הגדרת משתנים ובניית אילוצים מבעיה מילולית

מבוא

מטרות השיעור

להבין מהי בעיית תכנון ליניארי ומה השלבים לפתרונה
לבחור משתני החלטה מתאימים מתוך סיטואציה כלכלית מילולית
לתרגם תנאי מילולי ('לכל היותר', 'לפחות', תקציב, מגבלת משאב) לאי-שוויון ליניארי
לזכור תמיד את אילוצי האי-שליליות $x \geq 0, y \geq 0$
לכתוב את מערכת האילוצים השלמה של הבעיה

הרעיון המרכזי

מהו תכנון ליניארי?

תכנון ליניארי הוא ענף במתמטיקה שימושית שמטרתו למצוא פתרון אופטימלי (הרווח הגבוה ביותר, העלות הנמוכה ביותר וכדומה) לבעיה שבה יש מגבלות — תקציב, כמות חומר גלם, זמן עבודה של מכונה, מספר עובדים.

בבעיות שלנו יש בדיוק שני משתנים, ולכן אפשר לפתור אותן בשיטה גרפית. פתרון בעיה כזו מתבצע בשלושה שלבים:

הגדרת משתנים ובניית אילוצים — השלב של שיעור זה.
ניסוח פונקציית המטרה — הביטוי שרוצים למקסם או למזער.
שרטוט התחום האפשרי ומציאת הפתרון האופטימלי בקודקודיו.

משתני החלטה

משתנה החלטה הוא כמות שאנו שולטים בה ושערכה הוא מה שאנחנו מחפשים. בבעיית ייצור, המשתנים הם בדרך כלל כמות מכל מוצר. תמיד נגדיר אותם במפורש, למשל:

x = מספר שולחנות הכתיבה המיוצרים ביום, $y =$ מספר שולחנות האוכל המיוצרים ביום.

הגדרה מילולית מדויקת (כולל יחידות וכולל "ביום") היא חלק מהפתרון — היא קובעת את משמעות כל אי-שוויון שנכתוב.

מילון התרגום: ממילים לאי-שוויון

ניסוח מילולי	סימן
"לכל היותר", "לא יותר מ-", "מקסימום"	$\leq$
"לפחות", "לא פחות מ-", "מינימום"	$\geq$
"בדיוק", "שווה ל-"	=

ובנוסף — תמיד מוסיפים את אילוצי האי-שליליות $x \geq 0, y \geq 0$ , כי מספר פריטים, עובדים או קילוגרמים אינו יכול להיות שלילי.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מגבלת כמות כוללת (נגרייה)

בנגרייה מייצרים שולחנות כתיבה ושולחנות אוכל. ביום אחד אפשר לייצר לכל היותר 50 שולחנות בסך הכול. כתבו את האילוצים.

x + y \leq 50, x \geq 0, y \geq 0

שלב 1 — מגדירים משתנים

x =

מספר שולחנות הכתיבה ביום

, y =

מספר שולחנות האוכל ביום.

דוגמה 2: מגבלת תקציב (העסקת עובדים)

מפעל מעסיק בעלי תואר אקדמי (משכורת 20,000 ₪) וחסרי תואר (משכורת 14,000 ₪). תקציב המשכורות הוא לכל היותר 480,000 ₪, ואפשר להעסיק לכל היותר 30 עובדים. כתבו את האילוצים.

x + y \leq 30, 20000 x + 14000 y \leq 480000 ⟹ 10 x + 7 y \leq 240

x \geq 0, y \geq 0

חלוקה במספר חיובי אינה משנה את כיוון אי-השוויון — לכן הסימן $\leq$ נשמר.

שלב 1 — משתנים

x =

מספר בעלי התואר

, y =

מספר חסרי התואר.

דוגמה 3: מגבלת זמן והמרת יחידות (מפעל שוקולד)

מכונה מייצרת תערובת ל-1 ק״ג שוקולד חלב ב-15 דקות ול-1 ק״ג שוקולד מריר ב-30 דקות. המכונה עובדת לכל היותר שעתיים ביום. כתבו את האילוץ של מכונה זו.

15 x + 30 y \leq 120 ⟹ x + 2 y \leq 8, x \geq 0, y \geq 0

הטעות הנפוצה כאן היא לכתוב $15 x + 30 y \leq 2$ — ערבוב של דקות עם שעות.

שלב 1 — משתנים

x =

ק״ג שוקולד חלב ביום

, y =

ק״ג שוקולד מריר ביום.

דוגמה 4: דרישת מינימום (דיאטה רפואית)

מטופל אוכל יחידות מזון מסוג א $' (50$ גרם פחמימות ליחידה) ומסוג ב $' (40$ גרם פחמימות ליחידה). הרופא דורש לפחות 800 גרם פחמימות ביום. כתבו את האילוץ.

50 x + 40 y \geq 800 ⟹ 5 x + 4 y \geq 80, x \geq 0, y \geq 0

שימו לב: כאן מדובר בדרישת מינימום, ולכן כיוון אי-השוויון הוא $\geq$ .

שלב 1 — משתנים

x =

יחידות מזון מסוג א

', y =

יחידות מזון מסוג ב'.

בדיקה מהירה

בנגרייה מסמנים: $x =$ מספר שולחנות הכתיבה ו- $y =$ מספר שולחנות האוכל המיוצרים ביום. ידוע שאפשר לייצר לכל היותר 50 שולחנות בסך הכול. איזה אי-שוויון מתאר את האילוץ הזה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מפעל מעסיק x בעלי תואר ו-y חסרי תואר, ויכול להעסיק לכל היותר 30 עובדים יחד. בנוסף לאי-שוויון $x + y \le 30$ , אילו אילוצים חובה להוסיף תמיד בבעיה כלכלית כזו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

משכורת בעל תואר היא 20,000 ₪ ומשכורת חסר תואר היא 14,000 ₪. תקציב המשכורות החודשי הוא לכל היותר 480,000 ₪. נסמן $x =$ בעלי תואר $, y =$ חסרי תואר. מהו אי-שוויון התקציב לאחר פישוט?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כותבים = במקום ≤ או ≥

טעות: "אפשר לייצר לכל היותר 50 שולחנות" → x + y = 50.

נכון: $x + y \leq 50$ — אפשר לייצר גם 30 או 45 שולחנות.

למה זה קורה?

התלמיד רואה מספר בבעיה (למשל 50 שולחנות) ומניח שזו כמות מדויקת, בעוד שמדובר במגבלה.

איך מתקנים?

חפשו את מילות המפתח: 'לכל היותר' → ≤, 'לפחות' → ≥. רק 'בדיוק' מצדיק =.

טעות נפוצה: שוכחים את אילוצי האי-שליליות

מספר עובדים, פריטים או ק״ג אינו יכול להיות שלילי, ולכן $x \geq 0$ ו- $y \geq 0$ הם חלק בלתי-נפרד מהמערכת.

למה זה קורה?

הם לא כתובים במפורש בבעיה המילולית, ולכן קל לפספס אותם.

איך מתקנים?

כמעט בכל בעיה כלכלית המשתנים מתארים כמויות פיזיות. הוסיפו תמיד

x \ge 0

ו-

y \ge 0

טעות נפוצה: מהפכים את כיוון אי-השוויון

טעות: "לפחות 800 גרם פחמימות" → $50 x + 40 y \leq 800$ .

נכון: $50 x + 40 y \geq 800$ .

למה זה קורה?

בלבול בין 'לכל היותר' (מגבלה עליונה) ל'לפחות' (מגבלה תחתונה).

איך מתקנים?

'לכל היותר 30 עובדים' = לא יותר מ-

30 = \le 30. '

לפחות 800 גרם' = לא פחות מ-

800 = \ge 800

טעות נפוצה: לא ממירים יחידות לפני כתיבת האילוץ

טעות: $15 x + 30 y \leq 2$ (דקות מול שעות).

נכון: $15 x + 30 y \leq 120$ .

למה זה קורה?

הזמן הזמין נתון בשעות, אבל זמן הייצור ליחידה נתון בדקות.

איך מתקנים?

המירו הכול לאותה יחידה לפני כתיבת אי-השוויון. שעתיים

= 120

דקות, 3 שעות

= 180

דקות.

סיכום

מה למדנו?

בניית המודל — השלב הראשון:

מגדירים משתני החלטה במפורש, כולל יחידות (לרוב כמות מכל מוצר).
כל מגבלה בבעיה הופכת לאי-שוויון ליניארי: 'לכל היותר' → $\leq$ , 'לפחות' → $\geq$ .
ממירים יחידות ומפשטים (חלוקה במספר חיובי שומרת על כיוון אי-השוויון).
תמיד מוסיפים את אילוצי האי-שליליות $x \geq 0, y \geq 0$ .

התוצר הוא מערכת האילוצים — אוסף כל אי-השוויונות שהפתרון חייב לקיים.

בשיעור הבא ננסח את פונקציית המטרה — הביטוי שאותו נרצה למקסם או למזער.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הגדרת משתנים ובניית מערכת אילוצים מבעיות מילוליות!

הגדרת משתנים ובניית אילוצים מבעיה מילולית

הגדרת משתנים ובניית אילוצים מבעיה מילולית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מגבלת כמות כוללת (נגרייה)

בנגרייה מייצרים שולחנות כתיבה ושולחנות אוכל. ביום אחד אפשר לייצר לכל היותר 50 שולחנות בסך הכול. כתבו את האילוצים.

דוגמה 2: מגבלת תקציב (העסקת עובדים)

מפעל מעסיק בעלי תואר אקדמי (משכורת 20,000 ₪) וחסרי תואר (משכורת 14,000 ₪). תקציב המשכורות הוא לכל היותר 480,000 ₪, ואפשר להעסיק לכל היותר 30 עובדים. כתבו את האילוצים.

דוגמה 3: מגבלת זמן והמרת יחידות (מפעל שוקולד)

מכונה מייצרת תערובת ל-1 ק״ג שוקולד חלב ב-15 דקות ול-1 ק״ג שוקולד מריר ב-30 דקות. המכונה עובדת לכל היותר שעתיים ביום. כתבו את האילוץ של מכונה זו.

דוגמה 4: דרישת מינימום (דיאטה רפואית)

מטופל אוכל יחידות מזון מסוג א′(50' (50′(50 גרם פחמימות ליחידה) ומסוג ב′(40' (40′(40 גרם פחמימות ליחידה). הרופא דורש לפחות 800 גרם פחמימות ביום. כתבו את האילוץ.

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כותבים = במקום ≤ או ≥

טעות נפוצה: שוכחים את אילוצי האי-שליליות

טעות נפוצה: מהפכים את כיוון אי-השוויון

טעות נפוצה: לא ממירים יחידות לפני כתיבת האילוץ

סיכום

תרגול נוסף

מטופל אוכל יחידות מזון מסוג א $' (50$ גרם פחמימות ליחידה) ומסוג ב $' (40$ גרם פחמימות ליחידה). הרופא דורש לפחות 800 גרם פחמימות ביום. כתבו את האילוץ.