זהויות הזווית הכפולה ומעבר בין מכפלה לסכום

מבוא

זהויות הסכום וההפרש שלמדנו אינן רק כלי לחישוב — הן מנוע ליצירת זהויות חדשות. כאן נראה ששתי משפחות שימושיות נובעות ישירות מהן: זהויות הזווית הכפולה (מה קורה כש- $β = α$ ) וזהויות המעבר בין מכפלה לסכום. הזהויות האלה הן הבסיס לפישוט פונקציות לקראת גזירה ואינטגרציה, והן גם הכלי המרכזי לפתרון משוואות טריגונומטריות.

מטרות השיעור

לגזור את $sin 2 α$ ואת $cos 2 α$ מזהויות הסכום.
להכיר את שלוש הצורות של $cos 2 α$ ולבחור את הנוחה לכל בעיה.
להמיר מכפלה לסכום וסכום למכפלה.
לפתור משוואות טריגונומטריות בעזרת הזהויות, מבלי לאבד פתרונות.

הרעיון המרכזי

זהויות הזווית הכפולה

מציבים $β = α$ בזהויות הסכום ומקבלים:

sin 2 α = 2 sin α cos α

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 1 - 2 sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1

לקוסינוס שלוש צורות שקולות — בכל בעיה בוחרים את הנוחה: כשמכירים רק את הסינוס משתמשים ב- $1 - 2 sin^{2} α$ , וכשמכירים רק את הקוסינוס משתמשים ב- $2 cos^{2} α - 1$ .

מעבר בין מכפלה לסכום

ממכפלה לסכום (מחברים זהויות סכום והפרש):

sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)]

cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α - β) + cos (α + β)]

מסכום למכפלה:

sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}

cos A + cos B = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גזירת זהות הזווית הכפולה של הסינוס

הראו ש- $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha$

sin 2 α = 2 sin α cos α

שלב 1 — נקודת הפתיחה

כותבים

2\alpha = \alpha + \alpha

בדיקה מהירה

מהי זהות הזווית הכפולה של הסינוס, $\sin 2\alpha$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: בחירת הצורה הנוחה של cos2α

נתון $\sin \alpha = \frac{3}{5} (\alpha$ חדה). חשבו $\cos 2\alpha$

cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}

בחירת הצורה הנכונה חסכה לנו את חישוב הקוסינוס.

שלב 1 — בוחרים צורה

מכירים רק את הסינוס, לכן נבחר

\cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^{2}\alpha

תשובה מספרית

נתון $\sin\alpha = \tfrac{3}{5}$ כאשר $\alpha$ זווית חדה. חשבו את $\cos 2\alpha$ . הזינו את התוצאה כשבר עשרוני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: סכום למכפלה

חשבו במדויק: $\sin 75^{\circ} + \sin 15^{\circ}$

sin 7 5^{\circ} + sin 1 5^{\circ} = 2 sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} = \frac{6}{2}

שלב 1 — זהות סכום-למכפלה

\sin A + \sin B = 2 \cdot \sin (\frac{A+B}{2}) \cdot \cos (\frac{A-B}{2})

בדיקה מהירה

המירו את הסכום $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ$ למכפלה וחשבו את ערכו המדויק.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: פתרון משוואה — בלי לאבד פתרונות

פתרו: $\sin 2x = sinx$ בתחום $0 \le x < 2\pi$

sin x (2 cos x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0, \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}

לו צמצמנו את $sin x$ בשלב 2, היינו מאבדים את הפתרונות x=0 ו- $x = π$ .

שלב 1 — מציבים זווית כפולה

2sinx \cdot cosx = sinx

תשובה מספרית

כמה פתרונות יש למשוואה $\sin 2x = \sin x$ בתחום $0 \le x < 2\pi$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כותבים $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha$

טעות: $sin 2 α = 2 sin α$

נכון: $sin 2 α = 2 sin α cos α$

בדיקה ב- $α = 3 0^{\circ}$ : $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2} \approx 0.87$ , אך $2 sin 3 0^{\circ} = 1$ .

למה זה קורה?

מתייחסים ל-2 כמקדם פשוט ושוכחים את הקוסינוס.

איך מתקנים?

\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha

. ה-2 מוכפל במכפלה

\sin \alpha \cdot \cos \alpha

, לא רק בסינוס.

טעות נפוצה: לא בוחרים את הצורה הנוחה של $\cos 2\alpha$

אם נתון רק $sin α$ , בחרו $cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α$ — ולא תצטרכו לחשב את הקוסינוס.

למה זה קורה?

זוכרים רק צורה אחת ונתקעים כשחסר מידע.

איך מתקנים?

\cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^{2}\alpha (

כשמכירים

\sin )

, או

2\cos ^{2}\alpha - 1 (

כשמכירים

\cos )

, או

\cos ^{2}\alpha - \sin ^{2}\alpha

טעות נפוצה: מצמצמים sinx ומאבדים פתרונות

טעות: מחלקים ב- $sin x$ ומקבלים רק $2 cos x = 1$ (שני פתרונות).

נכון: $sin x (2 cos x - 1) = 0$ נותן ארבעה פתרונות, כולל $x = 0, π$ .

למה זה קורה?

במשוואה כמו

\sin 2x = sinx

מתפתים לחלק את שני האגפים ב-sinx.

איך מתקנים?

לעולם אל תחלקו בביטוי שעלול להתאפס. העבירו אגף והוציאו גורם משותף.

סיכום

מה למדנו?

זווית כפולה:

$sin 2 α = 2 sin α cos α$
$cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 1 - 2 sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1$

מכפלה ↔ סכום: ניתן להמיר מכפלת פונקציות לסכום ולהפך — כלי מרכזי לפישוט ולפתרון משוואות.

טיפים:

בוחרים את הצורה של $cos 2 α$ שמתאימה למידע הנתון.
בפתרון משוואות: מעבירים אגף ומפרקים לגורמים — לא מצמצמים!

עבודה יפה! אלה הזהויות שיהפכו ביטויים מסובכים לפשוטים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זהויות הזווית הכפולה ופתרון משוואות.

זהויות הזווית הכפולה ומעבר בין מכפלה לסכום

זהויות הזווית הכפולה ומעבר בין מכפלה לסכום

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גזירת זהות הזווית הכפולה של הסינוס

הראו ש-sin⁡2α=2sin⁡α⋅cos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos \alphasin2α=2sinα⋅cosα

דוגמה 2: בחירת הצורה הנוחה של cos2α

נתון sin⁡α=35(α\sin \alpha = \frac{3}{5} (\alphasinα=53​(α חדה). חשבו cos⁡2α\cos 2\alphacos2α

דוגמה 3: סכום למכפלה

חשבו במדויק: sin⁡75∘+sin⁡15∘\sin 75^{\circ} + \sin 15^{\circ}sin75∘+sin15∘

דוגמה 4: פתרון משוואה — בלי לאבד פתרונות

פתרו: sin⁡2x=sinx\sin 2x = sinxsin2x=sinx בתחום 0≤x<2π0 \le x < 2\pi0≤x<2π

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כותבים sin⁡2α=2sin⁡α\sin 2\alpha = 2\sin \alphasin2α=2sinα

טעות נפוצה: לא בוחרים את הצורה הנוחה של cos⁡2α\cos 2\alphacos2α

טעות נפוצה: מצמצמים sinx ומאבדים פתרונות

סיכום

תרגול נוסף

הראו ש- $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha$

נתון $\sin \alpha = \frac{3}{5} (\alpha$ חדה). חשבו $\cos 2\alpha$

חשבו במדויק: $\sin 75^{\circ} + \sin 15^{\circ}$

פתרו: $\sin 2x = sinx$ בתחום $0 \le x < 2\pi$

טעות נפוצה: כותבים $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha$

טעות נפוצה: לא בוחרים את הצורה הנוחה של $\cos 2\alpha$