נגזרות קוסינוס וטנגנס וחקירת הרכבות/מנה/מכפלה

מבוא

מטרות השיעור

לדעת את הנגזרות היסודיות: $(cos x)^{'} = - sin x$ ו- $(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ .
ליישם את כלל השרשרת על ארגומנט לינארי: $(cos (b x + c))^{'} = - b sin (b x + c)$ .
ליישם את כלל המכפלה וכלל המנה על צירופים של פונקציות טריגונומטריות.
לחקור פונקציות מורכבות ולמצוא תחומי עלייה/ירידה ונקודות קיצון.

הרעיון המרכזי

נגזרות יסודיות וכללים

נגזרות יסודיות (ברדיאנים): $(sin x)^{'} = cos x, (cos x)^{'} = - sin x, (tan x)^{'} = \frac{1}{c o s ^{2} x}$

כלל השרשרת (ארגומנט לינארי): $(sin (b x + c))^{'} = b cos (b x + c), (cos (b x + c))^{'} = - b sin (b x + c)$

כלל המכפלה: (uv)' = u'v + uv'

כלל המנה: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

גזירת הטנגנס מכלל המנה

מאחר ש- $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ , נפעיל את כלל המנה: $(tan x)^{'} = \frac{c o s x \cdot c o s x - s i n x \cdot ( - s i n x )}{c o s ^{2} x} = \frac{c o s ^{2} x + s i n ^{2} x}{c o s ^{2} x} = \frac{1}{c o s ^{2} x}$

השתמשנו בזהות הפיתגורית $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נגזרת קוסינוס עם ארגומנט לינארי

גזרו: $f(x) = \cos (3x)$

(cos 3 x)^{'} = - 3 sin 3 x

שלב 1 — נגזרת חיצונית

(\cos u)' = -\sin u

דוגמה 2: נגזרת מכפלה

גזרו: $f(x) = x \cdot \sin x$

(x sin x)^{'} = sin x + x cos x

שלב 1 — זיהוי גורמים

u = x, v = \sin x

דוגמה 3: נגזרת מכפלת sin·cos

גזרו: $f(x) = \sin x \cdot \cos x$

(sin x cos x)^{'} = cos^{2} x - sin^{2} x = cos 2 x

שלב 1 — כלל המכפלה

u = \sin x, v = \cos x; u' = \cos x, v' = -\sin x

דוגמה 4: נגזרת מנה

גזרו: $f(x) = \sin \frac{x}{x}$

(\frac{s i n x}{x})^{'} = \frac{x c o s x - s i n x}{x ^{2}}

שלב 1 — כלל המנה

u = \sin x, v = x; u' = \cos x, v' = 1

דוגמה 5: חקירה — נקודת קיצון

מצאו את הנקודה החשודה לקיצון של $f(x) = \sin x$ בתחום $[0, \pi ]$

$f^{'} (x) = cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{2}$ , מקסימום בערך 1.

שלב 1 — נגזרת

f'(x) = \cos x

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את הסימן בנגזרת הקוסינוס

טעות: $(cos x)^{'} = sin x$

נכון: $(cos x)^{'} = - sin x$

למה זה קורה?

כותבים

(\cos x)' = \sin x

במקום

-\sin x

איך מתקנים?

הקוסינוס יורד בתחום

[0, \pi ]

, ולכן נגזרתו שלילית שם:

(\cos x)' = -\sin x

טעות נפוצה: מתעלמים מכלל השרשרת

טעות: $(cos 3 x)^{'} = - sin 3 x$

נכון: $(cos 3 x)^{'} = - 3 sin 3 x$

למה זה קורה?

גוזרים

\cos (3x)

ל-

-\sin (3x)

בלי הנגזרת הפנימית.

איך מתקנים?

(\cos (bx))' = -b \cdot \sin (bx)

. יש להכפיל בנגזרת הפנימית b.

טעות נפוצה: גוזרים מכפלה כמכפלת נגזרות

$(sin x cos x)^{'} = cos^{2} x - sin^{2} x$ , ולא $cos x \cdot (- sin x)$ .

למה זה קורה?

חושבים ש-

(uv)' = u' \cdot v'

איך מתקנים?

כלל המכפלה:

(uv)' = u'v + uv'

. אסור לכפול את הנגזרות בלבד.

טעות נפוצה: טועים בנגזרת הטנגנס

נכון: $(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$

למה זה קורה?

כותבים

(\tan x)' = \frac{1}{\sin ^{2}}x

איך מתקנים?

(\tan x)' = \frac{1}{\cos ^{2}}x

. מתקבל מכלל המנה על

\sin \frac{x}{\cos } x

בדיקה מהירה

מהי הנגזרת של $f(x) = \cos x$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

גזרו את $f(x) = x \cdot \sin x$ . כתבו את הנגזרת f'(x).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מהו ערך הנגזרת של $f(x) = \sin (2x)$ בנקודה $x = 0$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

נגזרות יסודיות:

$(cos x)^{'} = - sin x$
$(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$

כללים:

שרשרת (לינארי): $(cos (b x + c))^{'} = - b sin (b x + c)$
מכפלה: (uv)' = u'v + uv'
מנה: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

טיפ לחקירה: השווּ את הנגזרת לאפס כדי לאתר נקודות חשודות לקיצון, ובדקו את סימן הנגזרת מסביבן.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על נגזרות הקוסינוס, הטנגנס והרכבות, מכפלות ומנות!

נגזרות קוסינוס וטנגנס וחקירת הרכבות/מנה/מכפלה

נגזרות קוסינוס וטנגנס וחקירת הרכבות/מנה/מכפלה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: נגזרת קוסינוס עם ארגומנט לינארי

גזרו: f(x)=cos⁡(3x)f(x) = \cos (3x)f(x)=cos(3x)

דוגמה 2: נגזרת מכפלה

גזרו: f(x)=x⋅sin⁡xf(x) = x \cdot \sin xf(x)=x⋅sinx

דוגמה 3: נגזרת מכפלת sin·cos

גזרו: f(x)=sin⁡x⋅cos⁡xf(x) = \sin x \cdot \cos xf(x)=sinx⋅cosx

דוגמה 4: נגזרת מנה

גזרו: f(x)=sin⁡xxf(x) = \sin \frac{x}{x}f(x)=sinxx​

דוגמה 5: חקירה — נקודת קיצון

מצאו את הנקודה החשודה לקיצון של f(x)=sin⁡xf(x) = \sin xf(x)=sinx בתחום [0,π][0, \pi ][0,π]

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את הסימן בנגזרת הקוסינוס

טעות נפוצה: מתעלמים מכלל השרשרת

טעות נפוצה: גוזרים מכפלה כמכפלת נגזרות

טעות נפוצה: טועים בנגזרת הטנגנס

סיכום

תרגול נוסף

גזרו: $f(x) = \cos (3x)$

גזרו: $f(x) = x \cdot \sin x$

גזרו: $f(x) = \sin x \cdot \cos x$

גזרו: $f(x) = \sin \frac{x}{x}$

מצאו את הנקודה החשודה לקיצון של $f(x) = \sin x$ בתחום $[0, \pi ]$