מרחק בין שתי נקודות ואמצע קטע

מבוא

מטרות השיעור

לחזור על מערכת הצירים ועל המרחק בין נקודות שיוצרות קטע מקביל לציר (חומר חטיבת הביניים)
לחשב את המרחק בין שתי נקודות כלשהן במישור באמצעות משפט פיתגורס: $d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
למצוא את נקודת אמצע הקטע לפי שיעורי קצותיו: $M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$
למצוא קצה חסר של קטע כשנתונים הקצה השני ונקודת האמצע
ליישם מרחק ואמצע כדי לזהות צורות גאומטריות (למשל משולש שווה-שוקיים) ולחשב היקפים

חזרה קצרה: מערכת הצירים

מה כבר ידוע מחטיבת הביניים

כל נקודה במישור מתוארת בזוג שיעורים (x, y): השיעור הראשון הוא המרחק האופקי מציר y, והשני הוא המרחק האנכי מציר x.

כששתי נקודות יוצרות קטע המקביל לאחד הצירים, אורך הקטע הוא פשוט הפרש השיעורים הרלוונטיים:

קטע אופקי (אותו y): האורך הוא $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ .
קטע אנכי (אותו x): האורך הוא $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ .

בשיעור הזה נרחיב את חישוב האורך למקרה הכללי — קטע נטוי שאינו מקביל לאף ציר.

הרעיון המרכזי: מרחק בין שתי נקודות

נוסחת המרחק

נתונות שתי נקודות $A (x_{1}, y_{1})$ ו- $B (x_{2}, y_{2})$ . נשלים משולש ישר-זווית שניצביו מקבילים לצירים: ניצב אופקי באורך $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ וניצב אנכי באורך $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ . הקטע AB הוא היתר.

לפי משפט פיתגורס: $A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

שימו לב: מעלים את ההפרשים בריבוע לפני החיבור, ורק בסוף מוציאים שורש. הריבוע מבטל את הסימן, ולכן אין חשיבות לאיזו נקודה קוראים ראשונה.

אמצע קטע

נקודת אמצע הקטע AB היא ממוצע השיעורים של שני הקצוות: $M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

לכל ציר בנפרד: השיעור של האמצע הוא ממש האמצע המספרי בין שני השיעורים. זו אינה נוסחת הפרש — זו נוסחת חיבור חלקי שתיים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מרחק בין שתי נקודות (אורך שלם)

חשבו את המרחק בין $A(1,2)$ ל- $B(4,6)$ .

A B = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5

שלב 1 — הפרשי השיעורים

\Delta x = x_{2}-x_{1} = 4-1 = 3

, ו-

\Delta y = y_{2}-y_{1} = 6-2 = 4

דוגמה 2: מרחק עם שיעורים שליליים

חשבו את המרחק בין $P(-3,5)$ ל- $Q(2,-7)$ .

PQ = (2 - (- 3))^{2} + (- 7 - 5)^{2} = 25 + 144 = 169 = 13

שלב 1 — הפרשי השיעורים

\Delta x = 2-(-3) = 5

, ו-

\Delta y = -7-5 = -12

. שימו לב לחיסור הזהיר של מספרים שליליים.

דוגמה 3: אמצע קטע

מצאו את אמצע הקטע שקצותיו $A(-4,-4)$ ו- $B(0,4)$ .

M = (\frac{- 4 + 0}{2}, \frac{- 4 + 4}{2}) = (- 2, 0)

שלב 1 — ממוצע שיעורי ה-x

x_M = \frac{x_{1}+x_{2}}{2} = \frac{-4+0}{2} = -\frac{4}{2} = -2

תשובה מספרית

חשבו את המרחק בין הנקודות $A(1,2)$ ו- $B(4,6)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מציאת קצה חסר לפי האמצע

קצה אחד של קטע הוא $A(2,3)$ ואמצעו הוא $M(5,1)$ . מצאו את הקצה השני B.

\frac{2 + x}{2} = 5 \Rightarrow x = 8, \frac{3 + y}{2} = 1 \Rightarrow y = - 1, B (8, - 1)

שלב 1 — מציבים בנוסחת האמצע

האמצע נתון, הקצה B(x,y) נעלם. מתקיים

\frac{2+x}{2} = 5

וגם

\frac{3+y}{2} = 1

תשובה מספרית

חשבו את המרחק בין הנקודות $P(-3,5)$ ו- $Q(2,-7)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

קצה אחד של קטע הוא $A(2,3)$ ונקודת האמצע שלו היא $M(5,1)$ . מהו הקצה השני B?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

אמצע הקטע AB הוא $M(1,-2)$ , והקצה A הוא $(-3,4)$ . מצאו את שיעורי הקצה B. כתבו כזוג סדור, למשל (x,y).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: זיהוי משולש שווה-שוקיים בעזרת מרחקים

נתון משולש $ABC: A(0,0), B(4,3), C(0,6)$ . בדקו אם הוא שווה-שוקיים וחשבו את היקפו.

A B = BC = 5, A C = 6 \Rightarrow שווה-שוקיים, P = 5 + 5 + 6 = 16

שלב 1 — אורך AB

AB = \sqrt{(4-0}^{2} + (3-0)^{2}) = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להעלות בריבוע (או מחברים לפני הריבוע)

טעות: המרחק בין A(1,2) ל-B(4,6) הוא (4−1)+(6−2) = 3+4 = 7.

נכון: $3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ . החיבור הישיר נותן תוצאה שגויה.

למה זה קורה?

מבלבלים בין נוסחת המרחק לבין חיבור פשוט של הפרשים.

איך מתקנים?

קודם מעלים כל הפרש בריבוע, אחר כך מחברים, ורק בסוף מוציאים שורש:

\sqrt{(\Delta x}^{2} + (\Delta y)^{2})

טעות נפוצה: מחשבים את האמצע כהפרש במקום כממוצע

טעות: אמצע A(−4,−4) ו-B(0,4) הוא ((0−(−4))/2, (4−(−4))/2) = (2, 4).

נכון: $(\frac{- 4 + 0}{2}, \frac{- 4 + 4}{2}) = (- 2, 0)$ . הנקודה (−2,0) נמצאת בין הקצוות, (2,4) לא.

למה זה קורה?

מערבבים את נוסחת המרחק (הפרש) עם נוסחת האמצע (ממוצע).

איך מתקנים?

האמצע הוא חיבור חלקי שתיים:

(\frac{x_{1}+x_{2}}{2,} \frac{y_{1}+y_{2}}{2})

. בודקים שהתוצאה באמת בין שני הקצוות.

טעות נפוצה: במציאת קצה חסר — מחשבים ממוצע במקום לבודד

טעות: עבור A(2,3), M(5,1), לוקחים ממוצע (2+5)/2 = 3.5 ככקצה.

נכון: $x_{B} = 2 \cdot 5 - 2 = 8, y_{B} = 2 \cdot 1 - 3 = - 1$ , כלומר B(8,−1).

למה זה קורה?

מתייחסים לאמצע הנתון כאילו הוא נעלם שצריך לחשב.

איך מתקנים?

האמצע נתון. מציבים בנוסחת האמצע ופותרים את משוואת הקצה:

\frac{x_A + x_B}{2} = x_M

, ומכאן

x_B = 2 \cdot x_M - x_A

טעות נפוצה: טעות בחיסור מספרים שליליים בהפרש

טעות: Δx בין P(−3,5) ל-Q(2,−7) מחושב כ-2−3 = −1.

נכון: $Δ x = 2 - (- 3) = 5$ . ההפרש הנכון מוביל ל-√169 = 13.

למה זה קורה?

שוכחים שחיסור של מספר שלילי הוא חיבור.

איך מתקנים?

כותבים את החיסור במלואו עם סוגריים:

2-(-3) = 2+3 = 5

סיכום

מה למדנו?

מרחק ואמצע במישור:

מרחק בין $A (x_{1}, y_{1})$ ל- $B (x_{2}, y_{2})$ : $A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ (משפט פיתגורס).
אמצע הקטע: $M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$ — ממוצע השיעורים.
קצה חסר: מבודדים מתוך נוסחת האמצע — $x_{B} = 2 x_{M} - x_{A}$ , $y_{B} = 2 y_{M} - y_{A}$ .

זכרו:

מעלים בריבוע לפני שמחברים, ומוציאים שורש בסוף.
האמצע הוא ממוצע (חיבור), לא הפרש.
אפשר לזהות צורות (שווה-שוקיים, ריבוע) על-ידי השוואת אורכי צלעות.

בשיעור הבא נלמד את שיפוע הקו הישר — קצב השינוי של הישר.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב מרחק, מציאת אמצע וזיהוי צורות גאומטריות!

מרחק בין שתי נקודות ואמצע קטע

מרחק בין שתי נקודות ואמצע קטע

מבוא

חזרה קצרה: מערכת הצירים

הרעיון המרכזי: מרחק בין שתי נקודות

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מרחק בין שתי נקודות (אורך שלם)

חשבו את המרחק בין A(1,2)A(1,2)A(1,2) ל-B(4,6)B(4,6)B(4,6).

דוגמה 2: מרחק עם שיעורים שליליים

חשבו את המרחק בין P(−3,5)P(-3,5)P(−3,5) ל-Q(2,−7)Q(2,-7)Q(2,−7).

דוגמה 3: אמצע קטע

מצאו את אמצע הקטע שקצותיו A(−4,−4)A(-4,-4)A(−4,−4) ו-B(0,4)B(0,4)B(0,4).

דוגמה 4: מציאת קצה חסר לפי האמצע

קצה אחד של קטע הוא A(2,3)A(2,3)A(2,3) ואמצעו הוא M(5,1)M(5,1)M(5,1). מצאו את הקצה השני B.

דוגמה 5: זיהוי משולש שווה-שוקיים בעזרת מרחקים

נתון משולש ABC:A(0,0),B(4,3),C(0,6)ABC: A(0,0), B(4,3), C(0,6)ABC:A(0,0),B(4,3),C(0,6). בדקו אם הוא שווה-שוקיים וחשבו את היקפו.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להעלות בריבוע (או מחברים לפני הריבוע)

טעות נפוצה: מחשבים את האמצע כהפרש במקום כממוצע

טעות נפוצה: במציאת קצה חסר — מחשבים ממוצע במקום לבודד

טעות נפוצה: טעות בחיסור מספרים שליליים בהפרש

סיכום

תרגול נוסף

חשבו את המרחק בין $A(1,2)$ ל- $B(4,6)$ .

חשבו את המרחק בין $P(-3,5)$ ל- $Q(2,-7)$ .

מצאו את אמצע הקטע שקצותיו $A(-4,-4)$ ו- $B(0,4)$ .

קצה אחד של קטע הוא $A(2,3)$ ואמצעו הוא $M(5,1)$ . מצאו את הקצה השני B.

נתון משולש $ABC: A(0,0), B(4,3), C(0,6)$ . בדקו אם הוא שווה-שוקיים וחשבו את היקפו.