יישומים: תנועה הרמונית, מעגלית, ובעיות קיצון

מבוא

מטרות השיעור

לתאר תנועה הרמונית (קפיץ, מטוטלת) ותנועה מעגלית (גלגל ענק) בעזרת sin ו-cos.
לקשר בין מיקום x(t) למהירות v(t)=x'(t) באמצעות הנגזרת.
לפרש משרעת, מחזור וקו אמצע בהקשר של תופעות מחזוריות (אורך יום, גאות ושפל).
לפתור בעיות קיצון בדגש איכותני, גם ללא גזירה כשהדבר אפשרי.

הערה על הדגש

היישומים נלמדים משולבים בהוראה ולא כפרק עצמאי. המטרה היא להבין מה ניתן ללמוד מתוך גרף או מודל נתון — לא להיכנס לפירוט השיקולים הפיזיקליים שמהם נובע המודל, פרט להסבר איכותי כללי.

הרעיון המרכזי

מודל הרמוני ומשמעות הנגזרת

תנועה הרמונית מתוארת על ידי $x (t) = a cos (b t) + d$ (או עם sin):

|a| — המשרעת: הסטייה המקסימלית ממצב שיווי המשקל.
$T = \frac{2 π}{b}$ — המחזור: משך תנודה מלאה.
d — הקו האמצעי: מצב שיווי המשקל / הערך הממוצע.

המהירות היא הנגזרת: v(t) = x'(t). במצב הקיצון (סטייה מקסימלית) המהירות אפס, ובמעבר דרך שיווי המשקל המהירות מקסימלית בערכה המוחלט.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קפיץ — מיקום ומהירות

גוף על קפיץ נע לפי $x(t) = 4 \cdot \cos (2t) ($ ס״מ, שניות). מהי המהירות?

v (t) = x^{'} (t) = - 8 sin (2 t)

שלב 1 — מיקום התחלתי

x(0) = 4 \cdot \cos (0) = 4

ס״מ (סטייה מקסימלית)

דוגמה 2: מחזור של תנועה

מהו מחזור התנודה של $x(t) = 4 \cdot \cos (2t)$ ?

$T = \frac{2 π}{2} = π$ שניות.

שלב 1 — זיהוי b

b = 2

דוגמה 3: גלגל ענק (תנועה מעגלית)

גובה כיסא בגלגל ענק: $h(t) = 15 - 12 \cdot \cos (t) ($ מטר). מהם הגבהים המינימלי והמקסימלי?

$h_{m i n} = 15 - 12 = 3, h_{m a x} = 15 + 12 = 27$ מטר.

שלב 1 — קו אמצע ומשרעת

d = 15

, משרעת

= 12

דוגמה 4: תופעה מחזורית — אורך היום

אורך היום (שעות) מתואר ב- $L(d) = 12 + 2.5 \cdot \sin (\ldots)$ . מהו אורך היום הארוך ביותר?

$L_{m a x} = 12 + 2.5 = 14.5$ שעות; $L_{m i n} = 12 - 2.5 = 9.5$ שעות.

שלב 1 — קו אמצע

d = 12

שעות (ממוצע שנתי)

דוגמה 5: בעיית קיצון איכותנית (ללא גזירה)

שטח מלבן חסום הוא $A(\theta ) = 8 \cdot \sin (\theta ) ($ סמ״ר) $, 0 < \theta < \pi$ . מהו השטח המקסימלי?

$A (θ) = 8 sin θ$ מקסימלי כש- $θ = \frac{π}{2}$ , וערכו 8.

שלב 1 — תצפית איכותנית

A מקסימלי כש-

\sin (\theta )

מקסימלי

בדיקה מהירה

בתנועה הרמונית מיקום הגוף נתון על ידי x(t). מה מייצגת הנגזרת x'(t)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

גובה כיסא בגלגל ענק נתון ב- $h(t) = 15 - 12 \cdot \cos (t) ($ מטר). מהו הגובה המקסימלי?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

שטח של משולש כפונקציה של זווית נתון ב- $A(\theta ) = 18 \cdot \sin (\theta ) ($ סמ"ר), עבור $0 < \theta < \pi$ . מהו השטח המקסימלי?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין מיקום למהירות

אם $x (t) = 4 cos 2 t$ , אז $v (t) = - 8 sin 2 t$ — פונקציה שונה לגמרי.

למה זה קורה?

מתייחסים ל-x(t) ול-v(t) כאל אותו גודל.

איך מתקנים?

המהירות היא הנגזרת:

v(t) = x'(t)

. היחידות שונות (מטר מול מטר/שנייה).

טעות נפוצה: חושבים שהמהירות מקסימלית בקיצון

בקפיץ: כשהגוף 'בקצה' הוא רגעית עוצר (v=0) לפני שהוא מתהפך.

למה זה קורה?

מניחים שמיקום מקסימלי = מהירות מקסימלית.

איך מתקנים?

בנקודת הסטייה המקסימלית המהירות אפס; המהירות מקסימלית במעבר דרך שיווי המשקל.

טעות נפוצה: מתעלמים מהמשמעות של הפרמטרים

ב- $L (d) = 12 + 2.5 sin (\dots)$ : 12 הוא הממוצע, 2.5 הסטייה המקסימלית.

למה זה קורה?

רואים במספרים שבמודל רק נתונים טכניים.

איך מתקנים?

במודל

a \cdot \sin (bt)+d: a

משרעת

, T=\frac{2\pi }{b}

מחזור, d קו אמצע/ערך ממוצע.

טעות נפוצה: קוראים את המחזור לא נכון מההקשר

לתופעה שנתית המחזור הוא T=365 יום, ולכן $b = \frac{2 π}{365}$ .

למה זה קורה?

מבלבלים בין משך התופעה לפרמטר b.

איך מתקנים?

התאימו את b כך ש-

T=\frac{2\pi }{b}

ישווה למחזור הפיזיקלי (יום, שנה, תנודה).

סיכום

מה למדנו?

מודל הרמוני/מעגלי: $x (t) = a cos (b t) + d$ — משרעת |a|, מחזור $T = \frac{2 π}{b}$ , קו אמצע d.

קשר מיקום–מהירות: v(t)=x'(t); בקיצון v=0, ובשיווי משקל |v| מקסימלי.

תופעות מחזוריות: מפרשים משרעת, ממוצע ומחזור מתוך גרף או מודל נתון.

בעיות קיצון: לעיתים אפשר לפתור איכותנית (מתי $sin θ$ מקסימלי), ולעיתים בגזירה והשוואה לאפס.

זוהי השלמה של היחידה — שילוב כל הכלים בהקשר יישומי.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על יישומים של פונקציות טריגונומטריות ובעיות קיצון!

יישומים: תנועה הרמונית/מעגלית, תופעות מחזוריות ובעיות קיצון

יישומים: תנועה הרמונית/מעגלית, תופעות מחזוריות ובעיות קיצון

יישומים: תנועה הרמונית, מעגלית, ובעיות קיצון

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קפיץ — מיקום ומהירות

גוף על קפיץ נע לפי $x(t) = 4 \cdot \cos (2t) ($ ס״מ, שניות). מהי המהירות?

דוגמה 2: מחזור של תנועה

מהו מחזור התנודה של $x(t) = 4 \cdot \cos (2t)$ ?

דוגמה 3: גלגל ענק (תנועה מעגלית)

גובה כיסא בגלגל ענק: $h(t) = 15 - 12 \cdot \cos (t) ($ מטר). מהם הגבהים המינימלי והמקסימלי?

דוגמה 4: תופעה מחזורית — אורך היום

אורך היום (שעות) מתואר ב- $L(d) = 12 + 2.5 \cdot \sin (\ldots)$ . מהו אורך היום הארוך ביותר?

דוגמה 5: בעיית קיצון איכותנית (ללא גזירה)

שטח מלבן חסום הוא $A(\theta ) = 8 \cdot \sin (\theta ) ($ סמ״ר) $, 0 < \theta < \pi$ . מהו השטח המקסימלי?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין מיקום למהירות

טעות נפוצה: חושבים שהמהירות מקסימלית בקיצון

טעות נפוצה: מתעלמים מהמשמעות של הפרמטרים

טעות נפוצה: קוראים את המחזור לא נכון מההקשר

סיכום

תרגול נוסף

יישומים: תנועה הרמונית/מעגלית, תופעות מחזוריות ובעיות קיצון

יישומים: תנועה הרמונית, מעגלית, ובעיות קיצון

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קפיץ — מיקום ומהירות

גוף על קפיץ נע לפי x(t)=4⋅cos⁡(2t)(x(t) = 4 \cdot \cos (2t) (x(t)=4⋅cos(2t)(ס״מ, שניות). מהי המהירות?

דוגמה 2: מחזור של תנועה

מהו מחזור התנודה של x(t)=4⋅cos⁡(2t)x(t) = 4 \cdot \cos (2t)x(t)=4⋅cos(2t)?

דוגמה 3: גלגל ענק (תנועה מעגלית)

גובה כיסא בגלגל ענק: h(t)=15−12⋅cos⁡(t)(h(t) = 15 - 12 \cdot \cos (t) (h(t)=15−12⋅cos(t)(מטר). מהם הגבהים המינימלי והמקסימלי?

דוגמה 4: תופעה מחזורית — אורך היום

אורך היום (שעות) מתואר ב-L(d)=12+2.5⋅sin⁡(…)L(d) = 12 + 2.5 \cdot \sin (\ldots)L(d)=12+2.5⋅sin(…). מהו אורך היום הארוך ביותר?

דוגמה 5: בעיית קיצון איכותנית (ללא גזירה)

שטח מלבן חסום הוא A(θ)=8⋅sin⁡(θ)(A(\theta ) = 8 \cdot \sin (\theta ) (A(θ)=8⋅sin(θ)(סמ״ר),0<θ<π, 0 < \theta < \pi,0<θ<π. מהו השטח המקסימלי?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין מיקום למהירות

טעות נפוצה: חושבים שהמהירות מקסימלית בקיצון

טעות נפוצה: מתעלמים מהמשמעות של הפרמטרים

טעות נפוצה: קוראים את המחזור לא נכון מההקשר

סיכום

תרגול נוסף

גוף על קפיץ נע לפי $x(t) = 4 \cdot \cos (2t) ($ ס״מ, שניות). מהי המהירות?

מהו מחזור התנודה של $x(t) = 4 \cdot \cos (2t)$ ?

גובה כיסא בגלגל ענק: $h(t) = 15 - 12 \cdot \cos (t) ($ מטר). מהם הגבהים המינימלי והמקסימלי?

אורך היום (שעות) מתואר ב- $L(d) = 12 + 2.5 \cdot \sin (\ldots)$ . מהו אורך היום הארוך ביותר?

שטח מלבן חסום הוא $A(\theta ) = 8 \cdot \sin (\theta ) ($ סמ״ר) $, 0 < \theta < \pi$ . מהו השטח המקסימלי?