סוג הקעירות והקשר לסימן הנגזרת השנייה

מבוא

מטרות השיעור

להבין מהי קעירות כלפי מעלה (∪) וקעירות כלפי מטה (∩)
לקשר בין סימן הנגזרת השנייה לסוג הקעירות
למצוא תחומי קעירות בעזרת טבלת סימנים של f''(x)
להבחין בין קעירות (סימן f'') לבין עליה/ירידה (סימן f')

הרעיון המרכזי

הקשר בין הקעירות לנגזרת השנייה

כשהנגזרת הראשונה עולה (השיפוע הולך וגדל), הגרף קעור כלפי מעלה ⟶ צורת $\cup$ .

כשהנגזרת הראשונה יורדת (השיפוע הולך וקטן), הגרף קעור כלפי מטה ⟶ צורת $\cap$ .

מכיוון ש-f'' מודדת אם f' עולה או יורדת, מתקבל הקריטריון:

f^{''} (x) > 0 \Rightarrow \cup (קעור כלפי מעלה)

f^{''} (x) < 0 \Rightarrow \cap (קעור כלפי מטה)

בדיקה מהירה

אם בקטע מסוים $f''(x) > 0$ , מה ניתן לומר על הקעירות של גרף הפונקציה באותו קטע?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

קעירות אינה עליה או ירידה

שימו לב היטב: עליה וירידה נקבעות על ידי סימן הנגזרת הראשונה, ואילו הקעירות נקבעת על ידי סימן הנגזרת השנייה. אלו שתי תכונות בלתי תלויות:

פונקציה יכולה לעלות ולהיות קעורה כלפי מטה (שיפוע חיובי שהולך וקטן).
פונקציה יכולה לרדת ולהיות קעורה כלפי מעלה (שיפוע שלילי שהולך וגדל לעבר אפס).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קעירות קבועה

קבעו את הקעירות של $f(x) = x^{2}$ בכל תחום ההגדרה

f^{''} (x) = 2 > 0 \Rightarrow \cup

שלב 1 — נגזרות

f'(x) = 2x, f''(x) = 2

דוגמה 2: שני תחומי קעירות

מצאו את תחומי הקעירות של $f(x) = x^{3} - 3x^{2}$

f^{''} (x) = 6 x - 6, f^{''} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1

שלב 1 — נגזרות

f'(x) = 3x^{2} - 6x, f''(x) = 6x - 6

תשובה מספרית

נתונה $f(x) = x^{3} - 3x^{2}$ . מצאו את הערך של x שבו הנגזרת השנייה מתאפסת (הגבול בין שני סוגי הקעירות).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: קעירות עם שני אפסים

מצאו את תחומי הקעירות של $f(x) = x^{4} - 6x^{2}$

f''(x) = 12(x-1)(x+1)

שלב 1 — נגזרות

f'(x) = 4x^{3} - 12x, f''(x) = 12x^{2} - 12

בדיקה מהירה

נתונה $f(x) = x^{4} - 6x^{2}$ . באיזה תחום הגרף קעור כלפי מטה (∩)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: יורדת אך קעורה כלפי מעלה

הראו ש- $f(x) = \frac{1}{x}$ יורדת אך קעורה כלפי מעלה עבור $x > 0$

f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}} < 0, f^{''} (x) = \frac{2}{x ^{3}} > 0 עבור x > 0

עליה/ירידה והקעירות הן תכונות בלתי תלויות!

שלב 1 — נגזרת ראשונה

f'(x) = -\frac{1}{x^{2}} < 0 ⟶

הפונקציה יורדת

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: כל פונקציה יורדת היא בהכרח קעורה כלפי מטה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: קובעים קעירות לפי סימן הנגזרת הראשונה

פונקציה עולה יכולה להיות קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה — תלוי בסימן f'', לא בסימן f'.

למה זה קורה?

מבלבלים בין עליה/ירידה (f') לבין סוג הקעירות (f'').

איך מתקנים?

הקעירות נקבעת אך ורק לפי סימן f''. השתמשו ב-f' לעליה/ירידה ולא לקעירות.

טעות נפוצה: מהפכים את כיוון הקעירות

$f^{''} (x) > 0 \Rightarrow \cup$ ולא $\cap$ .

למה זה קורה?

מתבלבלים וקושרים את הסימן + ל-∩ ואת − ל-∪.

איך מתקנים?

זכרו: + מתאים ל-∪ (חיוך), − מתאים ל-∩ (עצב)

. f''>0 ⟶ ∪, f''<0 ⟶ ∩

טעות נפוצה: חושבים שפונקציה יורדת היא תמיד קעורה כלפי מטה

$f (x) = \frac{1}{x}$ עבור x>0: יורדת (f'<0) אך $\cup$ (f''>0).

למה זה קורה?

מקשרים אינטואיטיבית 'למטה' של ירידה עם '∩'.

איך מתקנים?

ירידה היא תכונה של f', קעירות היא תכונה של

f''. f(x)=\frac{1}{x}

עבור

x>0

יורדת אך קעורה כלפי מעלה.

טעות נפוצה: שוכחים לבדוק את סימן f'' בכל קטע בנפרד

ל- $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ יש שלושה קטעי קעירות שונים — חובה לבדוק כל קטע.

למה זה קורה?

מסיקים מסקנה גורפת מערך בודד של f''.

איך מתקנים?

ערכו טבלת סימנים: מצאו את אפסי f'', חלקו לקטעים ובדקו את הסימן בכל אחד.

סיכום

מה למדנו?

f''(x) > 0 ⟺ קעירות כלפי מעלה $\cup$ (השיפוע גדל).
f''(x) < 0 ⟺ קעירות כלפי מטה $\cap$ (השיפוע קטן).
מוצאים תחומי קעירות בעזרת טבלת סימנים של f''.
קעירות אינה עליה/ירידה — הן נקבעות על ידי נגזרות שונות.

בשיעור הבא נראה מה קורה בנקודה שבה הקעירות מתחלפת — נקודת הפיתול.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על קביעת קעירות לפי סימן הנגזרת השנייה!

סוג הקעירות והקשר לסימן הנגזרת השנייה

סוג הקעירות והקשר לסימן הנגזרת השנייה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קעירות קבועה

קבעו את הקעירות של f(x)=x2f(x) = x^{2}f(x)=x2 בכל תחום ההגדרה

דוגמה 2: שני תחומי קעירות

מצאו את תחומי הקעירות של f(x)=x3−3x2f(x) = x^{3} - 3x^{2}f(x)=x3−3x2

דוגמה 3: קעירות עם שני אפסים

מצאו את תחומי הקעירות של f(x)=x4−6x2f(x) = x^{4} - 6x^{2}f(x)=x4−6x2

דוגמה 4: יורדת אך קעורה כלפי מעלה

הראו ש-f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1​ יורדת אך קעורה כלפי מעלה עבור x>0x > 0x>0

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: קובעים קעירות לפי סימן הנגזרת הראשונה

טעות נפוצה: מהפכים את כיוון הקעירות

טעות נפוצה: חושבים שפונקציה יורדת היא תמיד קעורה כלפי מטה

טעות נפוצה: שוכחים לבדוק את סימן f'' בכל קטע בנפרד

סיכום

תרגול נוסף

קבעו את הקעירות של $f(x) = x^{2}$ בכל תחום ההגדרה

מצאו את תחומי הקעירות של $f(x) = x^{3} - 3x^{2}$

מצאו את תחומי הקעירות של $f(x) = x^{4} - 6x^{2}$

הראו ש- $f(x) = \frac{1}{x}$ יורדת אך קעורה כלפי מעלה עבור $x > 0$