מציאת משוואת הקו הישר

מבוא

מטרות השיעור

למצוא את משוואת הישר לפי שיפוע ונקודה: $y - y_{1} = m (x - x_{1})$
למצוא את משוואת הישר לפי שתי נקודות (קודם השיפוע, אחר כך הנוסחה)
לכתוב את המשוואה בשתי הצורות: מפורשת y = mx + b וסתומה Ax + By + C = 0
למצוא את נקודות החיתוך של הישר עם הצירים
לכתוב את משוואת הישר במקרים מיוחדים: ישר אופקי (y=c) וישר אנכי (x=c)

הרעיון המרכזי: משוואת הישר

משוואת הישר לפי שיפוע ונקודה

ישר נקבע באופן יחיד על-ידי שיפוע m ונקודה $(x_{1}, y_{1})$ שעליו. כל נקודה (x,y) על הישר מקיימת שהשיפוע בינה לבין הנקודה הנתונה שווה m: $\frac{y - y _{1}}{x - x _{1}} = m ⟹ y - y_{1} = m (x - x_{1})$

זוהי צורת נקודה-שיפוע. פותחים סוגריים ומסדרים כדי לקבל את הצורה המפורשת.

שתי צורות של המשוואה

צורה מפורשת: y = mx + b. כאן m הוא השיפוע ו-b הוא ערך ה-y בחיתוך עם ציר y (החותך).
צורה סתומה (כללית): Ax + By + C = 0. מתקבלת מהמפורשת על-ידי העברת כל האיברים לאגף אחד; נוחה כשרוצים מקדמים שלמים או כשהישר אנכי.

חיתוך עם הצירים ומקרים מיוחדים

חיתוך עם ציר y: על ציר y מתקיים x=0. מציבים x=0 ומקבלים את שיעור ה-y.
חיתוך עם ציר x: על ציר x מתקיים y=0. מציבים y=0 ופותרים ל-x.
ישר אופקי (שיפוע 0): משוואתו y = c.
ישר אנכי (שיפוע לא מוגדר): משוואתו x = c — אין לו צורה מפורשת y=mx+b.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משוואה לפי שיפוע ונקודה

מצאו את משוואת הישר שעובר דרך $(2,3)$ ושיפועו 4. כתבו בצורה מפורשת.

y - 3 = 4 (x - 2) \Rightarrow y = 4 x - 5

שלב 1 — צורת נקודה-שיפוע

y - y_{1} = m(x - x_{1}) ⟸ y - 3 = 4(x - 2)

דוגמה 2: משוואה לפי שתי נקודות

מצאו את משוואת הישר העובר דרך $A(1,2)$ ו- $B(3,8)$ .

m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3, y - 2 = 3 (x - 1) \Rightarrow y = 3 x - 1

שלב 1 — מחשבים שיפוע

m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3

דוגמה 3: נקודות חיתוך עם הצירים

מצאו את נקודות החיתוך של הישר $y = 2x - 6$ עם הצירים.

x = 0 \Rightarrow y = - 6; y = 0 \Rightarrow x = 3

שלב 1 — חיתוך עם ציר y

מציבים

x=0: y = 2 \cdot 0 - 6 = -6

. הנקודה

(0, -6)

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הישר $y = 2x - 6$ חותך את ציר ה-y בנקודה $(0, -6)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

הישר $y = 2x - 6$ יוצר עם הצירים משולש ישר-זווית. חשבו את שטח המשולש.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מהצורה המפורשת לצורה הסתומה

כתבו את הישר $y = (\frac{3}{4})x - 2$ בצורה סתומה עם מקדמים שלמים.

y = \frac{3}{4} x - 2 \times 4 4 y = 3 x - 8 \Rightarrow 3 x - 4 y - 8 = 0

שלב 1 — מכפילים במכנה

כדי להיפטר מהשבר מכפילים את שני האגפים ב-

4: 4y = 3x - 8

תשובה קצרה

מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה $(2,3)$ ששיפועו 4. כתבו בצורה מפורשת $y=mx+b$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות $A(1,2)$ ו- $B(3,8)$ . כתבו בצורה מפורשת.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: ישרים מקבילים לצירים

כתבו את משוואת הישר העובר דרך $(4,4)$ ו-(א) מקביל לציר x; (ב) מקביל לציר y.

(א) y = 4; (ב) x = 4

שלב 1 — מקביל לציר x

ישר אופקי: כל הנקודות בעלות אותו y. דרך

(4,4)

המשוואה היא

y = 4

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מציבים את הנקודה הפוכה בנוסחת נקודה-שיפוע

טעות: עבור (2,3) ושיפוע 4 כותבים y − 2 = 4(x − 3).

נכון: y - 3 = 4(x - 2) — y₁=3 ו-x₁=2.

למה זה קורה?

מבלבלים בין

x_{1}

ל-

y_{1}

או מציבים את שיעורי הנקודה במקומות שגויים.

איך מתקנים?

בנוסחה

y - y_{1} = m(x - x_{1}): y_{1}

הוא שיעור ה-y של הנקודה

, x_{1}

הוא שיעור ה-x. מציבים בדיוק לפי הסדר.

טעות נפוצה: מחליפים בין הצירים בחישוב חיתוכים

טעות: מוצאים חיתוך עם ציר x על-ידי הצבת x=0.

נכון: לחיתוך עם ציר x מציבים y=0: מ-0=2x-6 מקבלים x=3, הנקודה (3,0).

למה זה קורה?

לא זוכרים מה מציבים לכל ציר.

איך מתקנים?

על ציר y מתקיים

x=0 (

מציבים

x=0)

; על ציר x מתקיים

y=0 (

מציבים

y=0)

טעות נפוצה: מנסים לכתוב $y=mx+b$ לישר אנכי

טעות: מנסים לכתוב את הישר דרך (4,4) המקביל לציר y בצורה y=mx+b.

נכון: הישר האנכי הוא x = 4, ואין לו צורה מפורשת.

למה זה קורה?

חושבים שלכל ישר יש צורה מפורשת.

איך מתקנים?

לישר אנכי שיפוע לא מוגדר ומשוואתו

x=c

בלבד. רק לישר אופקי או נטוי יש צורה מפורשת

y=mx+b

טעות נפוצה: שוכחים לפתוח סוגריים נכון או טועים בסימן

טעות: מ-y − 3 = 4(x − 2) מקבלים y = 4x − 2 − 3.

נכון: $y - 3 = 4 x - 8 \Rightarrow y = 4 x - 8 + 3 = 4 x - 5$ .

למה זה קורה?

פותחים

m(x - x_{1})

בלי לשים לב לסימן של

x_{1}

איך מתקנים?

פותחים בזהירות:

4(x - 2) = 4x - 8

, ואז מעבירים את ה-

y_{1}

לאגף הנכון.

סיכום

מה למדנו?

משוואת הקו הישר:

שיפוע ונקודה: $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , ואז מסדרים לצורה מפורשת.
שתי נקודות: קודם $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ , ואז נקודה-שיפוע.
צורות: מפורשת y=mx+b וסתומה Ax+By+C=0.
חיתוכים: ציר y ⟸ x=0; ציר x ⟸ y=0.
מיוחדים: אופקי y=c; אנכי x=c (ללא צורה מפורשת).

זכרו:

בודקים את המשוואה על-ידי הצבת הנקודה הנתונה.
לא להחליף בין הצירים בחישוב חיתוכים.

בשיעור הבא נמצא נקודות על הישר ונחתוך שני ישרים, ונשתמש בחלוקת קטע.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת משוואת הישר משיפוע ונקודה, משתי נקודות, ועל חיתוכים עם הצירים!

מציאת משוואת הקו הישר

מציאת משוואת הקו הישר

מבוא

הרעיון המרכזי: משוואת הישר

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משוואה לפי שיפוע ונקודה

מצאו את משוואת הישר שעובר דרך (2,3)(2,3)(2,3) ושיפועו 4. כתבו בצורה מפורשת.

דוגמה 2: משוואה לפי שתי נקודות

מצאו את משוואת הישר העובר דרך A(1,2)A(1,2)A(1,2) ו-B(3,8)B(3,8)B(3,8).

דוגמה 3: נקודות חיתוך עם הצירים

מצאו את נקודות החיתוך של הישר y=2x−6y = 2x - 6y=2x−6 עם הצירים.

דוגמה 4: מהצורה המפורשת לצורה הסתומה

כתבו את הישר y=(34)x−2y = (\frac{3}{4})x - 2y=(43​)x−2 בצורה סתומה עם מקדמים שלמים.

דוגמה 5: ישרים מקבילים לצירים

כתבו את משוואת הישר העובר דרך (4,4)(4,4)(4,4) ו-(א) מקביל לציר x; (ב) מקביל לציר y.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מציבים את הנקודה הפוכה בנוסחת נקודה-שיפוע

טעות נפוצה: מחליפים בין הצירים בחישוב חיתוכים

טעות נפוצה: מנסים לכתוב y=mx+by=mx+by=mx+b לישר אנכי

טעות נפוצה: שוכחים לפתוח סוגריים נכון או טועים בסימן

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את משוואת הישר שעובר דרך $(2,3)$ ושיפועו 4. כתבו בצורה מפורשת.

מצאו את משוואת הישר העובר דרך $A(1,2)$ ו- $B(3,8)$ .

מצאו את נקודות החיתוך של הישר $y = 2x - 6$ עם הצירים.

כתבו את הישר $y = (\frac{3}{4})x - 2$ בצורה סתומה עם מקדמים שלמים.

כתבו את משוואת הישר העובר דרך $(4,4)$ ו-(א) מקביל לציר x; (ב) מקביל לציר y.

טעות נפוצה: מנסים לכתוב $y=mx+b$ לישר אנכי