היקף ושטח של מצולעים במערכת צירים

מבוא

מטרות השיעור

לחשב אורך קטע בין שתי נקודות בעזרת נוסחת המרחק
לחשב היקף של מצולע כסכום אורכי צלעותיו
לחשב שטח של משולש שצלע שלו מקבילה לאחד הצירים (בסיס וגובה)
לחשב שטח של ריבוע, מעוין ודלתון לפי מכפלת האלכסונים, ושל טרפז לפי נוסחת הטרפז
לחשב שטח של צורה מורכבת על ידי פירוק למלבנים ומשולשים

הרעיון המרכזי

נוסחת המרחק

המרחק בין שתי נקודות $A (x_{1}, y_{1})$ ו- $B (x_{2}, y_{2})$ הוא $A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ הנוסחה נובעת ישירות ממשפט פיתגורס: הפרש ה-x-ים והפרש ה-y-ים הם הניצבים, והקטע AB הוא היתר. ההיקף של מצולע הוא סכום אורכי כל צלעותיו.

נוסחאות השטח (כיתה י׳)

מלבן / מקבילית: שטח = בסיס × גובה (במלבן הגובה הוא הצלע הסמוכה).
משולש: שטח = $\frac{1}{2} \cdot$ בסיס $\cdot$ גובה. הגובה הוא המרחק המאונך מהקודקוד אל הבסיס.
ריבוע, מעוין, דלתון: שטח = $\frac{1}{2} \cdot d_{1} \cdot d_{2}$ (מחצית מכפלת האלכסונים).
טרפז: שטח = $\frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$ , כאשר a,b הם הבסיסים המקבילים ו-h הגובה ביניהם.

הטריק: צלע מקבילה לציר

כשבסיס המשולש מונח על ציר x (כלומר y=0), הגובה לבסיס הוא פשוט שיעור ה-y של הקודקוד השלישי (בערך מוחלט). באופן דומה, אם הבסיס מקביל לציר x ומונח על הישר y=c, הגובה הוא ההפרש האנכי בין שיעורי ה-y. זה הופך את חישוב השטח לקל — בלי למצוא משוואות גבהים.

צורות מורכבות — פירוק

שטח של מצולע מסובך מחשבים על ידי פירוק לצורות פשוטות שאת שטחן יודעים לחשב — מלבנים, משולשים וטרפזים — וחיבור (או חיסור) השטחים. בוחרים קווי חלוקה מקבילים לצירים כדי שהחישוב יהיה נקי.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אורך קטע

חשבו את אורך הקטע מ- $A(1, 2)$ ל- $B(4, 6)$ .

A B = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 5

שלב 1 — הפרשים

הפרש ה-

x: 4 - 1 = 3

. הפרש ה-

y: 6 - 2 = 4

דוגמה 2: שטח משולש שבסיסו על ציר x

חשבו את שטח המשולש $A(0,0), B(6,0), C(2,5)$ .

S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15

שלב 1 — בוחרים בסיס

AB מונח על ציר x, אורכו

|6 - 0| = 6

תשובה מספרית

במשולש ABC הקודקודים הם $A(0, 0), B(6, 0), C(2, 5)$ . הצלע AB מונחת על ציר x. חשבו את שטח המשולש.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: שטח מעוין לפי אלכסונים

חשבו את שטח המעוין $A(5,0), B(0,7), C(-5,0), D(0,-7)$ .

S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 14 = 70

שלב 1 — אלכסון AC

AC מונח על ציר x, אורכו

|5 - (-5)| = 10

תשובה מספרית

חשבו את אורך הקטע שקצותיו $A(1, 2)$ ו- $B(4, 6)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתון מעוין שקודקודיו $A(5, 0), B(0, 7), C(-5, 0), D(0, -7)$ . חשבו את שטח המעוין.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: היקף משולש ישר-זווית

חשבו את היקף המשולש $A(0,0), B(6,0), C(6,8)$ .

A C = 6^{2} + 8^{2} = 10, P = 6 + 8 + 10 = 24

שלב 1 — צלע AB

אופקית, אורכה

|6 - 0| = 6

דוגמה 5: שטח צורה מורכבת בפירוק

חשבו שטח של מצולע ישר-זווית בקודקודים $(0,0), (6,0), (6,2), (3,2), (3,5), (0,5)$ .

S = 6 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 12 + 9 = 21

שלב 1 — מחלקים

מעבירים את הישר

y = 2

ומקבלים שני מלבנים.

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתון טרפז שקודקודיו $A(0, 0), B(8, 0), C(6, 4), D(2, 4)$ . הבסיסים AB ו-DC מקבילים לציר x. חשבו את שטח הטרפז.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להעלות בריבוע בנוסחת המרחק

טעות: AB = (4-1) + (6-2) = 7.

נכון: $A B = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ .

למה זה קורה?

מחשבים את ההפרשים אך לא מעלים אותם בריבוע.

איך מתקנים?

המרחק הוא שורש של סכום הריבועים:

√[(

הפרש

x)^{2} + (

הפרש

y)^{2}]

, לא (הפרש

x) + (

הפרש y).

טעות נפוצה: לוקחים צלע נטויה כגובה המשולש

במשולש A(0,0), B(6,0), C(2,5) הגובה לבסיס AB הוא 5 (שיעור ה-y של C), ולא אורך הצלע AC.

למה זה קורה?

מבלבלים בין אורך צלע לבין גובה.

איך מתקנים?

הגובה הוא המרחק ה-מאונך מהקודקוד אל הבסיס. כשהבסיס על ציר x, הגובה הוא שיעור ה-y של הקודקוד — לא אורך הצלע הנטויה.

טעות נפוצה: מבלבלים בין היקף לשטח

מלבן בצלעות 4 ו-3: היקף = 2(4+3) = 14, אבל שטח $= 4 \cdot 3 = 12$ .

למה זה קורה?

לא שמים לב מה בדיוק מבקשים בשאלה.

איך מתקנים?

היקף = סכום אורכי הצלעות (יחידות אורך). שטח = כמות השטח שהצורה תופסת (יחידות רבועות). במלבן

4 \times 3

ההיקף 14 והשטח 12 — אלה גדלים שונים.

סיכום

מה למדנו?

היקף ושטח במערכת הצירים:

מרחק: $A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ (פיתגורס); היקף = סכום הצלעות.
משולש: $\frac{1}{2} \cdot$ בסיס $\cdot$ גובה — נוח לבחור בסיס המקביל לציר, ואז הגובה הוא הפרש שיעורי y (או x).
מעוין/ריבוע/דלתון: $\frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ ; טרפז: $\frac{1}{2} (a + b) h$ .
צורה מורכבת: מפרקים למלבנים, משולשים וטרפזים — ומחברים שטחים.

זכרו:

אל תשכחו את ההעלאה בריבוע בנוסחת המרחק.
הגובה הוא תמיד מאונך לבסיס — לא צלע נטויה.

בשיעור הבא נשלב את כל הכלים בבעיות בגרות מורכבות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב מרחקים, היקפים ושטחים של מצולעים במערכת הצירים!

היקף ושטח של מצולעים במערכת צירים

היקף ושטח של מצולעים במערכת צירים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אורך קטע

חשבו את אורך הקטע מ-A(1,2)A(1, 2)A(1,2) ל-B(4,6)B(4, 6)B(4,6).

דוגמה 2: שטח משולש שבסיסו על ציר x

חשבו את שטח המשולש A(0,0),B(6,0),C(2,5)A(0,0), B(6,0), C(2,5)A(0,0),B(6,0),C(2,5).

דוגמה 3: שטח מעוין לפי אלכסונים

חשבו את שטח המעוין A(5,0),B(0,7),C(−5,0),D(0,−7)A(5,0), B(0,7), C(-5,0), D(0,-7)A(5,0),B(0,7),C(−5,0),D(0,−7).

דוגמה 4: היקף משולש ישר-זווית

חשבו את היקף המשולש A(0,0),B(6,0),C(6,8)A(0,0), B(6,0), C(6,8)A(0,0),B(6,0),C(6,8).

דוגמה 5: שטח צורה מורכבת בפירוק

חשבו שטח של מצולע ישר-זווית בקודקודים (0,0),(6,0),(6,2),(3,2),(3,5),(0,5)(0,0), (6,0), (6,2), (3,2), (3,5), (0,5)(0,0),(6,0),(6,2),(3,2),(3,5),(0,5).

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להעלות בריבוע בנוסחת המרחק

טעות נפוצה: לוקחים צלע נטויה כגובה המשולש

טעות נפוצה: מבלבלים בין היקף לשטח

סיכום

תרגול נוסף

חשבו את אורך הקטע מ- $A(1, 2)$ ל- $B(4, 6)$ .

חשבו את שטח המשולש $A(0,0), B(6,0), C(2,5)$ .

חשבו את שטח המעוין $A(5,0), B(0,7), C(-5,0), D(0,-7)$ .

חשבו את היקף המשולש $A(0,0), B(6,0), C(6,8)$ .

חשבו שטח של מצולע ישר-זווית בקודקודים $(0,0), (6,0), (6,2), (3,2), (3,5), (0,5)$ .