פתרון משוואות אי-רציונליות

מבוא

מטרות השיעור

לפתור משוואה הכוללת שורש ריבועי על ידי בידוד השורש והעלאה בריבוע
להבין מדוע העלאה בריבוע עלולה ליצור פתרונות זרים
לבדוק כל פתרון מועמד במשוואה המקורית ולפסול פתרונות זרים
לקבוע מראש את תנאי הקיום (אי-שליליות) כדי לחסוך עבודה

הרעיון המרכזי

שיטת הפתרון

כדי לפתור משוואה מהצורה $g (x) = h (x)$ :

תנאים: $g (x) \geq 0$ (כדי שהשורש יוגדר) וגם $h (x) \geq 0$ (כי שורש אינו שלילי).
בידוד: מסדרים כך שהשורש יעמוד לבדו באגף אחד.
ריבוע: מעלים את שני האגפים בריבוע: $g (x) = (h (x))^{2}$ .
פתרון: פותרים את המשוואה המתקבלת (לרוב ליניארית או ריבועית).
בדיקה: מציבים כל פתרון מועמד במשוואה המקורית ופוסלים פתרונות זרים.

סידור

סדרו את שלבי הפתרון של משוואה אי-רציונלית כמו $\sqrt{g(x)}=h(x)$ בסדר הנכון:

גררו את הפריטים לסדר הנכון

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

מדוע נוצרים פתרונות זרים?

ההעלאה בריבוע אינה הפיכה. גם $a = b$ וגם $a = - b$ נותנים אחרי ריבוע את אותה משוואה $a = b^{2}$ . לכן כל פתרון של המקורית הוא פתרון של המרובעת, אבל לא להפך — עלולים להתווסף פתרונות שמתאימים ל- $a = - b$ ולא למקורית. בדיקה היא חובה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משוואה בסיסית

פתרו: $\sqrt{2x+3}=5$

2 x + 3 = 5 \Rightarrow 2 x + 3 = 25 \Rightarrow x = 11

שלב 1 — תנאי

2x+3 \ge 0

; האגף הימני

5 > 0 ✓

דוגמה 2: פתרון זר שנפסל

פתרו: $\sqrt{x+6}=x$

x = - 2 : 4 = 2 \neq = - 2 \Rightarrow נפסל

שלב 1 — תנאי

האגף השמאלי שורש ⇒ אי-שלילי, לכן

x \ge 0

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: כאשר מעלים את שני אגפי משוואה בריבוע, עלולים להתקבל פתרונות שאינם פתרונות של המשוואה המקורית, ולכן חובה לבדוק כל פתרון.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: איברי x² מצטמצמים

פתרו: $\sqrt{x^{2}-3}=x-1$

x^{2} - 3 = (x - 1)^{2} \Rightarrow x = 2

שלב 1 — תנאי

x^{2}-3 \ge 0

וגם

x-1 \ge 0 (

אגף ימני אי-שלילי)

דוגמה 4: משוואה ריבועית עם פסילה

פתרו: $\sqrt{x+7}=x+1$

x = - 3 : 4 = 2 \neq = - 2 \Rightarrow נפסל

שלב 1 — תנאי

x+7 \ge 0

וגם

x+1 \ge 0 ⇒ x \ge -1

בדיקה מהירה

פתרו את המשוואה $\sqrt{x+6}=x$ . אילו מהפתרונות תקפים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פתרו את המשוואה $\sqrt{x+7}=x+1$ . מהו הפתרון, ואיזה מועמד יש לפסול?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לא בודקים את הפתרונות במשוואה המקורית

ב- $x + 6 = x$ מקבלים x=3 ו-x=-2, אך רק x=3 תקף.

למה זה קורה?

תלמידים מסיימים אחרי פתרון המשוואה הריבועית ומדלגים על הבדיקה.

איך מתקנים?

הבדיקה היא חלק בלתי-נפרד מהפתרון: כל פתרון מועמד חייב לעבור הצבה במשוואה המקורית.

טעות נפוצה: מתייחסים להעלאה בריבוע כפעולה הפיכה

$a = b$ ו- $a = - b$ נותנים אחרי ריבוע את אותה משוואה $a = b^{2}$ .

למה זה קורה?

חושבים שאם

A^{2}=B^{2}

אז

A=B

איך מתקנים?

העלאה בריבוע אינה הפיכה: גם

√a=b

וגם

√a=-b

נותנים

a=b^{2}

. לכן עלולים להיווצר פתרונות זרים.

טעות נפוצה: ריבוע שגוי של סכום הכולל שורש

טעות: $(A + B)^{2} = A + B^{2}$

נכון: $(A + B)^{2} = A + 2 B A + B^{2}$

למה זה קורה?

מעלים

(√A+B)

בריבוע כאילו

(√A)^{2}+B^{2}

איך מתקנים?

(√A+B)^{2} = A + 2B√A + B^{2}

. צריך לכלול את האיבר האמצעי

2B√A

סיכום

מה למדנו?

פותרים משוואה אי-רציונלית ב-5 שלבים: תנאים ← בידוד ← ריבוע ← פתרון ← בדיקה.
העלאה בריבוע אינה הפיכה, ולכן עלולים להתקבל פתרונות זרים.
בדיקת כל פתרון במשוואה המקורית היא חובה, לא בחירה.
טיפ: אם האגף השני של $g (x) = h (x)$ שלילי, אין פתרון מאותו ענף.

מעולה! שליטה בפסילת פתרונות זרים היא סימן ההיכר של פתרון נכון של משוואות שורש.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פתרון משוואות אי-רציונליות ופסילת פתרונות זרים!

פתרון משוואות אי-רציונליות

פתרון משוואות אי-רציונליות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משוואה בסיסית

פתרו: 2x+3=5\sqrt{2x+3}=52x+3​=5

דוגמה 2: פתרון זר שנפסל

פתרו: x+6=x\sqrt{x+6}=xx+6​=x

דוגמה 3: איברי x² מצטמצמים

פתרו: x2−3=x−1\sqrt{x^{2}-3}=x-1x2−3​=x−1

דוגמה 4: משוואה ריבועית עם פסילה

פתרו: x+7=x+1\sqrt{x+7}=x+1x+7​=x+1

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: לא בודקים את הפתרונות במשוואה המקורית

טעות נפוצה: מתייחסים להעלאה בריבוע כפעולה הפיכה

טעות נפוצה: ריבוע שגוי של סכום הכולל שורש

סיכום

תרגול נוסף

פתרו: $\sqrt{2x+3}=5$

פתרו: $\sqrt{x+6}=x$

פתרו: $\sqrt{x^{2}-3}=x-1$

פתרו: $\sqrt{x+7}=x+1$