מבחן הנגזרת השנייה לסוג הקיצון ומגבלותיו

מבוא

מטרות השיעור

ליישם את מבחן הנגזרת השנייה בנקודה שבה f'=0
לקבוע: f''>0 ⟶ מינימום, f''<0 ⟶ מקסימום
להבין שהמבחן חד-כווני ושכאשר f''=0 אין להסיק את סוג הקיצון
לדעת לחזור לטבלת סימנים של f' או לגרף הנגזרת כשהמבחן אינו מספיק

הרעיון המרכזי

מבחן הנגזרת השנייה

נניח שבנקודה x=a מתקיים f'(a)=0 (נקודה חשודה לקיצון). אז:

f^{''} (a) > 0 \Rightarrow מינימום מקומי (\cup)

f^{''} (a) < 0 \Rightarrow מקסימום מקומי (\cap)

ההיגיון: סביב הנקודה הקריטית, הקעירות (סימן f'') קובעת אם זו "קערית" (מינימום) או "כיפה" (מקסימום).

המבחן חד-כווני — והמקרה $f''=0$

זהו משפט חד-כווני: מסימן f'' אפשר להסיק על סוג הקיצון, אך לא להפך.

כאשר f''(a)=0 — המבחן אינו חד-משמעי. לא ניתן להסיק מהו סוג הקיצון, ואף לא לשלול קיצון. במצב זה חוזרים לטבלת סימנים של f' (או בוחנים את גרף הנגזרת):

אם f' עוברת מ-(−) ל-(+) ⟶ מינימום.
אם f' עוברת מ-(+) ל-(−) ⟶ מקסימום.
אם f' אינה מחליפה סימן ⟶ אין קיצון (נקודת פיתול אופקית).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי מינימום

קבעו את סוג הקיצון של $f(x) = x^{2} - 6x + 4$

f^{''} (3) = 2 > 0 \Rightarrow מינימום

שלב 1 — נקודה חשודה

f'(x) = 2x - 6 = 0 ⟶ x = 3

בדיקה מהירה

בנקודה $x = a$ מתקיים $f'(a) = 0$ ו- $f''(a) > 0$ . איזה סוג קיצון יש שם?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שתי נקודות קיצון

קבעו את סוגי הקיצון של $f(x) = x^{3} - 3x$

f^{''} (1) = 6 > 0 (מינ), f^{''} (- 1) = - 6 < 0 (מקס)

שלב 1 — נקודות חשודות

f'(x) = 3x^{2} - 3 = 0 ⟶ x = 1

או

x = -1

בדיקה מהירה

נתונה $f(x) = x^{3} - 3x$ . בנקודה החשודה $x = -1$ , סוג הקיצון הוא:

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: כאשר המבחן 'שותק' (f''=0)

קבעו את סוג הקיצון של $f(x) = x^{4}$ בנקודה $x = 0$

f^{''} (0) = 0 \Rightarrow המבחן שותק \Rightarrow טבלת סימנים של f^{'}

שלב 1 — נקודה חשודה

f'(x) = 4x^{3} = 0 ⟶ x = 0

בדיקה מהירה

נתונה $f(x) = x^{4}$ . בנקודה החשודה $x = 0$ מתקיים $f'(0) = 0$ ו- $f''(0) = 0$ . מה ניתן להסיק ממבחן הנגזרת השנייה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: אותו f''=0 — תוצאה שונה

קבעו את סוג הקיצון של $f(x) = x^{3}$ בנקודה $x = 0$

f^{''} (0) = 0 גם כאן, אך אין קיצון — בניגוד ל- x^{4}

שתי דוגמאות עם אותו f''(0)=0 ותוצאה הפוכה — בדיוק לכן המבחן אינו חד-משמעי במקרה זה!

שלב 1 — נקודה חשודה

f'(x) = 3x^{2} = 0 ⟶ x = 0

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: אם $f'(a) = 0$ ו- $f''(a) = 0$ , ניתן להסיק בוודאות שאין קיצון ב- $x = a$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שכאשר $f''=0$ אין קיצון

ל- $x^{4}$ יש מינימום ב-0 למרות ש-f''(0)=0; ל- $x^{3}$ אין קיצון. אותו f''=0, תוצאות שונות.

למה זה קורה?

מבלבלים בין 'המבחן שותק' לבין 'אין קיצון'.

איך מתקנים?

f''=0

אומר רק שהמבחן אינו חד-משמעי. ייתכן מינימום, מקסימום או פיתול — בדקו בטבלת סימנים.

טעות נפוצה: מהפכים את כיוון המבחן

$f^{''} (a) > 0 \Rightarrow מינימום$ , ולא מקסימום.

למה זה קורה?

מקשרים 'גבוה/חיובי' עם מקסימום.

איך מתקנים?

f''>0 ⟶ ∪ ⟶

מינימום

. f''<0 ⟶ ∩ ⟶

מקסימום. הסימן החיובי שייך למינימום!

טעות נפוצה: מיישמים את המבחן בנקודה שבה $f' \ne 0$

מבחן הנגזרת השנייה לסוג הקיצון מופעל אך ורק בנקודות שבהן f'=0.

למה זה קורה?

שוכחים שהמבחן תקף רק בנקודות חשודות לקיצון.

איך מתקנים?

ראשית מצאו היכן

f'=0

. רק שם מבחן הנגזרת השנייה רלוונטי לקביעת סוג הקיצון.

טעות נפוצה: שוכחים שיש דרכים נוספות לקביעת סוג הקיצון

כשהמבחן אינו חד-משמעי, טבלת הסימנים של f' תמיד נותנת תשובה.

למה זה קורה?

נצמדים רק למבחן הנגזרת השנייה.

איך מתקנים?

ניתן לקבוע סוג קיצון גם מטבלת ערכי f, מטבלת סימנים של f', או מגרף הנגזרת. כשהמבחן שותק — אלו ההצלה.

סיכום

מה למדנו?

בנקודה שבה f'=0: f''>0 ⟶ מינימום, f''<0 ⟶ מקסימום.
המבחן חד-כווני: מסיקים מהסימן, לא מההיפך.
כאשר f''=0 המבחן שותק — ייתכן כל סוג קיצון או פיתול.
במצב זה חוזרים לטבלת סימנים של f' או לגרף הנגזרת.

בשיעור הבא ניישם את הנגזרת השנייה בבעיות מציאותיות: תאוצה ומילוי כלים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מבחן הנגזרת השנייה ועל מגבלותיו!

מבחן הנגזרת השנייה לסוג הקיצון ומגבלותיו

מבחן הנגזרת השנייה לסוג הקיצון ומגבלותיו

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי מינימום

קבעו את סוג הקיצון של f(x)=x2−6x+4f(x) = x^{2} - 6x + 4f(x)=x2−6x+4

דוגמה 2: שתי נקודות קיצון

קבעו את סוגי הקיצון של f(x)=x3−3xf(x) = x^{3} - 3xf(x)=x3−3x

דוגמה 3: כאשר המבחן 'שותק' (f''=0)

קבעו את סוג הקיצון של f(x)=x4f(x) = x^{4}f(x)=x4 בנקודה x=0x = 0x=0

דוגמה 4: אותו f''=0 — תוצאה שונה

קבעו את סוג הקיצון של f(x)=x3f(x) = x^{3}f(x)=x3 בנקודה x=0x = 0x=0

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שכאשר f′′=0f''=0f′′=0 אין קיצון

טעות נפוצה: מהפכים את כיוון המבחן

טעות נפוצה: מיישמים את המבחן בנקודה שבה f′≠0f' \ne 0f′=0

טעות נפוצה: שוכחים שיש דרכים נוספות לקביעת סוג הקיצון

סיכום

תרגול נוסף

קבעו את סוג הקיצון של $f(x) = x^{2} - 6x + 4$

קבעו את סוגי הקיצון של $f(x) = x^{3} - 3x$

קבעו את סוג הקיצון של $f(x) = x^{4}$ בנקודה $x = 0$

קבעו את סוג הקיצון של $f(x) = x^{3}$ בנקודה $x = 0$

טעות נפוצה: חושבים שכאשר $f''=0$ אין קיצון

טעות נפוצה: מיישמים את המבחן בנקודה שבה $f' \ne 0$