מחזוריות, סימטריה והזזות/מתיחות בחקירת פונקציה טריגונומטרית

מבוא

מטרות השיעור

להבין מהי מחזוריות ולנצל אותה כדי לחקור פונקציה בתחום מצומצם ולהסיק על כל הישר.
לזהות את הסימטריה של סינוס וקוסינוס: $sin (- x) = - sin x$ (אי-זוגית), $cos (- x) = cos x$ (זוגית).
להבין את תפקיד ארבעת הפרמטרים בפונקציה $f (x) = a sin (b x + c) + d$ : משרעת, מחזור, הזזה אופקית והזזה אנכית.
למצוא מחזור, משרעת, קו אמצע וערכי קיצון של פונקציה טריגונומטרית נתונה.

הרעיון המרכזי

מחזוריות וסימטריה

פונקציה f נקראת מחזורית עם מחזור T>0 אם לכל x מתקיים f(x+T)=f(x). המחזור היסודי הוא ה-T החיובי הקטן ביותר.

מחזור הסינוס והקוסינוס הוא $2 π$ ; מחזור הטנגנס הוא $π$ .
סימטריה: $sin$ אי-זוגית — סימטרית לראשית; $cos$ זוגית — סימטרית לציר ה-y.

הודות לתכונות אלו די לחקור את הפונקציה בתחום מצומצם (למשל $[0, \frac{π}{2}]$ ) ולהסיק את התנהגותה על כל הישר.

תפקיד הפרמטרים ב- $a \cdot \sin (bx+c)+d$

בפונקציה $f (x) = a sin (b x + c) + d$ :

|a| — המשרעת (מתיחה אנכית). הערכים נעים בין d-|a| ל-d+|a|.
b — קובע את המחזור: $T = \frac{2 π}{∣ b ∣}$ (מתיחה/כיווץ אופקי).
c — הזזה אופקית (הזזת פאזה): הגרף זז ב- $- \frac{c}{b}$ .
d — הזזה אנכית: הקו האמצעי הוא y=d.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מחזור ומשרעת

מצאו את המחזור והמשרעת של $f(x) = 3 \cdot \sin (2x)$

f (x) = 3 sin (2 x) : ∣ a ∣ = 3, T = \frac{2 π}{2} = π

שלב 1 — זיהוי הפרמטרים

a = 3, b = 2, c = 0, d = 0

דוגמה 2: קו אמצע וערכי קיצון

מצאו את הערך המקסימלי והמינימלי של $f(x) = 2 \cdot \sin (x) + 5$

f_{m a x} = d + ∣ a ∣ = 7, f_{m i n} = d - ∣ a ∣ = 3

שלב 1 — פרמטרים

a = 2, d = 5

. הקו האמצעי הוא

y = 5

דוגמה 3: הזזת פאזה

לאיזה כיוון ובכמה זז הגרף של $f(x) = \sin (x - \frac{\pi }{3})$ ?

$sin (x - \frac{π}{3})$ הוא הגרף של $sin x$ מוזז ימינה ב- $\frac{π}{3}$ .

שלב 1 — צורה

f(x) = \sin (x - c)

עם

c = \frac{\pi }{3}

דוגמה 4: ניצול סימטריה (אי-זוגיות)

בעזרת אי-זוגיות הסינוס, חשבו $\sin (-\frac{\pi }{6})$

sin (- \frac{π}{6}) = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}

שלב 1 — תכונת אי-זוגיות

\sin (-x) = -\sin (x)

דוגמה 5: ניצול מחזוריות

חשבו $\cos (\frac{13\pi }{6})$ בעזרת מחזוריות

cos \frac{13 π}{6} = cos (\frac{13 π}{6} - 2 π) = cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

שלב 1 — חיסור מחזור

\frac{13\pi }{6} - 2\pi = \frac{13\pi }{6} - \frac{12\pi }{6} = \frac{\pi }{6}

בדיקה מהירה

מהו המחזור של הפונקציה $f(x) = \sin (2x)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הפונקציה $\sin$ אי-זוגית, כלומר $\sin (-x) = -\sin (x)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מהו המחזור של הפונקציה $f(x) = \sin (\pi x)? ($ תנו תשובה מספרית)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהמקדם b מגדיל את המחזור

טעות: מחזור של $sin (2 x)$ הוא $4 π$

נכון: $T = \frac{2 π}{2} = π$

למה זה קורה?

תלמידים מציבים

T = 2\pi \cdot b

במקום

\frac{2\pi }{b}

איך מתקנים?

ככל ש-b גדול יותר, הפונקציה מתכווצת אופקית והמחזור מתקצר:

T = 2\pi /|b|

טעות נפוצה: מבלבלים בין כיוון ההזזה האופקית

$sin (x - \frac{π}{3})$ זז ימינה, ו- $sin (x + \frac{π}{3})$ זז שמאלה.

למה זה קורה?

חושבים ש-

\sin (x - c)

זז שמאלה.

איך מתקנים?

סימן מינוס בתוך הסוגריים ⇐ הזזה ימינה; סימן פלוס ⇐ הזזה שמאלה.

טעות נפוצה: מזהים את המשרעת עם הערך המקסימלי

ב- $2 sin x + 5$ : המשרעת היא 2, אך המקסימום הוא 5+2=7.

למה זה קורה?

מתעלמים מהקו האמצעי

y = d

איך מתקנים?

המשרעת היא |a|, אך הערך המקסימלי הוא

d + |a|

והמינימלי d − |a|.

טעות נפוצה: חושבים שהסינוס פונקציה זוגית

$sin (- x) = - sin x$ ואילו $cos (- x) = cos x$

למה זה קורה?

מניחים סימטריה לציר y כמו בקוסינוס.

איך מתקנים?

\sin

אי-זוגית:

\sin (-x) = -\sin (x)

. רק

\cos

זוגית:

\cos (-x) = \cos (x)

סיכום

מה למדנו?

מחזוריות וסימטריה:

מחזור sin ו-cos הוא $2 π$ ; מחזור tan הוא $π$ .
$sin$ אי-זוגית, $cos$ זוגית — די לחקור בתחום מצומצם ולהסיק על כל הישר.

הפרמטרים ב- $a sin (b x + c) + d$ :

|a| — משרעת, $T = \frac{2 π}{∣ b ∣}$ — מחזור.
c — הזזת פאזה (זהירות בכיוון!), d — קו אמצע.
מקסימום d+|a|, מינימום d-|a|.

תכונות אלו ילוו אותנו לאורך כל היחידה — בגזירה, באינטגרציה וביישומים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מחזוריות, סימטריה והזזות/מתיחות של פונקציות טריגונומטריות!

מחזוריות, סימטריה והזזות/מתיחות בחקירת פונקציה טריגונומטרית

מחזוריות, סימטריה והזזות/מתיחות בחקירת פונקציה טריגונומטרית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מחזור ומשרעת

מצאו את המחזור והמשרעת של f(x)=3⋅sin⁡(2x)f(x) = 3 \cdot \sin (2x)f(x)=3⋅sin(2x)

דוגמה 2: קו אמצע וערכי קיצון

מצאו את הערך המקסימלי והמינימלי של f(x)=2⋅sin⁡(x)+5f(x) = 2 \cdot \sin (x) + 5f(x)=2⋅sin(x)+5

דוגמה 3: הזזת פאזה

לאיזה כיוון ובכמה זז הגרף של f(x)=sin⁡(x−π3)f(x) = \sin (x - \frac{\pi }{3})f(x)=sin(x−3π​)?

דוגמה 4: ניצול סימטריה (אי-זוגיות)

בעזרת אי-זוגיות הסינוס, חשבו sin⁡(−π6)\sin (-\frac{\pi }{6})sin(−6π​)

דוגמה 5: ניצול מחזוריות

חשבו cos⁡(13π6)\cos (\frac{13\pi }{6})cos(613π​) בעזרת מחזוריות

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהמקדם b מגדיל את המחזור

טעות נפוצה: מבלבלים בין כיוון ההזזה האופקית

טעות נפוצה: מזהים את המשרעת עם הערך המקסימלי

טעות נפוצה: חושבים שהסינוס פונקציה זוגית

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את המחזור והמשרעת של $f(x) = 3 \cdot \sin (2x)$

מצאו את הערך המקסימלי והמינימלי של $f(x) = 2 \cdot \sin (x) + 5$

לאיזה כיוון ובכמה זז הגרף של $f(x) = \sin (x - \frac{\pi }{3})$ ?

בעזרת אי-זוגיות הסינוס, חשבו $\sin (-\frac{\pi }{6})$

חשבו $\cos (\frac{13\pi }{6})$ בעזרת מחזוריות