הסתברות מותנית ומאורעות בלתי תלויים

מבוא

מטרות השיעור

להבין את מושג ההסתברות המותנית $P (A ∣ B)$ כצמצום מרחב המדגם.
ליישם את הנוסחה $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ .
לבדוק אי-תלות בעזרת משפט המכפלה $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .
להבחין בין מאורעות זרים, תלויים ובלתי תלויים, ולהבין מדוע $P (A ∣ B) \neq = P (B ∣ A)$ בדרך כלל.

הרעיון המרכזי

הסתברות מותנית

ההסתברות ש-A יקרה בהינתן ש-B כבר קרה: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}, P (B) > 0$

הרעיון: כש-B ידוע, מרחב המדגם מצטמצם ל-B. אנחנו שואלים איזה חלק מ-B מקיים גם את A.

אי-תלות

A ו-B הם בלתי תלויים כאשר הידיעה ש-B קרה אינה משנה את ההסתברות של A: $P (A ∣ B) = P (A)$

באופן שקול, משפט המכפלה: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

ההגדרה סימטרית: אם A בלתי תלוי ב-B, אז גם B בלתי תלוי ב-A.

זרים מול בלתי תלויים — אל תתבלבלו!

זרים: $P (A \cap B) = 0$ (לא יכולים לקרות יחד).
בלתי תלויים: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ (קרות אחד של השני לא משפיע).

שני מאורעות זרים בעלי הסתברות חיובית הם דווקא תלויים, כי הידיעה שאחד קרה שוללת לחלוטין את השני.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: צמצום מרחב המדגם

קובייה: $A =$ זוגי $, B =$ גדול מ-3. מצאו P(A|B)

P (A ∣ B) = \frac{∣ A \cap B ∣}{∣ B ∣} = \frac{2}{3}

שלב 1 — מצמצמים ל-B

B = {4,5,6}

, שלוש תוצאות שוות הסתברות

תשובה מספרית

מטילים קובייה הוגנת $. A = "$ התוצאה זוגית $", B = "$ התוצאה גדולה מ-3". בהינתן שהתקבלה תוצאה גדולה מ-3, מהי ההסתברות שהיא גם זוגית, P(A|B)? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.005

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שימוש בנוסחה ישירות

$P(A∩B) = 0.2, P(B) = 0.5$ . מצאו P(A|B)

P (A ∣ B) = \frac{0.2}{0.5} = 0.4

שלב 1 — נוסחת ההסתברות המותנית

P(A|B) = \frac{P(A∩B)}{P(B)}

תשובה מספרית

נתון $P(A∩B) = 0.2$ ו- $P(B) = 0.5$ . חשבו את P(A|B). הזינו כשבר עשרוני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: בדיקת אי-תלות

$P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.2$ . האם A,B בלתי תלויים?

P (A) \cdot P (B) = 0.2 = P (A \cap B) \Rightarrow בלתי תלויים

שלב 1 — מחשבים את המכפלה

P(A) \cdot P(B) = 0.4 \cdot 0.5 = 0.2

דוגמה 4: בדיקה רפואית — P(A|B) ≠ P(B|A)

100 נבדקים: 30 חולים $(27$ חיוביים), 70 בריאים $(7$ חיוביים). מצאו P(חולה|חיובי)

P (חולה ∣ חיובי) = \frac{27}{34} \approx 0.794 \neq = P (חיובי ∣ חולה) = 0.9

שלב 1 — כמה קיבלו חיובי

27 חולים

+ 7

בריאים

= 34

תשובה מספרית

ב-100 נבדקים: ל-30 יש מחלה ול-70 אין. בדיקה נתנה תוצאה חיובית ל-27 מתוך החולים ול-7 מתוך הבריאים. אדם קיבל תוצאה חיובית. מהי ההסתברות שהוא באמת חולה, P(חולה | חיובי)? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.005

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: זרים אינם בלתי תלויים

A,B זרים $, P(A)=0.3, P(B)=0.4$ . האם בלתי תלויים?

P (A \cap B) = 0 \neq = 0.12 = P (A) \cdot P (B)

שלב 1 — זרים

P(A∩B) = 0

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אם A ו-B מאורעות זרים $(A∩B = ∅)$ ושניהם בעלי הסתברות חיובית, אז הם בלתי תלויים.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים ש- $P(A|B) = P(B|A)$

בבדיקה רפואית: $P (חולה ∣ חיובי) \approx 0.79$ אבל $P (חיובי ∣ חולה) = 0.9$ — שונה לגמרי.

למה זה קורה?

תלמידים מניחים שההסתברות המותנית סימטרית, כמו חיתוך.

איך מתקנים?

P(A|B) = \frac{P(A∩B)}{P(B)}

, אבל

P(B|A) = \frac{P(A∩B)}{P(A)}

. המכנים שונים, אז התוצאות שונות — במיוחד כש-P(A) ו-P(B) רחוקות זו מזו.

טעות נפוצה: מבלבלים בין זרים לבין בלתי תלויים

A,B זרים עם P(A),P(B) > 0: הידיעה ש-B קרה שוללת את A — זו תלות חזקה.

למה זה קורה?

תלמידים מניחים שאם המאורעות לא יכולים לקרות יחד, הם 'לא קשורים' ולכן בלתי תלויים.

איך מתקנים?

זרים:

P(A∩B)=0

. בלתי תלויים:

P(A∩B)=P(A) \cdot P(B)

. מאורעות זרים בעלי הסתברות חיובית הם דווקא תלויים.

טעות נפוצה: לא מצמצמים את מרחב המדגם

עבור קובייה ו-B = 6: $P (A ∣ B) = \frac{∣ A \cap B ∣}{∣ B ∣} = \frac{2}{3}$ , ולא $\frac{2}{6}$ .

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים את A על מרחב המדגם המקורי במקום בתוך B.

איך מתקנים?

בהסתברות מותנית B הופך למרחב המדגם החדש. מחלקים ב-P(B), לא ב-

P(\Omega )=1

טעות נפוצה: בודקים אי-תלות לפי $P(A) = P(B)$

המבחן הנכון: השוו את $P (A \cap B)$ עם המכפלה $P (A) \cdot P (B)$ .

למה זה קורה?

תלמידים חושבים ששוויון ההסתברויות עצמן הוא קריטריון לאי-תלות.

איך מתקנים?

הקריטריון היחיד הוא משפט המכפלה:

P(A∩B) = P(A) \cdot P(B)

. שוויון P(A) ו-P(B) אינו רלוונטי.

סיכום

מה למדנו?

הסתברות מותנית: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ — צמצום מרחב המדגם ל-B.

אי-תלות (משפט המכפלה): $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B) ⟺ P (A ∣ B) = P (A)$ .

זכרו:

$P (A ∣ B) \neq = P (B ∣ A)$ בדרך כלל.
זרים ≠ בלתי תלויים. מאורעות זרים חיוביים הם תלויים.

כל הכבוד! ההסתברות המותנית היא הבסיס לעץ ההסתברויות שנלמד בשיעור הבא.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הסתברות מותנית ואי-תלות!

הסתברות מותנית ומאורעות בלתי תלויים

הסתברות מותנית ומאורעות בלתי תלויים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: צמצום מרחב המדגם

קובייה: A=A =A= זוגי,B=, B =,B= גדול מ-3. מצאו P(A|B)

דוגמה 2: שימוש בנוסחה ישירות

P(A∩B)=0.2,P(B)=0.5P(A∩B) = 0.2, P(B) = 0.5P(A∩B)=0.2,P(B)=0.5. מצאו P(A|B)

דוגמה 3: בדיקת אי-תלות

P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A∩B)=0.2P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.2P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A∩B)=0.2. האם A,B בלתי תלויים?

דוגמה 4: בדיקה רפואית — P(A|B) ≠ P(B|A)

100 נבדקים: 30 חולים (27(27(27 חיוביים), 70 בריאים (7(7(7 חיוביים). מצאו P(חולה|חיובי)

דוגמה 5: זרים אינם בלתי תלויים

A,B זרים,P(A)=0.3,P(B)=0.4, P(A)=0.3, P(B)=0.4,P(A)=0.3,P(B)=0.4. האם בלתי תלויים?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים ש-P(A∣B)=P(B∣A)P(A|B) = P(B|A)P(A∣B)=P(B∣A)

טעות נפוצה: מבלבלים בין זרים לבין בלתי תלויים

טעות נפוצה: לא מצמצמים את מרחב המדגם

טעות נפוצה: בודקים אי-תלות לפי P(A)=P(B)P(A) = P(B)P(A)=P(B)

סיכום

תרגול נוסף

קובייה: $A =$ זוגי $, B =$ גדול מ-3. מצאו P(A|B)

$P(A∩B) = 0.2, P(B) = 0.5$ . מצאו P(A|B)

$P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.2$ . האם A,B בלתי תלויים?

100 נבדקים: 30 חולים $(27$ חיוביים), 70 בריאים $(7$ חיוביים). מצאו P(חולה|חיובי)

A,B זרים $, P(A)=0.3, P(B)=0.4$ . האם בלתי תלויים?

טעות נפוצה: חושבים ש- $P(A|B) = P(B|A)$

טעות נפוצה: בודקים אי-תלות לפי $P(A) = P(B)$