נגזרת הסינוס ברדיאנים

מבוא

מטרות השיעור

להבין את הגבול היסודי $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ (כש-x ברדיאנים).
להוכיח כי $(sin x)^{'} = cos x$ .
להבין מדוע חובה לעבוד ברדיאנים כדי שהנגזרת תהיה פשוטה.
לחשב שיפוע משיק ומשוואת משיק לגרף $y = sin x$ בנקודה נתונה.

הרעיון המרכזי

הגבול היסודי

כאשר הזווית x נמדדת ברדיאנים מתקיים: $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$

אינטואיציה: כש-x קטן, אורך הקשת (x ברדיאנים) קרוב מאוד לערך $sin x$ , ולכן היחס שואף ל-1. ניתן להצדיק זאת גם גאומטרית (כליאה בין שטחי משולשים וגזרה) או באמצעות ייצוג ויזואלי/טבלת ערכים.

נגזרת הסינוס והקוסינוס

מההגדרה של הנגזרת ומהגבול היסודי נקבל: $(sin x)^{'} = cos x$

ובאותו אופן (בשיעור הבא נוכיח זאת): $(cos x)^{'} = - sin x$

שתי הנוסחאות תקפות רק ברדיאנים. במעלות הנגזרת הייתה $(sin x)^{'} = \frac{π}{180} cos x$ — ומכאן החשיבות של רדיאנים בחדו"א.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוכחת הנגזרת מההגדרה

הוכיחו כי $(\sin x)' = \cos x$

$(sin x)^{'} = cos x$ — תוצאה ישירה של הגבול $\frac{s i n h}{h} \to 1$ .

שלב 1 — הגדרת הנגזרת

f'(x) = lim_{h→0} [\sin (x+h) - \sin (x)] / h

דוגמה 2: שיפוע משיק

מצאו את שיפוע המשיק לגרף $y = \sin x$ בנקודה $x = 0$

$y^{'} (0) = cos 0 = 1$ . זהו ביטוי גרפי לגבול $\frac{s i n x}{x} \to 1$ .

שלב 1 — הנגזרת

y' = \cos x

דוגמה 3: ערך נגזרת בנקודה

חשבו את ערך הנגזרת של $f(x) = \sin x$ בנקודה $x = \frac{\pi }{3}$

f^{'} (\frac{π}{3}) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

שלב 1 — הנגזרת

f'(x) = \cos x

דוגמה 4: שימוש בגבול היסודי בחישוב

חשבו את הגבול $lim_{x→0} \frac{\sin (3x)}{x}$

lim_{x \to 0} \frac{s i n 3 x}{x} = 3 lim_{x \to 0} \frac{s i n 3 x}{3 x} = 3 \cdot 1 = 3

שלב 1 — התאמת המכנה

כותבים

\frac{\sin (3x)}{x} = 3 \cdot \frac{\sin (3x)}{3x}

דוגמה 5: משוואת משיק

מצאו את משוואת המשיק לגרף $y = \sin x$ בנקודה $x = \frac{\pi }{2}$

$y^{'} (\frac{π}{2}) = cos \frac{π}{2} = 0$ , ולכן המשיק אופקי: y=1.

שלב 1 — נקודת ההשקה

y(\frac{\pi }{2}) = \sin (\frac{\pi }{2}) = 1

, הנקודה

(\frac{\pi }{2,} 1)

בדיקה מהירה

מהי הנגזרת של $f(x) = \sin x ($ כאשר x ברדיאנים)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מהו ערך הנגזרת של $f(x) = \sin x$ בנקודה $x = \frac{\pi }{3}? ($ תנו ערך מספרי)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חשבו את הגבול lim(x→0) של $\frac{\sin (3x)}{\sin (5x)}. ($ תנו תשובה עשרונית)

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחילים את הנגזרת במעלות

ברדיאנים: $(sin x)^{'} = cos x$ . במעלות הנוסחה הפשוטה הזו אינה תקפה.

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים שהנוסחה

(\sin x)' = \cos x

מבוססת על הגבול ברדיאנים.

איך מתקנים?

עבדו תמיד ברדיאנים בחדו״א. במעלות הנגזרת מקבלת מקדם

\frac{\pi }{180}

טעות נפוצה: שוכחים את כלל השרשרת

טעות: $(sin 2 x)^{'} = cos 2 x$

נכון: $(sin 2 x)^{'} = 2 cos 2 x$

למה זה קורה?

כותבים

(\sin 2x)' = \cos 2x

ומתעלמים מהנגזרת הפנימית.

איך מתקנים?

(\sin (bx))' = b \cdot \cos (bx)

. למשל

(\sin 2x)' = 2\cos 2x

טעות נפוצה: מבלבלים בין הערך לשיפוע

בנקודה $x_{0} = 0$ : הערך הוא $sin 0 = 0$ , אך השיפוע הוא $cos 0 = 1$ .

למה זה קורה?

חושבים ששיפוע המשיק שווה ל-

\sin (x_{0})

איך מתקנים?

שיפוע המשיק לגרף

y=\sin x

בנקודה

x_{0}

הוא הנגזרת

\cos (x_{0})

, לא

\sin (x_{0})

סיכום

מה למדנו?

הגבול היסודי: $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ (ברדיאנים).

הנגזרות:

$(sin x)^{'} = cos x$
$(cos x)^{'} = - sin x$

זכרו:

הנוסחאות תקפות רק ברדיאנים.
כלל השרשרת: $(sin b x)^{'} = b cos b x$ .
שיפוע המשיק בנקודה $x_{0}$ הוא $cos x_{0}$ .

זהו הבסיס שעליו נבנה את כל החקירה הדיפרנציאלית של פונקציות טריגונומטריות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הגבול היסודי ועל נגזרת הסינוס ברדיאנים!

נגזרת הסינוס ברדיאנים (הגבול sin x / x → 1)

נגזרת הסינוס ברדיאנים (הגבול sin x / x → 1)

נגזרת הסינוס ברדיאנים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוכחת הנגזרת מההגדרה

הוכיחו כי $(\sin x)' = \cos x$

דוגמה 2: שיפוע משיק

מצאו את שיפוע המשיק לגרף $y = \sin x$ בנקודה $x = 0$

דוגמה 3: ערך נגזרת בנקודה

חשבו את ערך הנגזרת של $f(x) = \sin x$ בנקודה $x = \frac{\pi }{3}$

דוגמה 4: שימוש בגבול היסודי בחישוב

חשבו את הגבול $lim_{x→0} \frac{\sin (3x)}{x}$

דוגמה 5: משוואת משיק

מצאו את משוואת המשיק לגרף $y = \sin x$ בנקודה $x = \frac{\pi }{2}$

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחילים את הנגזרת במעלות

טעות נפוצה: שוכחים את כלל השרשרת

טעות נפוצה: מבלבלים בין הערך לשיפוע

סיכום

תרגול נוסף

נגזרת הסינוס ברדיאנים (הגבול sin x / x → 1)

נגזרת הסינוס ברדיאנים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוכחת הנגזרת מההגדרה

הוכיחו כי (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x(sinx)′=cosx

דוגמה 2: שיפוע משיק

מצאו את שיפוע המשיק לגרף y=sin⁡xy = \sin xy=sinx בנקודה x=0x = 0x=0

דוגמה 3: ערך נגזרת בנקודה

חשבו את ערך הנגזרת של f(x)=sin⁡xf(x) = \sin xf(x)=sinx בנקודה x=π3x = \frac{\pi }{3}x=3π​

דוגמה 4: שימוש בגבול היסודי בחישוב

חשבו את הגבול limx→0sin⁡(3x)xlim_{x→0} \frac{\sin (3x)}{x}limx→0​xsin(3x)​

דוגמה 5: משוואת משיק

מצאו את משוואת המשיק לגרף y=sin⁡xy = \sin xy=sinx בנקודה x=π2x = \frac{\pi }{2}x=2π​

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחילים את הנגזרת במעלות

טעות נפוצה: שוכחים את כלל השרשרת

טעות נפוצה: מבלבלים בין הערך לשיפוע

סיכום

תרגול נוסף

הוכיחו כי $(\sin x)' = \cos x$

מצאו את שיפוע המשיק לגרף $y = \sin x$ בנקודה $x = 0$

חשבו את ערך הנגזרת של $f(x) = \sin x$ בנקודה $x = \frac{\pi }{3}$

חשבו את הגבול $lim_{x→0} \frac{\sin (3x)}{x}$

מצאו את משוואת המשיק לגרף $y = \sin x$ בנקודה $x = \frac{\pi }{2}$