הנגזרת השנייה כקצב השינוי של הנגזרת הראשונה

מבוא

מטרות השיעור

להבין שהנגזרת הראשונה f'(x) מתארת את קצב השינוי של הפונקציה
להגדיר את הנגזרת השנייה f''(x) כנגזרת של הנגזרת הראשונה
לחשב את הנגזרת השנייה לפולינומים ולמנות פשוטות
לפרש את הנגזרת השנייה כקצב השינוי של קצב השינוי (למשל תאוצה)

הרעיון המרכזי

הגדרת הנגזרת השנייה

את הנגזרת הראשונה הגדרנו כקצב השינוי של הפונקציה בנקודה. אך גם קצב השינוי עצמו יכול להשתנות — לפעמים הוא גדל, לפעמים קטן. כדי לתאר את ההשתנות הזו גוזרים שוב:

f^{''} (x) = (f^{'} (x))^{'}

הנגזרת השנייה היא הנגזרת של הנגזרת הראשונה, והיא מודדת את קצב השינוי של f'(x).

סימונים נפוצים: f''(x) או $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ .

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הנגזרת השנייה שווה לנגזרת הראשונה בריבוע, כלומר $f''(x) = (f'(x))^{2}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

שתי דרגות של שינוי

f(x) — הערך עצמו (למשל המיקום).
f'(x) — קצב השינוי של הערך (למשל המהירות).
f''(x) — קצב השינוי של קצב השינוי (למשל התאוצה).

כדי לחשב את f'' פשוט גוזרים פעמיים ברצף.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גזירה כפולה של פולינום

חשבו את f''(x) עבור $f(x) = x^{4} - 3x^{2} + 5$

f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x \Rightarrow f^{''} (x) = 12 x^{2} - 6

שלב 1 — גזירה ראשונה

f'(x) = 4x^{3} - 6x

דוגמה 2: חישוב הנגזרת השנייה בנקודה

נתונה $f(x) = 2x^{3} - 4x^{2}$ . מצאו את $f''(3)$

f^{''} (x) = 12 x - 8 \Rightarrow f^{''} (3) = 28

שלב 1 — נגזרת ראשונה

f'(x) = 6x^{2} - 8x

דוגמה 3: נגזרת שנייה של מנה פשוטה

חשבו את f''(x) עבור $f(x) = \frac{1}{x^{2}}$

f (x) = x^{- 2} \Rightarrow f^{'} (x) = - 2 x^{- 3} \Rightarrow f^{''} (x) = 6 x^{- 4} = \frac{6}{x ^{4}}

שלב 1 — כתיבה כחזקה

f(x) = x^{-2}

בדיקה מהירה

נתונה $f(x) = \frac{1}{x} ($ עבור $x \ne 0)$ . מהי הנגזרת השנייה f''(x)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: פירוש פיזיקלי — מהירות ותאוצה

מיקום גוף: $s(t) = t^{3} - 6t^{2}$ . מצאו את התאוצה ברגע $t = 5$

a (t) = s^{''} (t) = 6 t - 12 \Rightarrow a (5) = 18

הנגזרת השנייה של הדרך לפי הזמן היא בדיוק התאוצה — קצב השינוי של המהירות.

שלב 1 — מהירות

המהירות היא הנגזרת הראשונה:

v(t) = s'(t) = 3t^{2} - 12t

תשובה מספרית

נתונה $f(x) = x^{3}$ . חשבו את $f''(2)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מיקומו של גוף נתון על ידי $s(t) = t^{3} - 3t^{2} (t$ בשניות, s במטרים). הנגזרת הראשונה s'(t) היא המהירות והנגזרת השנייה s''(t) היא התאוצה. מהי התאוצה ברגע $t = 4 ($ במ'/שנ')?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהנגזרת השנייה היא הנגזרת בריבוע

טעות: עבור $f (x) = x^{2}$ כותבים $f^{''} (x) = (2 x)^{2} = 4 x^{2}$

נכון: f'(x) = 2x, ולכן f''(x) = 2

למה זה קורה?

הסימון f'' מטעה — נדמה שמדובר בהעלאה בחזקה.

איך מתקנים?

f''(x) = (f'(x))'

— גוזרים את f' שוב. זו פעולת גזירה, לא העלאה בריבוע.

טעות נפוצה: מבלבלים בין קצב השינוי של f לקצב השינוי של f'

ב-s(t) של תנועה: s'(t) היא המהירות, ו-s''(t) היא התאוצה — שני גדלים שונים לחלוטין.

למה זה קורה?

גם f' וגם f'' עוסקים ב'שינוי', וקל להחליף ביניהם.

איך מתקנים?

f' =

קצב השינוי של הפונקציה

. f'' =

קצב השינוי של הנגזרת הראשונה (של קצב השינוי).

טעות נפוצה: עוצרים אחרי גזירה אחת

עבור $f (x) = x^{3}$ : לא מספיק $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ . גוזרים שוב כדי לקבל f''(x)=6x.

למה זה קורה?

שוכחים שדרושות שתי גזירות, ומסיקים על f'' מתוך f'.

איך מתקנים?

כדי לקבל את f'' חובה לגזור פעמיים ברצף. אחרי f' גוזרים שוב.

טעות נפוצה: טועים במקדמים ובסימן בגזירה החוזרת

עבור $f (x) = x^{- 1}$ : $f^{'} (x) = - x^{- 2}$ , ואז $f^{''} (x) = (- 1) (- 2) x^{- 3} = 2 x^{- 3}$ — שימו לב שהסימן חזר להיות חיובי.

למה זה קורה?

בגזירה השנייה מתבלבלים בכפל המקדמים או בסימן של מעריך שלילי.

איך מתקנים?

בכל גזירה מורידים את החזקה כמקדם ומקטינים את המעריך ב-1. שמרו על הסימנים, גם למעריך שלילי.

סיכום

מה למדנו?

הנגזרת השנייה היא הנגזרת של הנגזרת הראשונה: f''(x) = (f'(x))'.
היא מודדת את קצב השינוי של קצב השינוי.
מחשבים אותה על ידי גזירה כפולה ברצף.
בתנועה: s'(t) = מהירות, s''(t) = תאוצה.
זכרו: f'' אינה $(f^{'})^{2}$ !

בשיעור הבא נראה כיצד הסימן של הנגזרת השנייה קובע את צורת הקעירות של הגרף.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב ופירוש של הנגזרת השנייה!

הנגזרת השנייה כקצב השינוי של הנגזרת הראשונה

הנגזרת השנייה כקצב השינוי של הנגזרת הראשונה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גזירה כפולה של פולינום

חשבו את f''(x) עבור f(x)=x4−3x2+5f(x) = x^{4} - 3x^{2} + 5f(x)=x4−3x2+5

דוגמה 2: חישוב הנגזרת השנייה בנקודה

נתונה f(x)=2x3−4x2f(x) = 2x^{3} - 4x^{2}f(x)=2x3−4x2. מצאו את f′′(3)f''(3)f′′(3)

דוגמה 3: נגזרת שנייה של מנה פשוטה

חשבו את f''(x) עבור f(x)=1x2f(x) = \frac{1}{x^{2}}f(x)=x21​

דוגמה 4: פירוש פיזיקלי — מהירות ותאוצה

מיקום גוף: s(t)=t3−6t2s(t) = t^{3} - 6t^{2}s(t)=t3−6t2. מצאו את התאוצה ברגע t=5t = 5t=5

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהנגזרת השנייה היא הנגזרת בריבוע

טעות נפוצה: מבלבלים בין קצב השינוי של f לקצב השינוי של f'

טעות נפוצה: עוצרים אחרי גזירה אחת

טעות נפוצה: טועים במקדמים ובסימן בגזירה החוזרת

סיכום

תרגול נוסף

חשבו את f''(x) עבור $f(x) = x^{4} - 3x^{2} + 5$

נתונה $f(x) = 2x^{3} - 4x^{2}$ . מצאו את $f''(3)$

חשבו את f''(x) עבור $f(x) = \frac{1}{x^{2}}$

מיקום גוף: $s(t) = t^{3} - 6t^{2}$ . מצאו את התאוצה ברגע $t = 5$