אסימפטוטות ומשיק אנכי בפונקציות שורש

מבוא

מטרות השיעור

לחקור את ההתנהגות של פונקציית שורש כאשר $x \to + \infty$ וכאשר $x \to - \infty$
לזהות אסימפטוטה אופקית שעשויה להתקיים רק בכיוון אחד
להשתמש בכפל בצמוד כדי לחשב גבולות של הצורה $f (x) - x$
להבחין בין משיק אנכי (שיפוע אינסופי, הפונקציה רציפה) לבין אסימפטוטה אנכית

הרעיון המרכזי

כפל בצמוד

ביטויים מהצורה $x^{2} + b x + c - x$ נראים תחילה כ-"אינסוף פחות אינסוף". כדי לחשב את הגבול כש- $x \to + \infty$ כופלים ומחלקים בצמוד: $A - x = \frac{( A - x ) ( A + x )}{A + x} = \frac{A - x ^{2}}{A + x}$

המונה הופך לפולינום פשוט, והמכנה גדל ללא חסם — וכך הגבול מתברר.

$\sqrt{x^{2}}=|m|$ והכיוונים השונים

זכרו: $x^{2} = ∣ x ∣$ . עבור x>0 מתקיים |x|=x, ועבור x<0 מתקיים |x|=-x.

זו הסיבה שפונקציה עשויה להתנהג שונה לחלוטין ב- $+ \infty$ וב- $- \infty$ , ולעיתים יש לה אסימפטוטה אופקית רק בכיוון אחד.

משיק אנכי לעומת אסימפטוטה אנכית

משיק אנכי: הפונקציה מוגדרת ורציפה בנקודה, אך הנגזרת שואפת לאינסוף (שיפוע אנכי). למשל $x$ בנקודה (0,0): $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x} \to + \infty$ .
אסימפטוטה אנכית: הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה ושואפת לאינסוף בקרבתה (תופעה של פונקציות רציונליות, לא של השורש עצמו).

בפונקציות שורש מדובר במשיק אנכי בקצה התחום, ולגרף הנגזרת יש שם אסימפטוטה אנכית.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משיק אנכי בקצה התחום

הראו של- $f(x)=\sqrt{x-5}$ יש משיק אנכי, ומצאו היכן

f^{'} (x) = \frac{1}{2 x - 5} x \to 5^{+} + \infty

שלב 1 — תחום

x-5 \ge 0

, כלומר

x \ge 5

; קצה התחום ב-

x=5

דוגמה 2: אסימפטוטה אופקית עם כפל בצמוד

חשבו $lim(x→+\infty ) [\sqrt{x^{2}+4} - x]$

x^{2} + 4 - x = \frac{4}{x ^{2} + 4 + x} x \to + \infty 0

שלב 1 — כפל בצמוד

(\sqrt{x^{2}+4}-x) \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+4}+x}{\sqrt{x^{2}+4}+x}

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הפונקציה $f(x)=\sqrt{x}$ אינה גזירה ב- $x=0$ , אך יש לה בנקודה זו משיק אנכי.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מהו הגבול $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: אסימפטוטה אופקית בכיוון אחד בלבד

חקרו את $\sqrt{x^{2}+1}-x$ בשני הכיוונים

x \to - \infty : x^{2} + 1 - x \approx - 2 x \to + \infty

שלב 1 — כיוון +∞

כפל בצמוד נותן

\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} → 0

, אסימפטוטה

y=0

בדיקה מהירה

לפונקציה $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$ יש אסימפטוטה אופקית. באיזה כיוון, ומהי?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

עבור $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$ , כיצד מתנהגת הפונקציה כאשר $x \to -\infty$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: אסימפטוטה אופקית לא-אפסית

חשבו $lim(x→+\infty ) [\sqrt{x^{2}+6x} - x]$

x^{2} + 6 x - x = \frac{6}{1 + 6/ x + 1} x \to + \infty 3

שלב 1 — כפל בצמוד

((x^{2}+6x)-x^{2})/(\sqrt{x^{2}+6x}+x) = \frac{6x}{\sqrt{x^{2}+6x}+x}

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים שאסימפטוטה אחת קיימת בשני הכיוונים

ל- $x^{2} + 1 - x$ יש אסימפטוטה y=0 ב- $+ \infty$ בלבד; ב- $- \infty$ היא שואפת ל- $+ \infty$ .

למה זה קורה?

תלמידים מסיקים מהתנהגות ב-+∞ על ההתנהגות ב--∞.

איך מתקנים?

יש לבדוק כל כיוון בנפרד. בפונקציות שורש האסימפטוטה עשויה להתקיים רק בכיוון אחד.

טעות נפוצה: שוכחים ש- $\sqrt{x^{2}}=|x|$ כש-x שלילי

טעות: $x \to - \infty : x^{2} = x$

נכון: $x \to - \infty : x^{2} = ∣ x ∣ = - x$

למה זה קורה?

מציבים

\sqrt{x^{2}}=x

גם כש-

x<0

ומקבלים סימן שגוי.

איך מתקנים?

עבור

x<0

מתקיים

\sqrt{x^{2}}=|x|=-x

. זה משנה לחלוטין את הגבול ב--∞.

טעות נפוצה: מבלבלים בין משיק אנכי לאסימפטוטה אנכית

ל- $x$ יש משיק אנכי ב-(0,0) (הפונקציה מוגדרת שם). לגרף הנגזרת $\frac{1}{2 x}$ יש שם אסימפטוטה אנכית.

למה זה קורה?

שתי התופעות כוללות 'אינסוף', אך הן שונות לחלוטין.

איך מתקנים?

משיק אנכי: הפונקציה מוגדרת ורציפה, רק השיפוע אינסופי. אסימפטוטה אנכית: הפונקציה אינה מוגדרת ושואפת לאינסוף.

סיכום

מה למדנו?

גבולות מהצורה $f (x) - x$ מחושבים בכפל בצמוד.
יש לבדוק את $+ \infty$ ואת $- \infty$ בנפרד — האסימפטוטה האופקית עשויה להתקיים בכיוון אחד בלבד.
בכיוון $- \infty$ חיוני להשתמש ב- $x^{2} = ∣ x ∣ = - x$ .
בקצה תחום ההגדרה יש לפונקציית השורש משיק אנכי (שיפוע אינסופי), ולגרף הנגזרת אסימפטוטה אנכית.

יפה מאוד! ההתנהגות האסימפטוטית בשני הקצוות היא חלק מרכזי בחקירת פונקציות שורש.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על אסימפטוטות ומשיק אנכי בפונקציות שורש!

אסימפטוטות ומשיק אנכי בפונקציות שורש

אסימפטוטות ומשיק אנכי בפונקציות שורש

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משיק אנכי בקצה התחום

הראו של-f(x)=x−5f(x)=\sqrt{x-5}f(x)=x−5​ יש משיק אנכי, ומצאו היכן

דוגמה 2: אסימפטוטה אופקית עם כפל בצמוד

חשבו lim(x→+∞)[x2+4−x]lim(x→+\infty ) [\sqrt{x^{2}+4} - x]lim(x→+∞)[x2+4​−x]

דוגמה 3: אסימפטוטה אופקית בכיוון אחד בלבד

חקרו את x2+1−x\sqrt{x^{2}+1}-xx2+1​−x בשני הכיוונים

דוגמה 4: אסימפטוטה אופקית לא-אפסית

חשבו lim(x→+∞)[x2+6x−x]lim(x→+\infty ) [\sqrt{x^{2}+6x} - x]lim(x→+∞)[x2+6x​−x]

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים שאסימפטוטה אחת קיימת בשני הכיוונים

טעות נפוצה: שוכחים ש-x2=∣x∣\sqrt{x^{2}}=|x|x2​=∣x∣ כש-x שלילי

טעות נפוצה: מבלבלים בין משיק אנכי לאסימפטוטה אנכית

סיכום

תרגול נוסף

הראו של- $f(x)=\sqrt{x-5}$ יש משיק אנכי, ומצאו היכן

חשבו $lim(x→+\infty ) [\sqrt{x^{2}+4} - x]$

חקרו את $\sqrt{x^{2}+1}-x$ בשני הכיוונים

חשבו $lim(x→+\infty ) [\sqrt{x^{2}+6x} - x]$

טעות נפוצה: שוכחים ש- $\sqrt{x^{2}}=|x|$ כש-x שלילי