עד כה הכרתם את ערכי הסינוס והקוסינוס של זוויות מיוחדות כמו 3 0 ∘ , 4 5 ∘ , 6 0 ∘ sin 7 5 ∘ cos 1 5 ∘ זהויות הסכום וההפרש , שמאפשרות לפרק זווית "לא נוחה" לסכום או הפרש של זוויות מוכרות. הזהויות האלה הן גם תשתית תאורטית חשובה: בהמשך לימודיכם הן יובילו להוכחת הנגזרת של פונקציית הסינוס.
מטרות השיעור
להכיר את ארבע זהויות הסכום וההפרש של סינוס וקוסינוס.
להבין שמספיק להוכיח זהות אחת ולהסיק ממנה את שלוש האחרות.
להשתמש בזהויות לחישוב ערכים מדויקים (למשל sin 7 5 ∘
להימנע מהטעות הנפוצה sin ( α + β ) = sin α + sin β
ארבע הזהויות
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β כללי זיכרון:
בסינוס מופיעות מכפלות מעורבות (סינוס·קוסינוס), והסימן בין המכפלות זהה לסימן שבתוך הסוגריים.
בקוסינוס מופיעות מכפלות אחידות (קוסינוס·קוסינוס, ואז סינוס·סינוס), והסימן מתהפך ביחס לסימן שבתוך הסוגריים.
מהי הזהות הנכונה עבור sin ( α + β ) \sin(\alpha+\beta) sin ( α + β )
sin α cos β + cos α sin β \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta sin α cos β + cos α sin β sin α cos β − cos α sin β \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta sin α cos β − cos α sin β sin α + sin β \sin\alpha + \sin\beta sin α + sin β cos α cos β − sin α sin β \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta cos α cos β − sin α sin β בדקו את התשובה כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
מספיק להוכיח אחת
לפי תוכנית הלימודים, די להוכיח אחת מארבע הזהויות (אלגברית או גאומטרית) ולהסיק ממנה את השלוש האחרות. ההסקה משתמשת בשני כלים פשוטים:
זוגיות: cos ( − β ) = cos β sin ( − β ) = − sin β השלמה ל-9 0 ∘ sin θ = cos ( 9 0 ∘ − θ ) cos θ = sin ( 9 0 ∘ − θ ) הסיקו את cos ( α − β ) \cos (\alpha -\beta ) cos ( α − β ) cos ( α + β ) \cos (\alpha +\beta ) cos ( α + β ) cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β המינוס הפך לפלוס בזכות אי-זוגיות הסינוס — זו בדיוק הסיבה שהסימן "מתהפך".
1
שלב 1 — נקודת הפתיחה
נניח שכבר הוכחנו את cos ( α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β \cos (\alpha +\beta ) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta cos ( α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β המשך לשלב 2 חשבו את sin 75 ∘ \sin 75^{\circ} sin 7 5 ∘ 1
שלב 1 — מפרקים את הזווית
75 ∘ = 45 ∘ + 30 ∘ 75^{\circ} = 45^{\circ} + 30^{\circ} 7 5 ∘ = 4 5 ∘ + 3 0 ∘ המשך לשלב 2 באמצעות 75 ∘ = 45 ∘ + 30 ∘ 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ 7 5 ∘ = 4 5 ∘ + 3 0 ∘ sin 75 ∘ \sin 75^\circ sin 7 5 ∘
6 + 2 4 \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} 4 6 + 2 6 − 2 4 \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} 4 6 − 2 3 + 1 2 \dfrac{\sqrt{3}+1}{2} 2 3 + 1 2 2 \dfrac{\sqrt{2}}{2} 2 2 בדקו את התשובה כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
חשבו את cos 15 ∘ \cos 15^{\circ} cos 1 5 ∘ cos 1 5 ∘ = 4 6 + 2 שימו לב: cos 1 5 ∘ = sin 7 5 ∘ 1 5 ∘ 7 5 ∘ 9 0 ∘
1
שלב 1 — מפרקים
15 ∘ = 45 ∘ − 30 ∘ 15^{\circ} = 45^{\circ} - 30^{\circ} 1 5 ∘ = 4 5 ∘ − 3 0 ∘ המשך לשלב 2 מצאו את הערך המדויק של cos 15 ∘ \cos 15^\circ cos 1 5 ∘ 15 ∘ = 45 ∘ − 30 ∘ 15^\circ = 45^\circ - 30^\circ 1 5 ∘ = 4 5 ∘ − 3 0 ∘
6 + 2 4 \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} 4 6 + 2 6 − 2 4 \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} 4 6 − 2 6 2 \dfrac{\sqrt{6}}{2} 2 6 3 − 2 4 \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4} 4 3 − 2 בדקו את התשובה כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
פשטו: sin 50 ∘ ⋅ cos 10 ∘ + cos 50 ∘ ⋅ sin 10 ∘ \sin 50^{\circ} \cdot \cos 10^{\circ} + \cos 50^{\circ} \cdot \sin 10^{\circ} sin 5 0 ∘ ⋅ cos 1 0 ∘ + cos 5 0 ∘ ⋅ sin 1 0 ∘ sin 5 0 ∘ cos 1 0 ∘ + cos 5 0 ∘ sin 1 0 ∘ = sin 6 0 ∘ = 2 3 זיהוי התבנית בכיוון ההפוך הוא מיומנות מרכזית לפישוט ולפתרון משוואות.
1
שלב 1 — מזהים תבנית
הביטוי הוא בדיוק sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β α = 50 ∘ , β = 10 ∘ \alpha =50^{\circ}, \beta =10^{\circ} α = 5 0 ∘ , β = 1 0 ∘ המשך לשלב 2 נתון sin α = 3 5 \sin\alpha = \tfrac{3}{5} sin α = 5 3 sin β = 5 13 \sin\beta = \tfrac{5}{13} sin β = 13 5 sin ( α + β ) \sin(\alpha+\beta) sin ( α + β )
בדקו את התשובה כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם
טעות נפוצה: חושבים שהסינוס מתפלג על החיבור טעות: sin ( 3 0 ∘ + 6 0 ∘ ) = sin 3 0 ∘ + sin 6 0 ∘ = 2 1 + 2 3
נכון: sin ( 3 0 ∘ + 6 0 ∘ ) = sin 9 0 ∘ = 1
הצד השגוי נותן בערך 1.37 — בלתי אפשרי, כי הסינוס לעולם אינו עולה על 1 !
למה זה קורה?
תלמידים מניחים ש-sin ( α + β ) = sin α + sin β \sin (\alpha +\beta ) = \sin \alpha + \sin \beta sin ( α + β ) = sin α + sin β איך מתקנים?
הסינוס אינו ליניארי. הזהות הנכונה היא sin ( α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β \sin (\alpha +\beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta sin ( α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β טעות נפוצה: טועים בסימן של זהות הקוסינוס טעות: cos ( α + β ) = cos α cos β + sin α sin β
נכון: cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
למה זה קורה?
זוכרים את הזהות אבל מתבלבלים: הסימן בקוסינוס מתהפך ביחס לסימן שבסוגריים.
איך מתקנים?
cos ( α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β ( \cos (\alpha +\beta ) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta ( cos ( α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β ( cos ( α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β ( \cos (\alpha -\beta ) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta ( cos ( α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β ( טעות נפוצה: מחליפים בין מבנה הסינוס למבנה הקוסינוס טעות: sin ( α + β ) = sin α sin β + cos α cos β
נכון: sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
למה זה קורה?
כותבים בסינוס מכפלות אחידות ( sin α ⋅ sin β + cos α ⋅ cos β ) (\sin \alpha \cdot \sin \beta + \cos \alpha \cdot \cos \beta ) ( sin α ⋅ sin β + cos α ⋅ cos β ) איך מתקנים?
בסינוס המכפלות מעורבות: sin ⋅ cos + cos ⋅ sin \sin \cdot \cos + \cos \cdot \sin sin ⋅ cos + cos ⋅ sin cos ⋅ cos ∓ sin ⋅ sin \cos \cdot \cos ∓ \sin \cdot \sin cos ⋅ cos ∓ sin ⋅ sin מה למדנו?
ארבע הזהויות:
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
עקרונות מפתח:
מספיק להוכיח זהות אחת ולהסיק את השאר באמצעות זוגיות והשלמה ל-9 0 ∘
בסינוס — מכפלות מעורבות, סימן זהה לסוגריים. בקוסינוס — מכפלות אחידות, סימן מתהפך.
הזהויות עובדות בשני הכיוונים: לפירוק זווית ולפישוט ביטוי.
עבודה מצוינת! עכשיו אתם מצוידים בכלי שילווה אתכם עד לנגזרת של הסינוס.
עברו לתרגול כדי לבסס את זהויות הסכום וההפרש.