סרטוט וחקירת פונקציות מהצורה √f(x)

מבוא

מטרות השיעור

להבין שהשורש הוא פונקציה עולה, ולכן $f (x)$ עולה ויורדת באותם תחומים כמו f(x)
למצוא נקודות חיתוך עם הצירים, תחומי עליה/ירידה ונקודות קיצון
לזהות שנקודת קיצון של פונקציית שורש עשויה להתקבל בקצה תחום ההגדרה
לסרטט גרף מיצג של $f (x)$ מתוך הגרף של f(x)

הרעיון המרכזי

השורש שומר על מונוטוניות

פונקציית השורש $t$ היא עולה עבור $t \geq 0$ . מכאן:

$f (x)$ עולה בדיוק בתחומים שבהם f(x) עולה (ואי-שלילית), ויורדת בדיוק בתחומים שבהם f(x) יורדת.
נקודות החיתוך של $f (x)$ עם ציר ה-x הן בדיוק הנקודות שבהן f(x)=0.
לכן המיקום של נקודות הקיצון של $f (x)$ זהה למיקום הקיצון של f(x) (בתחום שבו $f \geq 0$ ), אבל הערך הוא השורש של הערך המקורי.

קיצון בקצה תחום ההגדרה

בשונה מפולינום שמוגדר על כל הישר, תחום ההגדרה של פונקציית שורש לרוב חסום מצד אחד או משני הצדדים. בקצה התחום, שם f(x)=0, מתקבל הערך $0 = 0$ — וזה לעיתים קרובות הערך המינימלי של הפונקציה. לכן יש לבדוק את קצות התחום כמועמדים לקיצון, ולא להסתמך רק על גזירה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חקירת √(x-1)

חקרו וסרטטו את $f(x)=\sqrt{x-1}$

$f (x) = x - 1$ — גרף עולה שמתחיל בנקודה (1,0).

שלב 1 — תחום

x-1 \ge 0

, כלומר

x \ge 1

בדיקה מהירה

מהו תחום הטווח (הערכים) של הפונקציה $f(x)=\sqrt{x-1}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שורש על ביטוי ריבועי

חקרו את $f(x)=\sqrt{x^{2}-4x+3}$

$f (x) = (x - 1) (x - 3)$ — גרף בשני ענפים נפרדים שכל אחד יוצא מ-0.

שלב 1 — תחום

x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3) \ge 0 ⇒ x \le 1

או

x \ge 3

בדיקה מהירה

הפונקציה $f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$ . באילו נקודות הגרף שלה חותך את ציר ה- $x$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: קיצון בקצה התחום מול קיצון פנימי

מצאו את הקיצון של $f(x)=\sqrt{9-x^{2}}$

$y = 9 - x^{2} \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 9, y \geq 0$ — חצי מעגל עליון.

שלב 1 — תחום

9-x^{2} \ge 0 ⇒ -3 \le x \le 3

בדיקה מהירה

הפונקציה $f(x)=\sqrt{9-x^2}$ . היכן מתקבל הערך המינימלי שלה, ומה ערכו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: השוואה בין √f(x) ל-f(x)

היכן $\sqrt{f(x})$ שווה ל-f(x)?

t = t \Rightarrow t (t - 1) = 0 \Rightarrow t = 0 או t = 1

שלב 1 — הצבה

נסמן

t=f(x) \ge 0

, ונפתור

√t = t

בדיקה מהירה

נתון הגרף של פונקציה $f(x)$ שהיא אי-שלילית בכל תחום הגדרתה. מתי הגרף של $\sqrt{f(x)}$ חותך את הגרף של $f(x)$ עצמה (כלומר $\sqrt{f(x)}=f(x)$ ) ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מתעלמים מקיצון בקצה תחום ההגדרה

ל- $f (x) = x - 1$ אין נקודה שבה הנגזרת מתאפסת, ובכל זאת יש לה מינימום בקצה התחום: (1,0).

למה זה קורה?

תלמידים מחפשים קיצון רק על ידי גזירה והשוואה לאפס.

איך מתקנים?

בפונקציית שורש יש לבדוק גם את קצות התחום — שם לרוב מתקבל מינימום (הערך 0).

טעות נפוצה: חושבים ש- $√f(x)$ ו-f(x) נותנות אותם ערכים

$f = 4 \Rightarrow f = 2 < 4$ , אבל $f = 0.25 \Rightarrow f = 0.5 > 0.25$ .

למה זה קורה?

לא מבחינים בהשפעת השורש על גודל הערך.

איך מתקנים?

כש-

f(x)>1

מתקיים

√f(x)<f(x)

; כש-

0<f(x)<1

מתקיים

√f(x)>f(x)

; ב-0 וב-1 הם שווים.

טעות נפוצה: מניחים שהגרף תמיד רציף על כל הישר

ל- $x^{2} - 4 x + 3$ יש שני ענפים נפרדים, אחד מעל $x \leq 1$ ואחד מעל $x \geq 3$ .

למה זה קורה?

מצפים שגרף יהיה ענף אחד רציף כמו פרבולה.

איך מתקנים?

כשהתחום מורכב משתי קרניים (למשל

x \le 1

או

x \ge 3)

, הגרף מורכב משני ענפים נפרדים.

סיכום

מה למדנו?

השורש שומר על מונוטוניות: $f (x)$ עולה/יורדת באותם תחומים כמו f(x).
נקודות החיתוך עם ציר ה-x הן בדיוק היכן ש-f(x)=0.
קיצון עשוי להתקבל בקצה תחום ההגדרה — יש לבדוק את הקצוות תמיד.
ערכי $f$ ו-f מתלכדים רק כש-f=0 או f=1.

מצוין! עכשיו אתם יכולים לחקור ולסרטט פונקציות שורש בביטחון.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חקירה וסרטוט של פונקציות מהצורה √f(x)!

סרטוט וחקירת פונקציות מהצורה √f(x)

סרטוט וחקירת פונקציות מהצורה √f(x)

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חקירת √(x-1)

חקרו וסרטטו את f(x)=x−1f(x)=\sqrt{x-1}f(x)=x−1​

דוגמה 2: שורש על ביטוי ריבועי

חקרו את f(x)=x2−4x+3f(x)=\sqrt{x^{2}-4x+3}f(x)=x2−4x+3​

דוגמה 3: קיצון בקצה התחום מול קיצון פנימי

מצאו את הקיצון של f(x)=9−x2f(x)=\sqrt{9-x^{2}}f(x)=9−x2​

דוגמה 4: השוואה בין √f(x) ל-f(x)

היכן f(x)\sqrt{f(x})f(x​) שווה ל-f(x)?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מתעלמים מקיצון בקצה תחום ההגדרה

טעות נפוצה: חושבים ש-√f(x)√f(x)√f(x) ו-f(x) נותנות אותם ערכים

טעות נפוצה: מניחים שהגרף תמיד רציף על כל הישר

סיכום

תרגול נוסף

חקרו וסרטטו את $f(x)=\sqrt{x-1}$

חקרו את $f(x)=\sqrt{x^{2}-4x+3}$

מצאו את הקיצון של $f(x)=\sqrt{9-x^{2}}$

היכן $\sqrt{f(x})$ שווה ל-f(x)?

טעות נפוצה: חושבים ש- $√f(x)$ ו-f(x) נותנות אותם ערכים