אינטגרלים מיידיים של פונקציות טריגונומטריות

מבוא

מטרות השיעור

לדעת את האינטגרלים המיידיים: $\int sin x d x = - cos x + C$ , $\int cos x d x = sin x + C$ .
לחשב אינטגרל של ארגומנט לינארי: $\int cos (b x) d x = \frac{1}{b} sin (b x) + C$ .
להשתמש בזהויות (כגון $sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ ) לפישוט לפני אינטגרציה.
לחשב אינטגרלים מסוימים ולנצל מחזוריות וסימטריה.

הרעיון המרכזי

אינטגרלים מיידיים

האינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה, ולכן הסימנים מתהפכים:

\int sin x d x = - cos x + C

\int cos x d x = sin x + C

בדיקה: $(- cos x)^{'} = sin x$ ✓ ו- $(sin x)^{'} = cos x$ ✓

ארגומנט לינארי וזהויות

ארגומנט לינארי — מחלקים במקדם הפנימי: $\int sin (b x) d x = - \frac{1}{b} cos (b x) + C, \int cos (b x) d x = \frac{1}{b} sin (b x) + C$

שימוש בזהות (אין נוסחה ישירה ל- $sin^{2} x$ ): $sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2} \Rightarrow \int sin^{2} x d x = \frac{x}{2} - \frac{s i n 2 x}{4} + C$

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אינטגרל בסיסי

חשבו: $∫\cos x dx$

\int cos x d x = sin x + C

שלב 1 — נוסחה מיידית

∫\cos x dx = \sin x + C

דוגמה 2: ארגומנט לינארי

חשבו: $∫\cos (2x) dx$

\int cos 2 x d x = \frac{1}{2} sin 2 x + C

שלב 1 — מקדם פנימי

הפנימי הוא 2x, נגזרתו 2

דוגמה 3: אינטגרל מסוים

חשבו: ∫ מ-0 עד $\pi$ של $\sin x dx$

\int_{0}^{π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{π} = - (- 1) - (- 1) = 2

שלב 1 — פונקציה קדומה

∫\sin x dx = -\cos x

דוגמה 4: שימוש בזהות

חשבו: $∫\sin ^{2}x dx$

\int sin^{2} x d x = \frac{x}{2} - \frac{s i n 2 x}{4} + C

שלב 1 — זהות חצי-זווית

\sin ^{2}x = \frac{1 - \cos 2x}{2}

דוגמה 5: ניצול סימטריה

חשבו: ∫ מ- $-\frac{\pi }{2}$ עד $\frac{\pi }{2}$ של $\sin x dx$

$\int_{- π /2}^{π /2} sin x d x = 0$ — תוצאה ישירה של אי-זוגיות הסינוס.

שלב 1 — סימטריה

\sin x

אי-זוגית; התחום סימטרי סביב 0

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

חשבו את האינטגרל המסוים של $\sin x$ בתחום שמ-0 עד $\pi$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

באמצעות הזהות $\sin ^{2}x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ , חשבו את האינטגרל המסוים של $\sin ^{2}x$ בתחום שמ-0 עד $\pi . ($ תנו תשובה עשרונית)

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בסימנים בין אינטגרל לנגזרת

טעות: $\int sin x d x = cos x + C$

נכון: $\int sin x d x = - cos x + C$

למה זה קורה?

כותבים

∫\sin x dx = \cos x + C

איך מתקנים?

האינטגרל מהפך את הסימן:

∫\sin x dx = -\cos x + C, ∫\cos x dx = \sin x + C

טעות נפוצה: שוכחים את המקדם $\frac{1}{b}$

טעות: $\int cos 2 x d x = sin 2 x + C$

נכון: $\int cos 2 x d x = \frac{1}{2} sin 2 x + C$

למה זה קורה?

לא מחלקים בנגזרת הפנימית של הארגומנט הלינארי.

איך מתקנים?

∫\cos (bx)dx = (\frac{1}{b})\sin (bx) + C

. בדקו תמיד בגזירה חוזרת.

טעות נפוצה: מנסים לאנטגרל $\sin ^{2}x$ ישירות

\int sin^{2} x d x = \frac{x}{2} - \frac{s i n 2 x}{4} + C

למה זה קורה?

מחפשים נוסחה ישירה שלא קיימת.

איך מתקנים?

השתמשו בזהות

\sin ^{2}x = \frac{1 - \cos 2x}{2}

ואז אנטגרלו איבר-איבר.

טעות נפוצה: שוכחים את קבוע האינטגרציה C

$\int cos x d x = sin x + C$ — אל תשכחו את ה-+C!

למה זה קורה?

מתייחסים לאינטגרל לא-מסוים כאל פונקציה יחידה.

איך מתקנים?

כל אינטגרל לא-מסוים כולל

+C

, המייצג משפחה שלמה של פונקציות קדומות.

בדיקה מהירה

מהו האינטגרל $∫\sin x dx$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

אינטגרלים מיידיים:

$\int sin x d x = - cos x + C$
$\int cos x d x = sin x + C$

ארגומנט לינארי: מחלקים במקדם הפנימי b.

זהויות: $sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ — לפישוט לפני אינטגרציה.

מחזוריות וסימטריה: אינטגרל של פונקציה אי-זוגית בתחום סימטרי = 0.

זכרו תמיד את +C ובדקו בגזירה חוזרת!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על אינטגרלים מיידיים של פונקציות טריגונומטריות!

אינטגרלים מיידיים של פונקציות טריגונומטריות

אינטגרלים מיידיים של פונקציות טריגונומטריות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אינטגרל בסיסי

חשבו: ∫cos⁡xdx∫\cos x dx∫cosxdx

דוגמה 2: ארגומנט לינארי

חשבו: ∫cos⁡(2x)dx∫\cos (2x) dx∫cos(2x)dx

דוגמה 3: אינטגרל מסוים

חשבו: ∫ מ-0 עד π\piπ של sin⁡xdx\sin x dxsinxdx

דוגמה 4: שימוש בזהות

חשבו: ∫sin⁡2xdx∫\sin ^{2}x dx∫sin2xdx

דוגמה 5: ניצול סימטריה

חשבו: ∫ מ-−π2-\frac{\pi }{2}−2π​ עד π2\frac{\pi }{2}2π​ של sin⁡xdx\sin x dxsinxdx

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בסימנים בין אינטגרל לנגזרת

טעות נפוצה: שוכחים את המקדם 1b\frac{1}{b}b1​

טעות נפוצה: מנסים לאנטגרל sin⁡2x\sin ^{2}xsin2x ישירות

טעות נפוצה: שוכחים את קבוע האינטגרציה C

סיכום

תרגול נוסף

חשבו: $∫\cos x dx$

חשבו: $∫\cos (2x) dx$

חשבו: ∫ מ-0 עד $\pi$ של $\sin x dx$

חשבו: $∫\sin ^{2}x dx$

חשבו: ∫ מ- $-\frac{\pi }{2}$ עד $\frac{\pi }{2}$ של $\sin x dx$

טעות נפוצה: שוכחים את המקדם $\frac{1}{b}$

טעות נפוצה: מנסים לאנטגרל $\sin ^{2}x$ ישירות