תחום הגדרה של פונקציות עם שורש ריבועי

מבוא

מטרות השיעור

להבין מדוע תחום ההגדרה של פונקציית שורש שונה במהותו מזה של פונקציה רציונלית
למצוא תחום הגדרה על ידי פתרון אי-השוויון $f (x) \geq 0$
לטפל בשורש המופיע במונה או במכנה של מנה
לפתור אי-שוויונות ליניאריים וריבועיים שמתקבלים במהלך מציאת התחום

הרעיון המרכזי

הכלל היסודי

פונקציית השורש הריבועי $u$ מוגדרת על המספרים הממשיים רק כאשר $u \geq 0$ .

לכן, כדי למצוא את תחום ההגדרה של $f (x) = g (x)$ פותרים את אי-השוויון: $g (x) \geq 0$

שימו לב: אי-השוויון הוא לא-ממש (כולל שוויון), כי $0 = 0$ מוגדר היטב. זהו הבדל מהותי מפונקציה רציונלית, שבה אנו פוסלים נקודות שבהן המכנה מתאפס ( $\ne 0$ ), ואילו כאן אנו כוללים את הנקודות שבהן הביטוי מתאפס.

שורש במכנה — שני תנאים

כאשר השורש מופיע במכנה של מנה, למשל $\frac{1}{g ( x )}$ , חלים שני תנאים בו-זמנית:

הביטוי תחת השורש אי-שלילי: $g (x) \geq 0$
המכנה שונה מאפס: $g (x) \neq = 0$ , כלומר $g (x) \neq = 0$

החיתוך של שני התנאים נותן את אי-השוויון הממש: g(x) > 0.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שורש על ביטוי ליניארי

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{x-3}$

x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3

שלב 1 — דרישת אי-שליליות

הביטוי תחת השורש חייב לקיים

x-3 \ge 0

דוגמה 2: שורש על ביטוי ריבועי (פרבולה כלפי מעלה)

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{x^{2}-9}$

x^{2} - 9 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq - 3 או x \geq 3

שלב 1 — דרישה

x^{2} - 9 \ge 0

בדיקה מהירה

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)=\sqrt{x-3}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שורש על ביטוי ריבועי (פרבולה כלפי מטה)

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{4-x^{2}}$

4 - x^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} \leq 4 \Leftrightarrow - 2 \leq x \leq 2

שלב 1 — דרישה

4 - x^{2} \ge 0

בדיקה מהירה

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)=\sqrt{x^2-9}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שורש במכנה

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}$

(x \geq 2) \cap (x \neq = 2) = x > 2

שלב 1 — תנאי השורש

x - 2 \ge 0

, כלומר

x \ge 2

תשובה קצרה

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ . כתבו כאי-שוויון כפול.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: דורשים אי-שוויון ממש במקום אי-שוויון לא-ממש

טעות: תחום של $x$ הוא x>0

נכון: תחום של $x$ הוא $x \geq 0$ (כולל 0)

למה זה קורה?

תלמידים מתבלבלים עם הכלל של פונקציה רציונלית, שבה פוסלים את נקודות האיפוס.

איך מתקנים?

בשורש (ללא מכנה) דורשים

g(x) \ge 0

— האיפוס נכלל, כי

\sqrt{0}=0

מוגדר.

טעות נפוצה: שוכחים את תנאי המכנה כששורש מופיע במכנה

טעות: תחום של $\frac{1}{x - 2}$ הוא $x \geq 2$

נכון: תחום של $\frac{1}{x - 2}$ הוא x > 2

למה זה קורה?

מטפלים רק בתנאי השורש ומתעלמים מכך שהמכנה אסור שיתאפס.

איך מתקנים?

כשהשורש במכנה צריך

g(x) \ge 0

וגם

g(x) \ne 0

, ולכן

g(x) > 0

ממש.

טעות נפוצה: פתרון שגוי של אי-שוויון ריבועי

טעות: $x^{2} - 9 \geq 0 \Rightarrow - 3 \leq x \leq 3$

נכון: $x^{2} - 9 \geq 0 \Rightarrow x \leq - 3 או x \geq 3$

למה זה קורה?

מניחים שאי-שוויון ריבועי תמיד נותן קטע אחד רציף.

איך מתקנים?

לפרבולה כלפי מעלה:

x^{2}-c \ge 0

נותן שתי קרניים; לפרבולה כלפי מטה:

c-x^{2} \ge 0

נותן קטע אחד.

בדיקה מהירה

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

תחום ההגדרה של $g (x)$ נקבע מהאי-שוויון $g (x) \geq 0$ (כולל שוויון).
שורש במכנה מוסיף את הדרישה $g (x) \neq = 0$ , ולכן g(x) > 0 ממש.
אי-שוויון ריבועי דורש ניתוח סימן: פרבולה כלפי מעלה נותנת שתי קרניים, פרבולה כלפי מטה נותנת קטע.
זהו הבדל מהותי מפונקציה רציונלית: שם פוסלים נקודות איפוס של המכנה, וכאן מצרפים את נקודות האיפוס של השורש.

כל הכבוד! מציאת תחום ההגדרה היא הצעד הראשון בכל חקירה של פונקציית שורש.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת תחום ההגדרה של פונקציות עם שורש ריבועי!

תחום הגדרה של פונקציות עם שורש ריבועי

תחום הגדרה של פונקציות עם שורש ריבועי

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שורש על ביטוי ליניארי

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)=x−3f(x)=\sqrt{x-3}f(x)=x−3​

דוגמה 2: שורש על ביטוי ריבועי (פרבולה כלפי מעלה)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)=x2−9f(x)=\sqrt{x^{2}-9}f(x)=x2−9​

דוגמה 3: שורש על ביטוי ריבועי (פרבולה כלפי מטה)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)=4−x2f(x)=\sqrt{4-x^{2}}f(x)=4−x2​

דוגמה 4: שורש במכנה

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)=1x−2f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}f(x)=x−2​1​

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: דורשים אי-שוויון ממש במקום אי-שוויון לא-ממש

טעות נפוצה: שוכחים את תנאי המכנה כששורש מופיע במכנה

טעות נפוצה: פתרון שגוי של אי-שוויון ריבועי

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{x-3}$

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{x^{2}-9}$

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{4-x^{2}}$

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}$