יישומים: תאוצה, מילוי כלים ובעיות השתנות קצב השינוי

מבוא

מטרות השיעור

לפרש את המהירות כנגזרת הראשונה של הדרך ואת התאוצה כנגזרת השנייה
להבין שתאוצה שלילית פירושה מהירות יורדת, ולא בהכרח תנועה אחורה
לפרש את הנגזרת השנייה בבעיות מילוי כלים (אם קצב עליית הגובה גדל או קטן)
לקשר בין סימן הנגזרת השנייה לבין השאלה אם קצב השינוי גדל או קטן

הרעיון המרכזי

דרך, מהירות ותאוצה

עבור גוף שמיקומו נתון על ידי s(t) (הדרך לפי הזמן):

המהירות היא הנגזרת הראשונה: v(t) = s'(t) — קצב השינוי של הדרך.
התאוצה היא הנגזרת השנייה: a(t) = s''(t) — קצב השינוי של המהירות.

a(t) > 0 ⟶ המהירות גדלה; a(t) < 0 ⟶ המהירות קטנה.

כיוון אינו תאוצה

שימו לב היטב: כיוון התנועה נקבע על ידי סימן המהירות (v=s'), ואילו התאוצה (a=s'') קובעת רק אם המהירות גדלה או קטנה. גוף יכול לנוע קדימה (v>0) ועם זאת להאט (a<0).

מילוי כלים — קעירות גרף הגובה

כשממלאים כלי במים בקצב נפח קבוע, גובה הנוזל h(t) עולה. הנגזרת השנייה h''(t) מתארת אם קצב עליית הגובה גדל או קטן:

h''(t) > 0 (גרף ∪): קצב עליית הגובה גדל — אופייני לכלי שמצר כלפי מעלה.
h''(t) < 0 (גרף ∩): קצב עליית הגובה קטן — אופייני לכלי שמתרחב כלפי מעלה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב תאוצה

מיקום גוף: $s(t) = t^{3} - 4t^{2}$ . מצאו את התאוצה ברגע $t = 2$

a (t) = s^{''} (t) = 6 t - 8 \Rightarrow a (2) = 4

שלב 1 — מהירות

v(t) = s'(t) = 3t^{2} - 8t

תשובה מספרית

מיקום גוף נתון על ידי $s(t) = t^{3} - 2t^{2} (t$ בשניות, s במטרים). מהי התאוצה ברגע $t = 3 ($ במ'/שנ')?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: פירוש סימן התאוצה

ברגע $t = 1$ , ל- $s(t) = t^{3} - 6t^{2} + 5t$ מהי המהירות והאם הגוף מאיץ או מאט?

v (1) = - 4, a (1) = - 6

הסימנים של v ושל a מספרים שני דברים שונים!

שלב 1 — מהירות

v(t) = 3t^{2} - 12t + 5

, ולכן

v(1) = 3 - 12 + 5 = -4 (

שלילית)

בדיקה מהירה

ברגע מסוים המהירות של מכונית חיובית והתאוצה שלילית. מה ניתן לומר על המהירות באותו רגע?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מילוי מיכל

נפח מים במיכל: $V(t) = t^{3} + 2t ($ ליטר, t בדקות). חשבו את $V''(3)$ ופרשו

V^{''} (t) = 6 t > 0 \Rightarrow קצב המילוי עולה

שלב 1 — קצב מילוי

V'(t) = 3t^{2} + 2 (

ליטר לדקה)

בדיקה מהירה

מים זורמים לכלי, וגרף הגובה h כתלות בזמן t קעור כלפי מעלה (∪). מה זה אומר על קצב עליית הגובה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מתי המהירות מינימלית

מיקום: $s(t) = t^{3} - 9t^{2} + 24t$ . מצאו מתי המהירות מינימלית

s^{''} (t) = 6 t - 18 = 0 \Rightarrow t = 3

קיצון של המהירות נמצא היכן שהתאוצה (s'') מתאפסת ומחליפה סימן.

שלב 1 — מהירות

v(t) = s'(t) = 3t^{2} - 18t + 24

תשובה מספרית

מיקום גוף נתון על ידי $s(t) = t^{3} - 6t^{2} + 9t (t$ בשניות). באיזה רגע t מהירות הגוף מקבלת ערך מינימלי?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין מהירות לתאוצה

עבור s(t): v=s' היא המהירות, a=s'' היא התאוצה — לא אותו דבר.

למה זה קורה?

שניהם 'קצב', וקל לעצור אחרי גזירה אחת.

איך מתקנים?

מהירות

= s' (

גזירה אחת). תאוצה

= s'' (

שתי גזירות). חשבו פעמיים!

טעות נפוצה: חושבים שתאוצה שלילית = תנועה אחורה

מכונית עם v>0 ו-a<0 נעה קדימה אך מאטה.

למה זה קורה?

מקשרים 'מינוס' עם כיוון.

איך מתקנים?

תאוצה שלילית = המהירות יורדת. כיוון התנועה נקבע מסימן המהירות, לא מסימן התאוצה.

טעות נפוצה: מזהים גובה הנוזל עם קצב המילוי

ב-h(t): הנגזרת השנייה h'' מתארת את קעירות גרף הגובה–זמן.

למה זה קורה?

לא מבחינים בין h, h' ו-h''.

איך מתקנים?

h =

גובה

, h' =

קצב עליית הגובה

, h'' =

אם קצב זה גדל (∪) או קטן (∩).

טעות נפוצה: שוכחים את היחידות

לתאוצה תמיד יחידות של $\frac{אורך}{זמן ^{2}}$ (למשל מ'/שנ²).

למה זה קורה?

לא עוקבים אחרי מעבר היחידות בכל גזירה.

איך מתקנים?

אם s במטר ו-t בשנייה: v במ'/שנ', a במ'/שנ

^{2}

. עקבו אחר היחידות בכל גזירה.

סיכום

מה למדנו?

מהירות = s'(t); תאוצה = s''(t).
סימן התאוצה אומר אם המהירות גדלה (+) או קטנה (−) — לא את כיוון התנועה.
בבעיות מילוי: h''>0 ⟶ קצב עליית הגובה גדל; h''<0 ⟶ קטן.
הנגזרת השנייה היא הכלי לתיאור השתנות קצב השינוי בכל הקשר מציאותי.

סיימתם את היחידה! עכשיו אתם יודעים לקשר בין הנגזרת השנייה לקעירות, לפיתול, לסוג קיצון וליישומים מהעולם האמיתי.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על יישומי הנגזרת השנייה בבעיות תנועה ומילוי!

יישומים: תאוצה, מילוי כלים ובעיות השתנות קצב השינוי

יישומים: תאוצה, מילוי כלים ובעיות השתנות קצב השינוי

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב תאוצה

מיקום גוף: s(t)=t3−4t2s(t) = t^{3} - 4t^{2}s(t)=t3−4t2. מצאו את התאוצה ברגע t=2t = 2t=2

דוגמה 2: פירוש סימן התאוצה

ברגע t=1t = 1t=1, ל-s(t)=t3−6t2+5ts(t) = t^{3} - 6t^{2} + 5ts(t)=t3−6t2+5t מהי המהירות והאם הגוף מאיץ או מאט?

דוגמה 3: מילוי מיכל

נפח מים במיכל: V(t)=t3+2t(V(t) = t^{3} + 2t (V(t)=t3+2t(ליטר, t בדקות). חשבו את V′′(3)V''(3)V′′(3) ופרשו

דוגמה 4: מתי המהירות מינימלית

מיקום: s(t)=t3−9t2+24ts(t) = t^{3} - 9t^{2} + 24ts(t)=t3−9t2+24t. מצאו מתי המהירות מינימלית

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין מהירות לתאוצה

טעות נפוצה: חושבים שתאוצה שלילית = תנועה אחורה

טעות נפוצה: מזהים גובה הנוזל עם קצב המילוי

טעות נפוצה: שוכחים את היחידות

סיכום

תרגול נוסף

מיקום גוף: $s(t) = t^{3} - 4t^{2}$ . מצאו את התאוצה ברגע $t = 2$

ברגע $t = 1$ , ל- $s(t) = t^{3} - 6t^{2} + 5t$ מהי המהירות והאם הגוף מאיץ או מאט?

נפח מים במיכל: $V(t) = t^{3} + 2t ($ ליטר, t בדקות). חשבו את $V''(3)$ ופרשו

מיקום: $s(t) = t^{3} - 9t^{2} + 24t$ . מצאו מתי המהירות מינימלית