ישרים מקבילים ומאונכים

מבוא

מטרות השיעור

להבין שהשיפוע m מקודד את כיוון הישר, ולכן הוא הכלי לבדיקת מקביליות ואנכיות
לקבוע אם שני ישרים מקבילים לפי שוויון השיפועים (כשהם אינם מתלכדים)
לקבוע אם שני ישרים מאונכים לפי התנאי $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$
למצוא משוואת ישר המקביל לישר נתון ועובר דרך נקודה
למצוא משוואת ישר המאונך לישר נתון ועובר דרך נקודה

הרעיון המרכזי

שיפוע — היחס בין שינוי y לשינוי x

שיפוע של ישר העובר דרך שתי נקודות $(x_{1}, y_{1})$ ו- $(x_{2}, y_{2})$ הוא $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ והוא מודד את כיוון הישר: כמה עולה (או יורד) y עבור כל יחידה של x. בצורה המפורשת y = mx + b, השיפוע הוא המקדם m והמספר b הוא חיתוך הישר עם ציר y.

התנאי למקבילות

שני ישרים שאינם אנכיים הם מקבילים אם ורק אם יש להם אותו שיפוע: $m_{1} = m_{2}$ אם בנוסף גם חיתוכי-y שלהם שווים — הישרים מתלכדים (אותו ישר ממש). לכן: שיפוע שווה וחיתוך-y שונה ⟸ מקבילים; שיפוע שווה וחיתוך-y שווה ⟸ מתלכדים.

התנאי לאנכיות

שני ישרים שאינם מקבילים לצירים הם מאונכים (ניצבים) זה לזה אם ורק אם מכפלת שיפועיהם שווה למינוס אחת: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ שקול לכך לומר ש- $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}}$ — השיפוע המאונך הוא ההופכי והנגדי. למשל, אם שיפוע ישר אחד הוא $\frac{3}{4}$ , השיפוע המאונך לו הוא $- \frac{4}{3}$ .

בדיקה מהירה

נתון הישר $y = 2x + 1$ . מהו שיפועו של כל ישר המאונך לישר זה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

לזכור: בודדו את y לפני שמשווים שיפועים

כשהישר נתון בצורה סתומה כמו Ax + By + C = 0, אי אפשר לקרוא את השיפוע ישירות מהמקדם של x. תחילה מבודדים את y: $B y = - A x - C \Rightarrow y = - \frac{A}{B} x - \frac{C}{B}$ ואז השיפוע הוא $- \frac{A}{B}$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי מקבילות

האם הישרים $y = -2x + 1$ ו- $y = -2x + 9$ מקבילים?

m_{1} = m_{2} = - 2, b_{1} = 1 \neq = 9 = b_{2} \Rightarrow מקבילים

שלב 1 — קוראים את השיפועים

בשני הישרים השיפוע הוא

-2 (

המקדם של x בצורה המפורשת).

בדיקה מהירה

נתון הישר $y = 3x - 5$ . מהו שיפועו של כל ישר המקביל לישר זה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: זיהוי אנכיות מצורה סתומה

האם הישרים $x + 2y = 4$ ו- $y = 2x - 3$ מאונכים?

(- \frac{1}{2}) \cdot 2 = - 1 \Rightarrow מאונכים

שלב 1 — מבודדים y בישר הראשון

מ-

x + 2y = 4

נקבל

2y = -x + 4

, כלומר

y = -\frac{1}{2}x + 2

. השיפוע הוא

-\frac{1}{2}

בדיקה מהירה

מהו המצב ההדדי בין הישרים $2x - 3y = 6$ ו- $3x + 2y = 8$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: ישר מקביל דרך נקודה

מצאו את משוואת הישר המקביל ל- $y = 3x - 4$ ועובר דרך $(2, 1)$ .

y - 1 = 3 (x - 2) \Rightarrow y = 3 x - 5

שלב 1 — קובעים את השיפוע

מקביל ⟸ אותו שיפוע, לכן

m = 3

דוגמה 4: ישר מאונך דרך נקודה

מצאו את משוואת הישר המאונך ל- $y = \frac{1}{4}x + 2$ ועובר דרך $(1, 3)$ .

m_⊥= - 4, y - 3 = - 4 (x - 1) \Rightarrow y = - 4 x + 7

שלב 1 — השיפוע המאונך

השיפוע הנתון הוא

\frac{1}{4}

; ההופכי והנגדי הוא

-4 (

כי

\frac{1}{4} \cdot (-4) = -1)

בדיקה מהירה

תשובה קצרה

מצאו את משוואת הישר (בצורה מפורשת) המאונך לישר $y = \frac{1}{2}x - 4$ ועובר דרך הנקודה $(2, 5)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שאנכיות פירושה שיפוע הופכי בלבד

טעות: לישר עם שיפוע 2 מתאים שיפוע מאונך $\frac{1}{2}$ .

נכון: השיפוע המאונך הוא $- \frac{1}{2}$ , כי $2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1$ .

למה זה קורה?

זוכרים את ה'היפוך' ושוכחים את שינוי הסימן.

איך מתקנים?

התנאי הוא מכפלה ששווה ל-

-1

, כלומר השיפוע המאונך הוא ההופכי והנגדי: גם הופכים את השבר וגם משנים את הסימן.

טעות נפוצה: קוראים שיפוע מהמקדם של x בצורה סתומה

טעות: עבור 2x + 3y = 6 טוענים ששיפוע הוא 2.

נכון: $3 y = - 2 x + 6 \Rightarrow y = - \frac{2}{3} x + 2$ , ולכן השיפוע הוא $- \frac{2}{3}$ .

למה זה קורה?

מבלבלים בין הצורה הסתומה

Ax + By + C = 0

לצורה המפורשת.

איך מתקנים?

לפני השוואת שיפועים — בודדו את y. השיפוע בצורה הסתומה הוא

-\frac{A}{B}

, ולא A.

טעות נפוצה: מבלבלים בין מקבילים למתלכדים

y = 2x + 3 ו-4x - 2y + 6 = 0 נראים שונים, אך השני מצטמצם ל-y = 2x + 3 — אותו ישר.

למה זה קורה?

חושבים ששיפוע שווה מספיק כדי לקבוע מקבילות.

איך מתקנים?

שיפוע שווה הוא תנאי הכרחי, אך צריך לבדוק גם את חיתוך-y: אם הוא שווה — הישרים מתלכדים (אותו ישר), לא שני ישרים מקבילים.

סיכום

מה למדנו?

הקשר בין שיפועים:

השיפוע מקודד את כיוון הישר; בצורה y = mx + b הוא המקדם m.
מקבילים: $m_{1} = m_{2}$ (וחיתוכי-y שונים, אחרת מתלכדים).
מאונכים: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ — השיפוע המאונך הוא ההופכי והנגדי.
כדי למצוא ישר מקביל/מאונך דרך נקודה: קובעים את השיפוע המתאים ומציבים בנוסחה $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ .

זכרו:

בצורה סתומה — בודדו תחילה את y כדי לקרוא את השיפוע.
אנכיות = הופכי ונגדי, לא רק הופכי.

בשיעור הבא נלמד למצוא את נקודת החיתוך של שני ישרים ולקבוע את המצב ההדדי ביניהם.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי מקבילות ואנכיות ועל מציאת משוואות ישרים דרך נקודה!

ישרים מקבילים ומאונכים

ישרים מקבילים ומאונכים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי מקבילות

האם הישרים y=−2x+1y = -2x + 1y=−2x+1 ו-y=−2x+9y = -2x + 9y=−2x+9 מקבילים?

דוגמה 2: זיהוי אנכיות מצורה סתומה

האם הישרים x+2y=4x + 2y = 4x+2y=4 ו-y=2x−3y = 2x - 3y=2x−3 מאונכים?

דוגמה 3: ישר מקביל דרך נקודה

מצאו את משוואת הישר המקביל ל-y=3x−4y = 3x - 4y=3x−4 ועובר דרך (2,1)(2, 1)(2,1).

דוגמה 4: ישר מאונך דרך נקודה

מצאו את משוואת הישר המאונך ל-y=14x+2y = \frac{1}{4}x + 2y=41​x+2 ועובר דרך (1,3)(1, 3)(1,3).

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שאנכיות פירושה שיפוע הופכי בלבד

טעות נפוצה: קוראים שיפוע מהמקדם של x בצורה סתומה

טעות נפוצה: מבלבלים בין מקבילים למתלכדים

סיכום

תרגול נוסף

האם הישרים $y = -2x + 1$ ו- $y = -2x + 9$ מקבילים?

האם הישרים $x + 2y = 4$ ו- $y = 2x - 3$ מאונכים?

מצאו את משוואת הישר המקביל ל- $y = 3x - 4$ ועובר דרך $(2, 1)$ .

מצאו את משוואת הישר המאונך ל- $y = \frac{1}{4}x + 2$ ועובר דרך $(1, 3)$ .