ניסוח פונקציית המטרה

מבוא

מטרות השיעור

להבין מהי פונקציית המטרה ובמה היא נבדלת מאילוץ
לנסח פונקציית מטרה f(x,y) = ax + by מתוך סיטואציה מילולית
לקבוע אם הדרישה היא מקסימום (רווח, הכנסה) או מינימום (עלות)
לחשב את ערך פונקציית המטרה בנקודה נתונה
להבין את המשמעות הכלכלית של ערך פונקציית המטרה

הרעיון המרכזי

מהי פונקציית המטרה?

לאחר שבנינו את מערכת האילוצים, עלינו לציין מה בדיוק רוצים לייעל. פונקציית המטרה היא הביטוי שאותו רוצים למקסם או למזער. בבעיות שלנו היא ליניארית בשני משתנים:

f(x,y) = ax + by

a = התרומה (רווח, הכנסה או עלות) של יחידה אחת מהמוצר הראשון.
b = התרומה של יחידה אחת מהמוצר השני.

הבדל קריטי מאילוץ: פונקציית המטרה היא ביטוי, ללא סימן אי-שוויון. אילוץ מגביל ( $\leq$ או $\geq$ ); פונקציית המטרה היא מה שמשווים בין נקודות שונות בתחום.

מקסימום או מינימום?

את כיוון הייעול קובעים לפי לשון הבעיה:

הבעיה מבקשת	סוג הייעול
רווח, הכנסה, תפוקה — "גדול ביותר"	מקסימום
עלות, הוצאה, זמן, כמות חומר — "קטן ביותר"	מינימום

לדוגמה: "כדי שהרווח היומי יהיה מקסימלי" → ממקסמים. "כדי שעלות החומרים תהיה מינימלית" → ממזערים.

חישוב הערך בנקודה

ערך פונקציית המטרה בנקודה $(x_{0}, y_{0})$ מתקבל בהצבה ישירה:

f (x_{0}, y_{0}) = a x_{0} + b y_{0}

שימו לב להציב כל ערך במקום הנכון — המקדם a כפול $x_{0}$ , והמקדם b כפול $y_{0}$ . ערך זה הוא הרווח (או העלות) שמתקבל בדיוק בכמות הייצור שהנקודה מתארת.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: פונקציית רווח (נגרייה)

הרווח לכל שולחן כתיבה הוא 50 ₪ ולכל שולחן אוכל 40 ₪. נסמן $x =$ שולחנות כתיבה $, y =$ שולחנות אוכל. נסחו את פונקציית המטרה וקבעו אם מבקשים מקסימום או מינימום.

f (x, y) = 50 x + 40 y (למקסם)

שלב 1 — תרומת כל מוצר

כל שולחן כתיבה מוסיף 50 ₪, ולכן x שולחנות מוסיפים 50x. כל שולחן אוכל מוסיף 40 ₪, ולכן y שולחנות מוסיפים 40y.

דוגמה 2: חישוב הרווח בנקודה

עבור פונקציית הרווח $f(x,y)=50x+40y$ של הנגרייה, חשבו את הרווח בנקודה $(20, 10)$ ובנקודה $(30, 20)$ . באיזו נקודה הרווח גדול יותר?

f (20, 10) = 1400, f (30, 20) = 2300

כל נקודה מתארת תוכנית ייצור, וערך פונקציית המטרה הוא הרווח של אותה תוכנית.

שלב 1 — מציבים את $(20, 10)$

f(20,10) = 50 \cdot 20 + 40 \cdot 10 = 1000 + 400 = 1400 ₪

דוגמה 3: פונקציית הכנסה (העסקת עובדים)

ההכנסה החודשית מכל בעל תואר היא 7,000 ₪ ומכל חסר תואר 5,500 ₪. נסמן $x =$ בעלי תואר $, y =$ חסרי תואר. נסחו את פונקציית המטרה וחשבו את ההכנסה בנקודה $(10, 20)$ .

f (x, y) = 7000 x + 5500 y, f (10, 20) = 70000 + 110000 = 180000

המשמעות: העסקת 10 בעלי תואר ו-20 חסרי תואר מניבה הכנסה חודשית של 180,000 ₪.

שלב 1 — פונקציית ההכנסה

f(x,y) = 7000x + 5500y

. מבקשים הכנסה מקסימלית → בעיית מקסימום.

דוגמה 4: פונקציית עלות — מינימום (דיאטה)

מחיר יחידת מזון מסוג א' הוא 8 ₪ ומסוג ב' הוא 5 ₪. נסמן $x =$ יחידות א $', y =$ יחידות ב'. נסחו את פונקציית המטרה, קבעו את כיוון הייעול, וחשבו את העלות בנקודה $(6, 10)$ .

f (x, y) = 8 x + 5 y (למזער), f (6, 10) = 48 + 50 = 98

כאן הביטוי הליניארי זהה במבנהו לפונקציית רווח, אבל כיוון הייעול הפוך — מינימום במקום מקסימום.

שלב 1 — פונקציית העלות

f(x,y) = 8x + 5y

בדיקה מהירה

בנגרייה הרווח לכל שולחן כתיבה הוא 50 ₪ ולכל שולחן אוכל 40 ₪. נסמן $x =$ שולחנות כתיבה $, y =$ שולחנות אוכל. מהי פונקציית המטרה (פונקציית הרווח)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

פונקציית ההכנסה היא $f(x,y)=7000x+5500y ($ בשקלים). חשבו את ההכנסה החודשית בנקודה $(10, 20)$ , כלומר העסקת 10 בעלי תואר ו-20 חסרי תואר.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מפעל שוקולד מרוויח 10 ₪ לכל ק"ג שוקולד חלב ו-12 ₪ לכל ק"ג שוקולד מריר, ורוצה רווח יומי מקסימלי. נסמן $x =$ ק"ג חלב $, y =$ ק"ג מריר. מהי פונקציית המטרה ומה כיוון הייעול?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כותבים את פונקציית המטרה עם סימן אי-שוויון

טעות: $50 x + 40 y \leq ?$ כפונקציית מטרה.

נכון: f(x,y) = 50x + 40y — ביטוי שאותו ממקסמים.

למה זה קורה?

בלבול בין פונקציית המטרה לבין אילוץ.

איך מתקנים?

פונקציית המטרה היא ביטוי

f(x,y)=ax+by

— ללא ≤ או ≥. רק האילוצים מכילים סימני אי-שוויון.

טעות נפוצה: ממקסמים כשצריך למזער (או להפך)

בבעיית דיאטה שבה רוצים להוזיל את העלות, מבקשים מינימום של f(x,y)=8x+5y, לא מקסימום.

למה זה קורה?

לא קוראים אם הבעיה מבקשת רווח/הכנסה או עלות.

איך מתקנים?

רווח/הכנסה/תפוקה → מקסימום. עלות/הוצאה/זמן/חומר → מינימום.

טעות נפוצה: משתמשים בערך ליחידה במקום במכפלה בכמות

טעות: f = 50 + 40 = 90.

נכון: f(x,y) = 50x + 40y.

למה זה קורה?

התלמיד כותב את הרווח ליחידה ושוכח להכפיל במספר היחידות x ו-y.

איך מתקנים?

המקדם הוא הרווח ליחידה; הוא תמיד מוכפל במשתנה הכמות:

f=50x+40y

, ולא

f=50+40

טעות נפוצה: מחליפים בין המקדמים בחישוב הערך בנקודה

בנקודה (10, 20) עבור f=7000x+5500y: $7000 \cdot 10 + 5500 \cdot 20 = 180000$ — ולא $7000 \cdot 20 + 5500 \cdot 10$ .

למה זה קורה?

מציבים את x במקום שמיועד ל-y, או הפוך.

איך מתקנים?

הקפידו: a כפול

x_{0}, b

כפול

y_{0}

. בדקו שכל ערך מוצב במקום הנכון לפי הגדרת המשתנים.

סיכום

מה למדנו?

ניסוח פונקציית המטרה — השלב השני:

פונקציית המטרה היא ביטוי f(x,y)=ax+by (ללא סימן אי-שוויון).
המקדם של כל משתנה הוא התרומה (רווח/הכנסה/עלות) של יחידה אחת, מוכפל בכמות.
רווח/הכנסה → מקסימום; עלות → מינימום.
חישוב הערך בנקודה: הצבה ישירה $f (x_{0}, y_{0}) = a x_{0} + b y_{0}$ — כל ערך במקומו.

בשיעור הבא נשרטט את התחום האפשרי ונראה היכן מחפשים את הנקודה האופטימלית.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על ניסוח פונקציית המטרה וחישוב ערכה בנקודות!

ניסוח פונקציית המטרה

ניסוח פונקציית המטרה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: פונקציית רווח (נגרייה)

הרווח לכל שולחן כתיבה הוא 50 ₪ ולכל שולחן אוכל 40 ₪. נסמן x=x =x= שולחנות כתיבה,y=, y =,y= שולחנות אוכל. נסחו את פונקציית המטרה וקבעו אם מבקשים מקסימום או מינימום.

דוגמה 2: חישוב הרווח בנקודה

עבור פונקציית הרווח f(x,y)=50x+40yf(x,y)=50x+40yf(x,y)=50x+40y של הנגרייה, חשבו את הרווח בנקודה (20,10)(20, 10)(20,10) ובנקודה (30,20)(30, 20)(30,20). באיזו נקודה הרווח גדול יותר?

דוגמה 3: פונקציית הכנסה (העסקת עובדים)

ההכנסה החודשית מכל בעל תואר היא 7,000 ₪ ומכל חסר תואר 5,500 ₪. נסמן x=x =x= בעלי תואר,y=, y =,y= חסרי תואר. נסחו את פונקציית המטרה וחשבו את ההכנסה בנקודה (10,20)(10, 20)(10,20).

דוגמה 4: פונקציית עלות — מינימום (דיאטה)

מחיר יחידת מזון מסוג א' הוא 8 ₪ ומסוג ב' הוא 5 ₪. נסמן x=x =x= יחידות א′,y=', y =′,y= יחידות ב'. נסחו את פונקציית המטרה, קבעו את כיוון הייעול, וחשבו את העלות בנקודה (6,10)(6, 10)(6,10).

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כותבים את פונקציית המטרה עם סימן אי-שוויון

טעות נפוצה: ממקסמים כשצריך למזער (או להפך)

טעות נפוצה: משתמשים בערך ליחידה במקום במכפלה בכמות

טעות נפוצה: מחליפים בין המקדמים בחישוב הערך בנקודה

סיכום

תרגול נוסף

הרווח לכל שולחן כתיבה הוא 50 ₪ ולכל שולחן אוכל 40 ₪. נסמן $x =$ שולחנות כתיבה $, y =$ שולחנות אוכל. נסחו את פונקציית המטרה וקבעו אם מבקשים מקסימום או מינימום.

עבור פונקציית הרווח $f(x,y)=50x+40y$ של הנגרייה, חשבו את הרווח בנקודה $(20, 10)$ ובנקודה $(30, 20)$ . באיזו נקודה הרווח גדול יותר?

ההכנסה החודשית מכל בעל תואר היא 7,000 ₪ ומכל חסר תואר 5,500 ₪. נסמן $x =$ בעלי תואר $, y =$ חסרי תואר. נסחו את פונקציית המטרה וחשבו את ההכנסה בנקודה $(10, 20)$ .

מחיר יחידת מזון מסוג א' הוא 8 ₪ ומסוג ב' הוא 5 ₪. נסמן $x =$ יחידות א $', y =$ יחידות ב'. נסחו את פונקציית המטרה, קבעו את כיוון הייעול, וחשבו את העלות בנקודה $(6, 10)$ .