ניסויים רב-שלביים ועץ הסתברויות

מבוא

מטרות השיעור

לבנות עץ הסתברויות לניסויים דו-שלביים ותלת-שלביים.
ליישם את חוק המכפלה: הכפלת הסתברויות לאורך מסלול יחיד.
לחבר הסתברויות של מסלולים שונים המובילים לאותו מאורע.
להבחין בין שליפה עם החזרה (בלתי תלויה) לשליפה ללא החזרה (עדכון הסתברויות).

הרעיון המרכזי

עץ הסתברויות

עץ הסתברויות מתאר ניסוי רב-שלבי: כל שלב הוא רמה בעץ, וכל ענף נושא את ההסתברות (המותנית) של המעבר.

חוק המכפלה (לאורך מסלול): $P (מסלול) = p_{1} \cdot p_{2} \cdot \dots \cdot p_{k}$ מכפלת ההסתברויות של הענפים לאורך אותו מסלול. ההכפלה נובעת מהגדרת ההסתברות המותנית: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .

חיבור מסלולים: אם מאורע מתממש בכמה מסלולים שונים (זרים), מחברים את הסתברויות המסלולים.

עם החזרה לעומת ללא החזרה

עם החזרה: ההרכב חוזר לקדמותו בכל שלב, ההסתברויות קבועות והשלבים בלתי תלויים.
ללא החזרה: אחרי כל שליפה המצב משתנה, ויש לעדכן את ההסתברות בשלב הבא (הסתברות מותנית).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מסלול יחיד — חוק המכפלה

מטבע הוגן מוטל פעמיים. מהי ההסתברות ל'עץ' ואז 'עץ'?

P (עץ, עץ) = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25

שלב 1 — ענף ראשון

P(עץ)

= 0.5

תשובה מספרית

מטילים מטבע הוגן פעמיים. מהי ההסתברות לקבל 'עץ' בשתי ההטלות? הזינו כשבר עשרוני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: חיבור מסלולים

מטבע הוגן מוטל פעמיים. מהי ההסתברות לבדיוק 'עץ' אחד?

P = 0.25 + 0.25 = 0.5

שלב 1 — מסלול עץ-פלי

0.5 \cdot 0.5 = 0.25

תשובה מספרית

מטילים מטבע הוגן פעמיים. מהי ההסתברות לקבל בדיוק 'עץ' אחד (כלומר 'עץ' באחת ההטלות ו'פלי' בשנייה)? הזינו כשבר עשרוני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שליפה ללא החזרה

כד: 3 אדומים, 2 כחולים. שולפים 2 ללא החזרה. P(שניהם אדומים)?

P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = 0.3

שלב 1 — שליפה ראשונה

P(אדום)

= \frac{3}{5}

תשובה מספרית

בכד 3 כדורים אדומים ו-2 כחולים. שולפים שני כדורים בזה אחר זה ללא החזרה. מהי ההסתברות ששניהם אדומים? הזינו כשבר עשרוני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שליפה עם החזרה

אותו כד, אך עם החזרה. P(שניהם אדומים)?

P = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25} = 0.36

שלב 1 — שליפה ראשונה

P(אדום)

= \frac{3}{5}

דוגמה 5: שלושה שלבים + משלים

מטבע הוגן מוטל 3 פעמים. P(לפחות עץ אחד)?

P = 1 - (0.5)^{3} = 1 - 0.125 = 0.875

שלב 1 — מאורע משלים

'אף עץ' = פלי שלוש פעמים

תשובה מספרית

מטילים מטבע הוגן שלוש פעמים. מהי ההסתברות לקבל 'עץ' לפחות פעם אחת? הזינו כשבר עשרוני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחברים במקום להכפיל לאורך מסלול

טעות: P(עץ, עץ) = 0.5 + 0.5 = 1.

נכון: P(עץ, עץ) = 0.5 · 0.5 = 0.25.

למה זה קורה?

תלמידים מחברים את הסתברויות הענפים לאורך מסלול יחיד.

איך מתקנים?

לאורך מסלול יחיד — מכפילים (חוק המכפלה). מחברים רק בין מסלולים שונים שמובילים לאותו מאורע.

טעות נפוצה: לא מעדכנים הסתברויות בשליפה ללא החזרה

טעות: P(שני אדומים, ללא החזרה) = 3/5 · 3/5.

נכון: P = 3/5 · 2/4 = 0.3, כי אחרי שליפת אדום נשארו 2 אדומים מ-4.

למה זה קורה?

תלמידים משתמשים באותה הסתברות בכל שלב גם כשהמצב השתנה.

איך מתקנים?

ללא החזרה: אחרי כל שליפה, עדכנו את מספר הכדורים ואת ההרכב. ההסתברות בשלב הבא היא מותנית.

טעות נפוצה: מכפילים מסלולים שונים במקום לחבר

טעות: P(בדיוק עץ אחד) = 0.25 · 0.25.

נכון: P = 0.25 + 0.25 = 0.5 (עץ-פלי או פלי-עץ).

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין 'לאורך מסלול' ל'בין מסלולים'.

איך מתקנים?

מסלולים שונים הם מאורעות זרים — מחברים את הסתברויותיהם.

טעות נפוצה: מחשבים 'לפחות אחד' מסלול-מסלול במקום במשלים

$P (לפחות עץ אחד ב-3 הטלות) = 1 - (0.5)^{3} = 0.875$ .

למה זה קורה?

ספירת כל המסלולים של 'לפחות אחד' מסורבלת ומועדת לטעויות.

איך מתקנים?

'לפחות אחד

' = 1 - P('

אף אחד'). לרוב הרבה יותר קל לחשב את המשלים.

סיכום

מה למדנו?

עץ הסתברויות:

לאורך מסלול — מכפילים (חוק המכפלה): $P (מסלול) = p_{1} \cdot p_{2} \dots p_{k}$ .
בין מסלולים — מחברים (מאורעות זרים).

שליפה:

עם החזרה → הסתברויות קבועות, שלבים בלתי תלויים.
ללא החזרה → עדכון הסתברויות (מותנה) בכל שלב.

טיפ: ל'לפחות אחד' השתמשו במשלים: $1 - P (אף אחד)$ .

כל הכבוד! עץ ההסתברויות הוא כלי רב-עוצמה לניסויים רב-שלביים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על ניסויים רב-שלביים ועץ הסתברויות!