1^{2} = 1

. מתאים.

דוגמה 3: סכום ריבועים

הוכיחו: $1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2} = n(n+1)\frac{2n+1}{6}$

\frac{k ( k + 1 ) ( 2 k + 1 )}{6} + (k + 1)^{2} = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( 2 k + 3 )}{6}

בסיס $(n=1)$

אגף שמאל

= 1

. אגף ימין

= 1 \cdot 2 \cdot \frac{3}{6} = 1

. מתאים.

בדיקה מהירה

מוכיחים באינדוקציה את $1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2} = n(n+1)\frac{2n+1}{6}$ . בשלב הצעד מוסיפים $(k+1)^{2}$ לאגף $k(k+1)\frac{2k+1}{6}$ . לאיזה ביטוי שואפים להגיע?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: סכום חזקות 2 (סדרה הנדסית)

הוכיחו: $1+2+2^{2}+\ldots+2^(n-1) = 2^n - 1$

(2^{k} - 1) + 2^{k} = 2^{k + 1} - 1

בסיס $(n=1)$

אגף שמאל

= 1

. אגף ימין

= 2^{1} - 1 = 1

. מתאים.

תשובה קצרה

בהוכחת $1+3+5+\ldots+(2n-1) = n^{2}$ , בשלב הצעד מניחים שהסכום עד k שווה $k^{2}$ . מוסיפים את האיבר הבא $2(k+1)-1 = 2k+1$ . פשטו את $k^{2} + (2k+1)$ וכתבו את התוצאה כריבוע.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לא משתמשים בהנחת האינדוקציה

מההנחה = k (k + 1) /2 1 + 2 + \dots + k + (k + 1)

למה זה קורה?

תלמידים מנסים לסכום את כל האיברים עד

k+1

מחדש, או רק מציבים

n=k+1

בנוסחה הסגורה.

איך מתקנים?

הסכום עד

k+1 = (

הסכום עד

k) +

האיבר הבא. החליפו את הסכום עד k בביטוי הסגור מההנחה, ורק אז הוסיפו את האיבר ה-

(k+1)

טעות נפוצה: הצבת $n=k+1$ בשני האגפים במקום הוכחה

שלב צעד תקין מתחיל ב- $(1 + 2 + \dots + k) + (k + 1)$ ולא בהצבה ישירה בנוסחה הסגורה.

למה זה קורה?

תלמיד מציב

n=k+1

בנוסחה הסגורה משני הצדדים ומקבל שוויון, וחושב שסיים.

איך מתקנים?

זו רק חזרה על מה שרוצים להוכיח. הצעד חייב להתחיל מאגף שמאל (הסכום בפועל) ולהגיע לאגף ימין באמצעות ההנחה.

בדיקה מהירה

תלמיד 'הוכיח' נוסחת סכום כך: הציב $n=k+1$ בנוסחה הסגורה משני האגפים וקיבל שוויון. מדוע ההוכחה שגויה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: שוכחים את שלב הבסיס

בנוסחה $2 + 4 + \dots + 2 n = n^{2} + n + 1$ הצעד תקין אך הבסיס נכשל ( $2 \neq = 3$ ), והנוסחה שגויה.

למה זה קורה?

תלמידים מתמקדים באלגברה של הצעד ומדלגים על בדיקת

n=1

איך מתקנים?

הבסיס הוא 'האבן הראשונה'. בלעדיו, גם צעד תקין אינו מוכיח דבר. תמיד פותחים בהצבת

n=1

בשני האגפים.

טעות נפוצה: טעות בזיהוי האיבר ה- $(k+1)$

האיבר ה-(k+1) של $1, 3, 5, \dots$ הוא 2(k+1)-1 = 2k+1, ולא 2k-1.

למה זה קורה?

בסדרת האי-זוגיים מוסיפים

2k-1

או 2k במקום

2(k+1)-1

איך מתקנים?

האיבר ה-

(k+1)

מתקבל מהצבת

n=k+1

בכלל האיבר הכללי. לסדרת האי-זוגיים:

2(k+1)-1 = 2k+1

סיכום

מה למדנו?

הוכחת נוסחת סכום באינדוקציה: בסיס → הנחה → צעד → הסקה.
הצעד המרכזי: $S_{k + 1} = S_{k} + a_{k + 1}$ , ומחליפים את $S_{k}$ לפי ההנחה.
נוסחאות יסוד שהוכחנו:
- $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$
- $1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$
- $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$
- $1 + 2 + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1$
תמיד פותחים בבסיס ומסיימים בהסקה מפורשת.

מצוין! עכשיו אתם יודעים להוכיח נוסחאות סכום באינדוקציה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הוכחת נוסחאות סכום באינדוקציה!

הוכחה באינדוקציה של נוסחאות סכום

הוכחה באינדוקציה של נוסחאות סכום

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סכום המספרים הטבעיים

הוכיחו: 1+2+…+n=n(n+1)21+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}1+2+…+n=2n(n+1)​

דוגמה 2: סכום המספרים האי-זוגיים

הוכיחו: 1+3+5+…+(2n−1)=n21+3+5+\ldots+(2n-1) = n^{2}1+3+5+…+(2n−1)=n2

דוגמה 3: סכום ריבועים

הוכיחו: 12+22+…+n2=n(n+1)2n+161^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2} = n(n+1)\frac{2n+1}{6}12+22+…+n2=n(n+1)62n+1​

דוגמה 4: סכום חזקות 2 (סדרה הנדסית)

הוכיחו: 1+2+22+…+2(n−1)=2n−11+2+2^{2}+\ldots+2^(n-1) = 2^n - 11+2+22+…+2(n−1)=2n−1

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לא משתמשים בהנחת האינדוקציה

טעות נפוצה: הצבת n=k+1n=k+1n=k+1 בשני האגפים במקום הוכחה

טעות נפוצה: שוכחים את שלב הבסיס

טעות נפוצה: טעות בזיהוי האיבר ה-(k+1)(k+1)(k+1)

סיכום

תרגול נוסף

הוכיחו: $1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}$

הוכיחו: $1+3+5+\ldots+(2n-1) = n^{2}$

הוכיחו: $1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2} = n(n+1)\frac{2n+1}{6}$

הוכיחו: $1+2+2^{2}+\ldots+2^(n-1) = 2^n - 1$

טעות נפוצה: הצבת $n=k+1$ בשני האגפים במקום הוכחה

טעות נפוצה: טעות בזיהוי האיבר ה- $(k+1)$