טריגונומטריה בגופים מרחביים פשוטים

מבוא

בשיעור זה נצא לסבב היכרות ראשון עם הגופים המרחביים: תיבה, מנסרה, פירמידה, גליל, חרוט וכדור. המטרה אינה ללמוד משפטים של גאומטריה במרחב (אלה יילמדו בכיתה י״ב), אלא להראות כיצד הכלי המוכר — טריגונומטריה של משולש ישר-זווית — מספיק כדי לחשב גבהים, רדיוסים, אלכסונים ונפחים. הסוד פשוט: בכל גוף כזה מסתתר משולש ישר-זווית, ועלינו רק לזהות אותו.

מטרות השיעור

לזהות את המשולש ישר-הזווית הטמון בחרוט, בפירמידה, בגליל ובתיבה.
לחשב גובה, רדיוס ויוצר באמצעות $sin, cos, tan$ .
להבחין בין הגובה האנכי לבין הגובה האלכסוני (אפותם / יוצר).
לחשב נפחים תוך זכירת מקדם השליש בפירמידה ובחרוט.

נוסחאות נפח שימושיות

תיבה / מנסרה ישרה: $V = S_{בסיס} \cdot h$
גליל ישר: $V = π r^{2} h$
פירמידה / חרוט: $V = \frac{1}{3} S_{בסיס} \cdot h$ — שימו לב למקדם $\frac{1}{3}$ !
כדור: $V = \frac{4}{3} π R^{3}$

הרעיון המרכזי

המשולש ישר-הזווית הטמון בחרוט

בחרוט ישר, הציר (הגובה h), רדיוס הבסיס r והיוצר $ℓ$ מרכיבים משולש ישר-זווית שבו $ℓ$ הוא היתר:

ℓ^{2} = r^{2} + h^{2}

אם $θ$ היא הזווית בין היוצר לבסיס: $h = ℓ sin θ$ , $r = ℓ cos θ$ .
אם $α$ היא הזווית בין הציר ליוצר (חצי-זווית הקודקוד): $r = ℓ sin α$ , $h = ℓ cos α$ .

שימו לב כיצד תפקידי $sin$ ו- $cos$ מתחלפים לפי הזווית שנמדדת!

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גובה חרוט מהיוצר והזווית

יוצר $ℓ=10$ , זווית עם הבסיס $60^{\circ}$ . מצאו את הגובה

h = ℓ sin 6 0^{\circ} = 10 \cdot \frac{3}{2} = 53

שלב 1 — מזהים משולש ישר-זווית

ציר, רדיוס ויוצר. היוצר הוא היתר, הגובה מול הזווית

60^{\circ}

בדיקה מהירה

בחרוט ישר, היוצר (slant) באורך $\ell$ יוצר זווית $\theta$ עם מישור הבסיס. מהו גובה החרוט $h$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בחרוט ישר היוצר באורך $10$ ס"מ והוא יוצר זווית של $60^\circ$ עם הבסיס. חשבו את גובה החרוט (בס"מ), מעוגל לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: גובה פירמידה מזווית הפאה

בסיס ריבועי בצלע 6, פאה צדדית בזווית $60^{\circ}$ עם הבסיס

h = 3 tan 6 0^{\circ} = 33

הזווית מודדת בין הפאה לבסיס, ולכן עובדים עם אפותם הבסיס (לא עם חצי האלכסון).

שלב 1 — אפותם הבסיס

המרחק ממרכז הבסיס לאמצע צלע

= \frac{6}{2} = 3

תשובה מספרית

פירמידה ישרה בעלת בסיס ריבועי שצלעו $6$ ס"מ. פאה צדדית יוצרת עם מישור הבסיס זווית של $60^\circ$ . חשבו את הגובה האנכי של הפירמידה (בס"מ), מעוגל לשתי ספרות.

סטייה מותרת: ±0.02

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: נפח פירמידה

נפח הפירמידה מהדוגמה הקודמת (בסיס $6, h=3\sqrt{3})$

V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 33 = 363 \approx 62.35

אל תשכחו את מקדם $\frac{1}{3}$ בנפח הפירמידה!

שלב 1 — שטח הבסיס

ריבוע בצלע

6: S = 6^{2} = 36

דוגמה 4: זווית היוצר בחרוט

רדיוס 5, גובה $5\sqrt{3}$ . מצאו את הזווית בין היוצר לבסיס

tan θ = \frac{h}{r} = \frac{5 3}{5} = 3 \Rightarrow θ = 6 0^{\circ}

שלב 1 — בוחרים יחס

\tan \theta =

גובה / רדיוס

= \frac{h}{r}

תשובה מספרית

בחרוט ישר רדיוס הבסיס $5$ ס"מ וגובהו $5\sqrt{3}$ ס"מ. מהי הזווית (במעלות) שבין היוצר לבין מישור הבסיס?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין גובה אנכי לגובה אלכסוני

טעות: הצבת היוצר $ℓ$ בנוסחת הנפח כאילו היה הגובה.

נכון: מחשבים תחילה את הגובה האנכי h (ניצב, לא יתר), ורק אז מציבים בנפח.

למה זה קורה?

מציבים את האפותם של הפאה (או היוצר) במקום הגובה האנכי בחישוב הנפח.

איך מתקנים?

הגובה האנכי יורד אל מרכז הבסיס. האפותם/היוצר הוא היתר במשולש ישר-זווית, וגדול מהגובה.

טעות נפוצה: החלפת $\sin$ ו- $\cos$ בחרוט

ציירו תמיד את המשולש ישר-הזווית וסמנו מי מול הזווית ומי סמוך לה — כך לא תתבלבלו.

למה זה קורה?

לא שמים לב אם הזווית נמדדת בין היוצר לבסיס או בין הציר ליוצר.

איך מתקנים?

זווית עם הבסיס:

h=ℓ\sin \theta , r=ℓ\cos \theta

. זווית עם הציר:

r=ℓ\sin \alpha , h=ℓ\cos \alpha

טעות נפוצה: שוכחים את מקדם השליש

טעות: $V_{פירמידה} = S \cdot h$

נכון: $V_{פירמידה} = \frac{1}{3} S \cdot h$

למה זה קורה?

מתבלבלים בין נוסחת המנסרה/הגליל לבין הפירמידה/החרוט.

איך מתקנים?

פירמידה וחרוט:

V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h

. מנסרה וגליל:

V = S \cdot h (

בלי שליש).

סיכום

מה למדנו?

הרעיון המרכזי: בכל גוף מרחבי פשוט מסתתר משולש ישר-זווית, וטריגונומטריה בסיסית מספיקה לחשב גבהים, רדיוסים ואלכסונים.

זכרו:

בחרוט: $ℓ^{2} = r^{2} + h^{2}$ , והתאימו $sin / cos$ לזווית הנמדדת.
הבחינו בין הגובה האנכי לבין האפותם/היוצר.
פירמידה וחרוט: נפח עם מקדם $\frac{1}{3}$ .

זהו סבב היכרות ראשון — בכיתה י״ב נעמיק עם משפטים של הגאומטריה במרחב. עבודה נהדרת!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישובים טריגונומטריים בגופים מרחביים.

טריגונומטריה בגופים מרחביים פשוטים

טריגונומטריה בגופים מרחביים פשוטים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: גובה חרוט מהיוצר והזווית

יוצר ℓ=10ℓ=10ℓ=10, זווית עם הבסיס 60∘60^{\circ}60∘. מצאו את הגובה

דוגמה 2: גובה פירמידה מזווית הפאה

בסיס ריבועי בצלע 6, פאה צדדית בזווית 60∘60^{\circ}60∘ עם הבסיס

דוגמה 3: נפח פירמידה

נפח הפירמידה מהדוגמה הקודמת (בסיס 6,h=33)6, h=3\sqrt{3})6,h=33​)

דוגמה 4: זווית היוצר בחרוט

רדיוס 5, גובה 535\sqrt{3}53​. מצאו את הזווית בין היוצר לבסיס

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בלבול בין גובה אנכי לגובה אלכסוני

טעות נפוצה: החלפת sin⁡\sinsin ו-cos⁡\coscos בחרוט

טעות נפוצה: שוכחים את מקדם השליש

סיכום

תרגול נוסף

יוצר $ℓ=10$ , זווית עם הבסיס $60^{\circ}$ . מצאו את הגובה

בסיס ריבועי בצלע 6, פאה צדדית בזווית $60^{\circ}$ עם הבסיס

נפח הפירמידה מהדוגמה הקודמת (בסיס $6, h=3\sqrt{3})$

רדיוס 5, גובה $5\sqrt{3}$ . מצאו את הזווית בין היוצר לבסיס

טעות נפוצה: החלפת $\sin$ ו- $\cos$ בחרוט