שיפוע הקו הישר

מבוא

מטרות השיעור

להבין את משמעות השיפוע כיחס בין השתנות ערכי y להשתנות ערכי x של הישר
לחשב את שיפוע הישר העובר דרך שתי נקודות: $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
לזהות את הישרים המקבילים לצירים: ישר אופקי (שיפוע 0) וישר אנכי (שיפוע לא מוגדר)
לקשר בין שיפועים למצב ההדדי של ישרים: מקבילים (אותו שיפוע), מתלכדים, נחתכים
לזהות ניצבות דרך קשר השיפועים: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$

הרעיון המרכזי: מהו שיפוע?

הגדרת השיפוע

השיפוע של ישר הוא מידה לתלילות שלו: כמה משתנה ערך y עבור כל יחידה שבה גדל x. הוא היחס בין השתנות ה-y (אנכית) להשתנות ה-x (אופקית): $m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

שיפוע חיובי — הישר עולה (משמאל לימין).
שיפוע שלילי — הישר יורד.
ככל ש-|m| גדול יותר, הישר תלול יותר.

חשוב: היחס הוא $Δ y$ חלקי $Δ x$ ולא להפך. ובלבד שנשמור על אותו סדר נקודות במונה ובמכנה — התוצאה לא תלויה באיזו נקודה בחרנו ראשונה.

ישרים המקבילים לצירים

ישר אופקי (מקביל לציר x): כל הנקודות בעלות אותו y, לכן $Δ y = 0$ והשיפוע m = 0.
ישר אנכי (מקביל לציר y): כל הנקודות בעלות אותו x, לכן $Δ x = 0$ . חלוקה באפס אינה מוגדרת — לישר אנכי אין שיפוע (השיפוע לא מוגדר).

שימו לב: שיפוע 0 ושיפוע לא-מוגדר הם הפכים, ואסור להחליף ביניהם.

שיפוע ומצב הדדי של שני ישרים

ישרים מקבילים (שאינם מתלכדים) — בעלי שיפועים שווים ונקודות שונות: $m_{1} = m_{2}$ .
ישרים מתלכדים — שיפועים שווים וגם נקודה משותפת (אותו ישר ממש).
ישרים נחתכים — שיפועים שונים.
ישרים ניצבים (מאונכים) — מכפלת השיפועים שווה -1: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ , כלומר $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}}$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שיפוע חיובי משתי נקודות

מצאו את שיפוע הישר העובר דרך $A(1,2)$ ו- $B(4,8)$ .

m = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2

שלב 1 — השתנות y

\Delta y = y_{2}-y_{1} = 8-2 = 6

דוגמה 2: שיפוע שלילי (זהירות בסימנים)

מצאו את שיפוע הישר העובר דרך $A(-3,5)$ ו- $B(1,-3)$ .

m = \frac{- 3 - 5}{1 - ( - 3 )} = \frac{- 8}{4} = - 2

שלב 1 — השתנות y

\Delta y = -3-5 = -8

תשובה מספרית

הישר העובר דרך הנקודות $(2,3)$ ו-(k,11) הוא בעל שיפוע 2. מצאו את הערך k.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: ישרים המקבילים לצירים

קבעו את השיפוע של (א) הישר דרך $(3,1)$ ו- $(3,7); ($ ב) הישר דרך $(2,5)$ ו- $(8,5)$ .

(א) Δ x = 0 \Rightarrow לא מוגדר; (ב) Δ y = 0 \Rightarrow m = 0

שלב 1 — הישר (א)

שתי הנקודות בעלות אותו

x=3

, לכן

\Delta x = 3-3 = 0. m = \frac{\Delta y}{0}

— חלוקה באפס. הישר אנכי, השיפוע לא מוגדר.

תשובה מספרית

מצאו את שיפוע הישר העובר דרך הנקודות $A(1,2)$ ו- $B(4,8)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: לישר העובר דרך הנקודות $(3,1)$ ו- $(3,7)$ יש שיפוע השווה ל-0.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שיפוע של ישר ניצב

לישר נתון שיפוע $m_{1} = \frac{3}{4}$ . מהו שיפוע הישר הניצב לו?

m_{2} = - \frac{1}{m _{1}} = - \frac{1}{3/4} = - \frac{4}{3}, \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3}) = - 1

שלב 1 — תנאי הניצבות

ישרים ניצבים מקיימים

m_{1} \cdot m_{2} = -1

דוגמה 5: בדיקת הקבלה לפי שיפועים

האם הישר דרך $A(0,1), B(2,5)$ מקביל לישר דרך $C(1,0), D(3,4)$ ?

m_{1} = \frac{4}{2} = 2 = \frac{4}{2} = m_{2} \Rightarrow מקבילים

שלב 1 — שיפוע הישר הראשון

m_{1} = \frac{5-1}{2-0} = \frac{4}{2} = 2

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הופכים את היחס: $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ במקום $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

טעות: שיפוע דרך A(1,2), B(4,8) הוא (4−1)/(8−2) = 3/6 = 0.5.

נכון: $m = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$ . ה-Δy במונה.

למה זה קורה?

מתבלבלים מי במונה ומי במכנה.

איך מתקנים?

השיפוע הוא 'כמה y משתנה לכל יחידת x' — לכן

\Delta y

למעלה

, \Delta x

למטה.

טעות נפוצה: מבלבלים בין ישר אנכי (לא מוגדר) לאופקי (שיפוע 0)

טעות: לישר דרך (3,1) ו-(3,7) שיפוע 0.

נכון: הנקודות בעלות אותו x, לכן $Δ x = 0$ והשיפוע לא מוגדר (לא 0).

למה זה קורה?

חושבים ש'ישר אנכי תלול ⟸ שיפוע אינסוף

= 0'

או להפך.

איך מתקנים?

אנכי:

\Delta x=0 ⟸

חלוקה באפס ⟸ שיפוע לא מוגדר. אופקי:

\Delta y=0 ⟸

שיפוע 0. שני מצבים הפוכים.

טעות נפוצה: חושבים שניצבים = שיפועים נגדיים (m ו-−m)

טעות: ניצב לישר עם שיפוע 3/4 הוא בעל שיפוע −3/4.

נכון: $m_{2} = - \frac{1}{3/4} = - \frac{4}{3}$ , כי $\frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3}) = - 1$ ואילו $\frac{3}{4} \cdot (- \frac{3}{4}) \neq = - 1$ .

למה זה קורה?

מחליפים את תנאי הניצבות בתנאי פשוט מדי.

איך מתקנים?

התנאי הוא

m_{1} \cdot m_{2} = -1

, כלומר

m_{2} = -\frac{1}{m_{1}} (

הופכי בסימן הפוך), לא רק שינוי סימן.

טעות נפוצה: טעות סימן בהשתנות x עם שיעורים שליליים

טעות: עבור A(−3,5), B(1,−3) מחשבים Δx = 1−3 = −2 ומקבלים שיפוע שגוי.

נכון: $Δ x = 1 - (- 3) = 4$ , ולכן $m = \frac{- 8}{4} = - 2$ .

למה זה קורה?

שוכחים שחיסור מספר שלילי הוא חיבור.

איך מתקנים?

כותבים בסוגריים:

\Delta x = 1-(-3) = 1+3 = 4

בדיקה מהירה

לישר נתון שיפוע $m_{1} = \frac{3}{4}$ . מהו שיפוע הישר הניצב לו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

שיפוע הקו הישר:

הגדרה: $m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ — השתנות y לכל יחידת x.
ישר אופקי: m=0. ישר אנכי: שיפוע לא מוגדר (חלוקה באפס).
מקבילים: שיפועים שווים. נחתכים: שיפועים שונים. מתלכדים: שיפוע ונקודה משותפים.
ניצבים: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ , כלומר $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}}$ .

זכרו:

Δy במונה, Δx במכנה — לא להפך.
אנכי = לא מוגדר; אופקי = 0.
ניצב = הופכי בסימן הפוך, לא רק שינוי סימן.

בשיעור הבא נשתמש בשיפוע ובנקודה כדי למצוא את משוואת הקו הישר.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב שיפוע, זיהוי ישרים מקבילים לצירים וקשרי הקבלה וניצבות!

שיפוע הקו הישר

שיפוע הקו הישר

מבוא

הרעיון המרכזי: מהו שיפוע?

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שיפוע חיובי משתי נקודות

מצאו את שיפוע הישר העובר דרך A(1,2)A(1,2)A(1,2) ו-B(4,8)B(4,8)B(4,8).

דוגמה 2: שיפוע שלילי (זהירות בסימנים)

מצאו את שיפוע הישר העובר דרך A(−3,5)A(-3,5)A(−3,5) ו-B(1,−3)B(1,-3)B(1,−3).

דוגמה 3: ישרים המקבילים לצירים

קבעו את השיפוע של (א) הישר דרך (3,1)(3,1)(3,1) ו-(3,7);((3,7); ((3,7);(ב) הישר דרך (2,5)(2,5)(2,5) ו-(8,5)(8,5)(8,5).

דוגמה 4: שיפוע של ישר ניצב

לישר נתון שיפוע m1=34m_{1} = \frac{3}{4}m1​=43​. מהו שיפוע הישר הניצב לו?

דוגמה 5: בדיקת הקבלה לפי שיפועים

האם הישר דרך A(0,1),B(2,5)A(0,1), B(2,5)A(0,1),B(2,5) מקביל לישר דרך C(1,0),D(3,4)C(1,0), D(3,4)C(1,0),D(3,4)?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הופכים את היחס: ΔxΔy\frac{\Delta x}{\Delta y}ΔyΔx​ במקום ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy​

טעות נפוצה: מבלבלים בין ישר אנכי (לא מוגדר) לאופקי (שיפוע 0)

טעות נפוצה: חושבים שניצבים = שיפועים נגדיים (m ו-−m)

טעות נפוצה: טעות סימן בהשתנות x עם שיעורים שליליים

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את שיפוע הישר העובר דרך $A(1,2)$ ו- $B(4,8)$ .

מצאו את שיפוע הישר העובר דרך $A(-3,5)$ ו- $B(1,-3)$ .

קבעו את השיפוע של (א) הישר דרך $(3,1)$ ו- $(3,7); ($ ב) הישר דרך $(2,5)$ ו- $(8,5)$ .

לישר נתון שיפוע $m_{1} = \frac{3}{4}$ . מהו שיפוע הישר הניצב לו?

האם הישר דרך $A(0,1), B(2,5)$ מקביל לישר דרך $C(1,0), D(3,4)$ ?

טעות נפוצה: הופכים את היחס: $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ במקום $\frac{\Delta y}{\Delta x}$