מצב הדדי ונקודת חיתוך של ישרים

מבוא

מטרות השיעור

לקבוע את המצב ההדדי של שני ישרים: התלכדות, הקבלה או חיתוך בנקודה אחת
למצוא את נקודת החיתוך של שני ישרים על ידי פתרון מערכת משוואות
למצוא את נקודות החיתוך של ישר עם הצירים
להבין מתי למערכת אין פתרון (מקבילים) ומתי יש אינסוף פתרונות (מתלכדים)

הרעיון המרכזי

שלושה מצבים הדדיים

לשני ישרים במישור יש בדיוק אחד משלושה מצבים הדדיים, ואפשר לזהותם מהשיפועים וחיתוכי-y:

חיתוך בנקודה אחת: שיפועים שונים $(m_{1} \neq = m_{2})$ . למערכת המשוואות יש פתרון יחיד.
הקבלה: שיפועים שווים וחיתוכי-y שונים. אין נקודת חיתוך — למערכת אין פתרון.
התלכדות: שיפועים שווים וחיתוכי-y שווים (אותו ישר). אינסוף נקודות משותפות.

מציאת נקודת החיתוך — פתרון מערכת

נקודת החיתוך היא הנקודה (x,y) המקיימת את שתי המשוואות בו-זמנית. כששתי המשוואות נתונות בצורה מפורשת, משווים את אגפי y: $m_{1} x + b_{1} = m_{2} x + b_{2}$ פותרים עבור x, ואז מציבים חזרה באחת המשוואות כדי למצוא את y. בצורה סתומה נוח להשתמש בשיטת ההצבה או בשיטת החיבור (שמיטה).

חיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר x: על ציר x מתקיים y = 0. מציבים y = 0 ופותרים עבור x.
חיתוך עם ציר y: על ציר y מתקיים x = 0. מציבים x = 0 ומקבלים את y — בצורה y = mx + b זהו פשוט הערך החופשי b.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי המצב ההדדי

קבעו את המצב ההדדי של $y = 3x - 1$ ו- $y = -2x + 4$ .

m_{1} = 3 \neq = - 2 = m_{2} \Rightarrow חיתוך בנקודה אחת

שלב 1 — משווים שיפועים

השיפועים הם 3 ו-

-2

— שונים זה מזה.

דוגמה 2: מציאת נקודת החיתוך

מצאו את נקודת החיתוך של $y = 3x - 1$ ו- $y = -2x + 4$ .

3 x - 1 = - 2 x + 4 \Rightarrow x = 1, y = 2

שלב 1 — משווים את אגפי y

3x - 1 = -2x + 4

בדיקה מהירה

מהו המצב ההדדי בין הישרים $y = 2x + 1$ ו- $y = 2x - 3$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הישרים $y = 2x + 1$ ו- $y = -x + 7$ . כתבו כזוג סדור (x, y).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: חיתוך עם הצירים

מצאו את נקודות החיתוך של $y = -2x + 6$ עם הצירים.

y = 0 \Rightarrow x = 3; x = 0 \Rightarrow y = 6

שלב 1 — חיתוך עם ציר x

מציבים

y = 0: 0 = -2x + 6

, כלומר

2x = 6

ו-

x = 3

. הנקודה

(3, 0)

תשובה מספרית

מהו שיעור ה-x של נקודת החיתוך של הישר $y = 2x - 6$ עם ציר x?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מערכת בצורה סתומה (שיטת ההצבה)

מצאו את נקודת החיתוך של $2x + y = 5$ ו- $x - y = 1$ .

x = y + 1, 2 (y + 1) + y = 5 \Rightarrow y = 1, x = 2

שלב 1 — מבודדים משתנה

מהמשוואה השנייה:

x = y + 1

בדיקה מהירה

מהו המצב ההדדי בין הישרים $2x + 4y = 8$ ו- $x + 2y = 4$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים שלכל שני ישרים יש נקודת חיתוך

y = 2x + 1 ו-y = 2x - 3 מקבילים — אם תנסו לפתור תקבלו 1 = -3, סתירה שמעידה על אי-קיום פתרון.

למה זה קורה?

חושבים שכל שני ישרים תמיד נפגשים.

איך מתקנים?

ישרים מקבילים (שיפוע שווה, חיתוך שונה) לעולם אינם נפגשים; ישרים מתלכדים חולקים אינסוף נקודות. רק שיפועים שונים מבטיחים נקודת חיתוך יחידה.

טעות נפוצה: עוצרים אחרי מציאת x ושוכחים את y

אם מצאתם x = 2 עבור y = 3x - 1, חובה להציב: $y = 3 \cdot 2 - 1 = 5$ , והנקודה היא (2, 5).

למה זה קורה?

חושבים ש-x לבדו הוא 'נקודת החיתוך'.

איך מתקנים?

נקודת חיתוך היא זוג (x, y). אחרי שמצאתם את x, הציבו אותו חזרה באחת המשוואות כדי לקבל את y.

טעות נפוצה: מתבלבלים בין חיתוך עם ציר x לחיתוך עם ציר y

עבור y = -2x + 6: חיתוך עם ציר x ב-(3,0) (כי y=0), וחיתוך עם ציר y ב-(0,6) (כי x=0).

למה זה קורה?

לא זוכרים איזה משתנה מתאפס על כל ציר.

איך מתקנים?

על ציר x הגובה אפס, לכן

y = 0

. על ציר y המיקום האופקי אפס, לכן

x = 0

סיכום

מה למדנו?

מצב הדדי ונקודת חיתוך:

שלושה מצבים: חיתוך (שיפועים שונים), הקבלה (שיפוע שווה, חיתוך-y שונה), התלכדות (אותו שיפוע ואותו חיתוך-y).
נקודת חיתוך: פותרים מערכת — משווים את אגפי y או משתמשים בהצבה/חיבור — ותמיד מציבים חזרה למצוא את y.
חיתוך עם הצירים: ציר x ⟸ y=0; ציר y ⟸ x=0.

זכרו:

אם הפתרון מוביל לסתירה (כמו 1=-3) — הישרים מקבילים.
אם המשוואות זהות — הישרים מתלכדים.

בשיעור הבא נשתמש בנקודות ובמרחקים כדי לחשב היקפים ושטחים של מצולעים במערכת הצירים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי המצב ההדדי ועל מציאת נקודות חיתוך של ישרים ושל ישר עם הצירים!

מצב הדדי ונקודת חיתוך של ישרים

מצב הדדי ונקודת חיתוך של ישרים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי המצב ההדדי

קבעו את המצב ההדדי של y=3x−1y = 3x - 1y=3x−1 ו-y=−2x+4y = -2x + 4y=−2x+4.

דוגמה 2: מציאת נקודת החיתוך

מצאו את נקודת החיתוך של y=3x−1y = 3x - 1y=3x−1 ו-y=−2x+4y = -2x + 4y=−2x+4.

דוגמה 3: חיתוך עם הצירים

מצאו את נקודות החיתוך של y=−2x+6y = -2x + 6y=−2x+6 עם הצירים.

דוגמה 4: מערכת בצורה סתומה (שיטת ההצבה)

מצאו את נקודת החיתוך של 2x+y=52x + y = 52x+y=5 ו-x−y=1x - y = 1x−y=1.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים שלכל שני ישרים יש נקודת חיתוך

טעות נפוצה: עוצרים אחרי מציאת x ושוכחים את y

טעות נפוצה: מתבלבלים בין חיתוך עם ציר x לחיתוך עם ציר y

סיכום

תרגול נוסף

קבעו את המצב ההדדי של $y = 3x - 1$ ו- $y = -2x + 4$ .

מצאו את נקודת החיתוך של $y = 3x - 1$ ו- $y = -2x + 4$ .

מצאו את נקודות החיתוך של $y = -2x + 6$ עם הצירים.

מצאו את נקודת החיתוך של $2x + y = 5$ ו- $x - y = 1$ .