בעיות תכנון ליניארי יישומיות

מבוא

מטרות השיעור

לפתור בעיית תכנון ליניארי שלמה, מהניסוח המילולי ועד התשובה
להגדיר משתנים ולתרגם נכון 'לכל היותר' ( $\leq$ ) ו'לפחות' ( $\geq$ )
לזכור תמיד את אילוצי האי-שליליות $x \geq 0, y \geq 0$
לפרש את הקיצון בהקשר הכלכלי — לענות בדיוק על השאלה שנשאלה

הרעיון המרכזי

שלבי הפתרון של בעיה יישומית

הגדרת משתנים — בוחרים x ו-y ומציינים בבירור מה כל אחד מייצג.
מערכת אילוצים — מתרגמים כל תנאי לאי-שוויון, כולל $x \geq 0, y \geq 0$ .
פונקציית מטרה — רושמים f(x,y)=ax+by וקובעים אם מבקשים מקסימום (רווח) או מינימום (עלות).
קודקודים — מוצאים את קודקודי התחום בפתרון מערכות משוואות.
הצבה ובחירה — מציבים כל קודקוד ב-f ובוחרים את הקיצון הנדרש.
פירוש — עונים על השאלה: כמה לייצר/להעסיק, ומהי המשמעות הכלכלית.

תרגום מילולי לאי-שוויון

"לכל היותר", "לא יותר מ-", "מקסימום של" — אי-שוויון $\leq$ .
"לפחות", "לא פחות מ-", "מינימום של" — אי-שוויון $\geq$ .
כמויות פיזיות (מספר מוצרים, עובדים, ק״ג) — תמיד $x \geq 0, y \geq 0$ .

לענות על השאלה שנשאלה

לאחר מציאת הקיצון, שימו לב מה בדיוק מבקשים:

"כמה לייצר מכל סוג?" — התשובה היא הנקודה (x,y).
"מהו הרווח/העלות?" — התשובה היא הערך f(x,y).
"האם משתלם / מה המשמעות?" — דרושה מסקנה מילולית בהקשר הסיטואציה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: תרגום תנאים למערכת אילוצים

נגרייה: לכל היותר 50 שולחנות ביום, ולפחות 10 שולחנות אוכל. הגדירו משתנים ורשמו אילוצים.

x + y \leq 50, y \geq 10, x \geq 0, y \geq 0

שלב 1 — משתנים

x =

מספר שולחנות הכתיבה

, y =

מספר שולחנות האוכל.

תשובה מספרית

מפעל מייצר x כיסאות עם משענת (רווח 40 ₪ לכיסא) ו-y כיסאות ללא משענת (רווח 25 ₪ לכיסא). הרווח היומי הוא $P=40x+25y$ . מהו הרווח (ב-₪) כאשר מייצרים 10 כיסאות עם משענת ו-20 כיסאות ללא משענת?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: בעיית רווח שלמה — מפעל רהיטים

כיסא עם משענת: רווח 40 ₪, 2 שעות נגרות, שעת גימור. כיסא ללא משענת: רווח 25 ₪, שעת נגרות, שעת גימור. נגרות $\le 40$ שעות, גימור $\le 24$ שעות. מהו הרווח המקסימלי?

P (16, 8) = 40 \cdot 16 + 25 \cdot 8 = 640 + 200 = 840

שלב 1 — משתנים ואילוצים

x =

כיסאות עם משענת

, y =

בלי. נגרות:

2x+y \le 40

. גימור:

x+y \le 24

. וכן

x \ge 0, y \ge 0

תשובה מספרית

מפעל רהיטים מייצר x כיסאות עם משענת (רווח 40 ₪) ו-y כיסאות ללא משענת (רווח 25 ₪). כל כיסא עם משענת דורש 2 שעות נגרות וכל כיסא ללא משענת דורש שעה אחת; סך שעות הנגרות ליום הוא לכל היותר 40 (כלומר $2x+y \le 40)$ . כל כיסא דורש שעת גימור אחת, וסך שעות הגימור ליום לכל היותר 24 (כלומר $x+y \le 24)$ . בנוסף $x \ge 0, y \ge 0$ . מהו הרווח היומי המקסימלי (ב-₪)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: בעיית הכנסה — העסקת עובדים

בעל תואר: הכנסה 7,000 ₪. ללא תואר: 5,500 ₪. לכל היותר 30 עובדים $(x+y \le 30)$ ותקציב הנותן $10x+7y \le 240$ . מהי ההכנסה המקסימלית?

I (10, 20) = 7000 \cdot 10 + 5500 \cdot 20 = 70, 000 + 110, 000 = 180, 000

שלב 1 — אילוצים

x =

בעלי תואר

, y =

ללא תואר

. x+y \le 30; 10x+7y \le 240; x \ge 0, y \ge 0

תשובה מספרית

מפעל מעסיק x בעלי תואר אקדמי (הכנסה חודשית 7,000 ₪ מכל אחד) ו-y עובדים ללא תואר (הכנסה 5,500 ₪ מכל אחד). אפשר להעסיק לכל היותר 30 עובדים יחד $(x+y \le 30)$ , ותקציב המשכורות מאפשר את האילוץ $10x+7y \le 240$ . בנוסף $x \ge 0, y \ge 0$ . מהי ההכנסה החודשית המקסימלית הכוללת (ב-₪)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: בעיה עם אילוץ 'לפחות' — מאפייה

לחם לבן: רווח 6 ₪. לחם מלא: רווח 5 ₪. קמח: $5x+4y \le 2000$ . תנור: $x+y \le 450$ . הזמנה: לפחות 100 כיכרות לחם מלא $(y \ge 100)$ . מהו הרווח המקסימלי?

P (200, 250) = 6 \cdot 200 + 5 \cdot 250 = 1200 + 1250 = 2450

שלב 1 — אילוצים

x =

לחם לבן

, y =

לחם מלא

. 5x+4y \le 2000; x+y \le 450; y \ge 100; x \ge 0

תשובה מספרית

מאפייה מייצרת x כיכרות לחם לבן (רווח 6 ₪ לכיכר) ו-y כיכרות לחם מלא (רווח 5 ₪ לכיכר). מלאי הקמח מגביל ל- $5x+4y \le 2000$ , תנור האפייה מגביל ל- $x+y \le 450$ , ויש הזמנה של לפחות 100 כיכרות לחם מלא $(y \ge 100)$ . בנוסף $x \ge 0$ . מהו הרווח היומי המקסימלי (ב-₪)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הופכים את כיוון אי-השוויון

טעות: 'לכל היותר 50 שולחנות' נרשם כ- $x + y \geq 50$ .

נכון: $x + y \leq 50$ .

למה זה קורה?

מתרגמים 'לכל היותר' ל-≥ או 'לפחות' ל-≤.

איך מתקנים?

'לכל היותר' = ≤ (גבול עליון); 'לפחות' = ≥ (גבול תחתון). קראו שוב את התנאי לפני הרישום.

טעות נפוצה: שוכחים את אילוצי האי-שליליות

מספר כיסאות או עובדים אינו יכול להיות שלילי: $x \geq 0, y \geq 0$ הם חלק מהמערכת.

למה זה קורה?

מתמקדים באילוצי המשאבים ושוכחים שכמויות אינן שליליות.

איך מתקנים?

הוסיפו תמיד

x \ge 0, y \ge 0

. בלעדיהם התחום והקודקודים יוצאים שגויים.

טעות נפוצה: עונים בערך במקום בנקודה (או להפך)

במאפייה: לשאלת 'כמה כיכרות' עונים (200,250); לשאלת 'מהו הרווח' עונים 2450 ₪.

למה זה קורה?

לא קוראים מדויק מה השאלה מבקשת.

איך מתקנים?

'כמה לייצר' ⟸ הנקודה (x, y). 'מהו הרווח' ⟸ הערך f(x, y). 'האם משתלם' ⟸ מסקנה מילולית.

סיכום

מה למדנו?

פתרון בעיית תכנון ליניארי יישומית:

מגדירים משתנים ברורים.
מתרגמים כל תנאי לאי-שוויון, כולל $x \geq 0, y \geq 0$ ('לכל היותר' = ≤, 'לפחות' = ≥).
רושמים את פונקציית המטרה וקובעים מקסימום/מינימום.
מוצאים את הקודקודים, מציבים, ובוחרים את הקיצון.
מפרשים את התוצאה ועונים בדיוק על השאלה שנשאלה.

סיימתם את היחידה! עכשיו אתם יודעים לפתור בעיית תכנון ליניארי שלמה — מהמילים ועד למסקנה הכלכלית.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על בעיות תכנון ליניארי יישומיות שלמות בהקשרים אמיתיים!

בעיות תכנון ליניארי יישומיות

בעיות תכנון ליניארי יישומיות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: תרגום תנאים למערכת אילוצים

נגרייה: לכל היותר 50 שולחנות ביום, ולפחות 10 שולחנות אוכל. הגדירו משתנים ורשמו אילוצים.

דוגמה 2: בעיית רווח שלמה — מפעל רהיטים

כיסא עם משענת: רווח 40 ₪, 2 שעות נגרות, שעת גימור. כיסא ללא משענת: רווח 25 ₪, שעת נגרות, שעת גימור. נגרות ≤40\le 40≤40 שעות, גימור ≤24\le 24≤24 שעות. מהו הרווח המקסימלי?

דוגמה 3: בעיית הכנסה — העסקת עובדים

בעל תואר: הכנסה 7,000 ₪. ללא תואר: 5,500 ₪. לכל היותר 30 עובדים (x+y≤30)(x+y \le 30)(x+y≤30) ותקציב הנותן 10x+7y≤24010x+7y \le 24010x+7y≤240. מהי ההכנסה המקסימלית?

דוגמה 4: בעיה עם אילוץ 'לפחות' — מאפייה

לחם לבן: רווח 6 ₪. לחם מלא: רווח 5 ₪. קמח: 5x+4y≤20005x+4y \le 20005x+4y≤2000. תנור: x+y≤450x+y \le 450x+y≤450. הזמנה: לפחות 100 כיכרות לחם מלא (y≥100)(y \ge 100)(y≥100). מהו הרווח המקסימלי?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: הופכים את כיוון אי-השוויון

טעות נפוצה: שוכחים את אילוצי האי-שליליות

טעות נפוצה: עונים בערך במקום בנקודה (או להפך)

סיכום

תרגול נוסף

כיסא עם משענת: רווח 40 ₪, 2 שעות נגרות, שעת גימור. כיסא ללא משענת: רווח 25 ₪, שעת נגרות, שעת גימור. נגרות $\le 40$ שעות, גימור $\le 24$ שעות. מהו הרווח המקסימלי?

בעל תואר: הכנסה 7,000 ₪. ללא תואר: 5,500 ₪. לכל היותר 30 עובדים $(x+y \le 30)$ ותקציב הנותן $10x+7y \le 240$ . מהי ההכנסה המקסימלית?

לחם לבן: רווח 6 ₪. לחם מלא: רווח 5 ₪. קמח: $5x+4y \le 2000$ . תנור: $x+y \le 450$ . הזמנה: לפחות 100 כיכרות לחם מלא $(y \ge 100)$ . מהו הרווח המקסימלי?