תחום פתוח, סגור ומשולב

מבוא

מטרות השיעור

להבחין בין תחום אפשרי סגור (חסום) לבין תחום פתוח (לא חסום)
להבין מדוע בתחום סגור קיימים גם מקסימום וגם מינימום
להבין מדוע בתחום פתוח ייתכן שקיים רק קיצון אחד (הפונקציה גדלה ללא גבול בכיוון השני)
לזהות תחום משולב ולמצוא את הקיצון הקיים בכל מקרה

הרעיון המרכזי

תחום סגור מול תחום פתוח

תחום סגור (חסום): פוליגון תחום מכל הכיוונים — אפשר להקיף אותו בעיגול. אילוצים מסוג $\leq$ (יחד עם $x, y \geq 0$ ) סוגרים את התחום. בתחום סגור פונקציה ליניארית מקבלת גם מקסימום וגם מינימום, ושניהם בקודקודים.

תחום פתוח (לא חסום): משתרע ללא גבול בכיוון כלשהו — בדרך כלל כאשר כל האילוצים מסוג $\geq$ . בתחום כזה ייתכן שקיים רק קיצון אחד.

איזה קיצון קיים בתחום פתוח?

נניח שכל המקדמים של f=ax+by חיוביים, והתחום פתוח כלפי מעלה וימינה (כיוון שבו x,y גדלים):

המקסימום אינו קיים — ככל שמתרחקים, f גדלה ללא גבול.
המינימום קיים — הוא מתקבל באחד הקודקודים הקרובים לראשית.

לכן בבעיות עלות (מינימום) מעל תחום פתוח כלפי מעלה — יש פתרון; בבעיות רווח (מקסימום) מעל אותו תחום — אין מקסימום סופי.

תחום משולב והשפעת אילוץ נוסף

תחום משולב משלב אילוצי $\geq$ ואילוצי $\leq$ . הוספת אילוץ עליון ( $\leq$ ) חוסמת תחום פתוח מלמעלה והופכת אותו לסגור — וכך מתאפשר קיומו של הקיצון שקודם לא היה קיים (למשל מקסימום).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי סוג התחום

האם התחום $x \ge 0, y \ge 0, x+y \ge 4$ סגור או פתוח?

x \geq 0, y \geq 0, x + y \geq 4 \Rightarrow תחום פתוח

שלב 1 — בודקים אילוצים עליונים

כל האילוצים הם

x \ge 0, y \ge 0

ו-

x+y \ge 4

— כולם מסוג ≥. אין אף אילוץ עליון (≤).

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: בתחום אפשרי סגור (חסום) קיימים תמיד גם ערך מקסימלי וגם ערך מינימלי לפונקציית מטרה ליניארית.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מינימום בתחום פתוח

בתחום $x \ge 0, y \ge 0, x+y \ge 6$ מצאו את המינימום של $f=2x+3y$ .

f (6, 0) = 2 \cdot 6 + 3 \cdot 0 = 12

שלב 1 — קודקודים

התחום הפתוח חסום מלמטה בקודקודים

(6, 0)

ו-

(0, 6)

תשובה מספרית

בתחום הפתוח $x \ge 0, y \ge 0, x+y \ge 6$ מבקשים את הערך המינימלי של פונקציית המטרה $f=2x+3y$ . מהו ערך המינימום?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

דיאטה דורשת לפחות כמויות מסוימות משני מזונות. האילוצים הם $2x+y \ge 8, x+y \ge 6, x \ge 0, y \ge 0$ , ועלות הצריכה היא $C=4x+3y ($ ב-₪). התחום פתוח. מהי העלות המינימלית?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: למה אין מקסימום בתחום פתוח?

הסבירו מדוע ל- $f=2x+3y$ אין מקסימום בתחום $x \ge 0, y \ge 0, x+y \ge 6$ .

f (1000, 0) = 2000, f (10000, 0) = 20000, \dots \to \infty

שלב 1 — בוחרים נקודות רחוקות

הנקודה

(100, 0)

בתחום:

f=200

. הנקודה

(1000, 0)

בתחום:

f=2000

דוגמה 4: אילוץ נוסף סוגר את התחום

לתחום $x \ge 0, y \ge 0, x+y \ge 6$ מוסיפים $x+y \le 10$ . מהו עכשיו המקסימום של $f=2x+3y$ ?

f (0, 10) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 10 = 30

לפני הוספת האילוץ — מקסימום לא היה קיים; אחרי הסגירה — הוא קיים.

שלב 1 — התחום נסגר

כעת

x+y

כלוא בין 6 ל-10 — התחום חסום (משולב).

תשובה מספרית

ממשיכים את בעיית הדיאטה: לאילוצים $2x+y \ge 8, x+y \ge 6, x \ge 0, y \ge 0$ מוסיפים כעת אילוץ עליון $x+y \le 10$ , וכך התחום נסגר (משולב). מהי העלות המקסימלית $C=4x+3y$ בתחום הסגור החדש?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים שתמיד קיימים גם מקסימום וגם מינימום

טעות: מחפשים מקסימום ל-2x+3y מעל $x + y \geq 6$ .

נכון: אין מקסימום — f גדלה ללא גבול; קיים רק מינימום.

למה זה קורה?

מכלילים את המקרה הסגור גם לתחום פתוח.

איך מתקנים?

רק בתחום סגור מובטחים שניהם. בתחום פתוח בדקו לאן 'בורחת' הפונקציה בכיוון הלא-חסום.

טעות נפוצה: מסיקים שלתחום פתוח 'אין פתרון'

מעל $x + y \geq 6$ המינימום של 2x+3y קיים והוא 12 — יש פתרון, רק לא מקסימום.

למה זה קורה?

מבלבלים בין 'אין מקסימום' לבין 'אין שום קיצון'.

איך מתקנים?

בתחום פתוח לרוב עדיין קיים קיצון אחד. בבעיית עלות הפותחת כלפי מעלה — המינימום קיים בקודקוד.

טעות נפוצה: מסמנים את חצי-המישור ההפוך

לאילוץ $x + y \geq 6$ : הראשית (0,0) נותנת $0 \geq 6$ — לא נכון, ולכן התחום נמצא בצד הרחוק מהראשית.

למה זה קורה?

צובעים לכיוון הראשית גם כאשר האילוץ הוא ≥.

איך מתקנים?

בדקו נקודה (כמו הראשית): אם היא מקיימת את האי-שוויון — היא בתוך החצי הנכון; אחרת — בצד השני.

סיכום

מה למדנו?

תחום פתוח, סגור ומשולב:

תחום סגור (חסום) — קיימים בו גם מקסימום וגם מינימום, בקודקודים.
תחום פתוח (לא חסום) — ייתכן שקיים רק קיצון אחד; בכיוון הפתוח הפונקציה עלולה לגדול ללא גבול.
בבעיית עלות (מינימום) מעל תחום פתוח כלפי מעלה — יש פתרון; בבעיית רווח (מקסימום) — אין מקסימום סופי.
אילוץ עליון נוסף סוגר תחום פתוח ומאפשר את הקיצון שחסר.

בשיעור הבא נפתור בעיות תכנון ליניארי יישומיות שלמות — מהניסוח המילולי ועד למסקנה הכלכלית!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי תחום פתוח/סגור ומציאת הקיצון הקיים בכל מקרה!

תחום פתוח, סגור ומשולב

תחום פתוח, סגור ומשולב

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי סוג התחום

האם התחום x≥0,y≥0,x+y≥4x \ge 0, y \ge 0, x+y \ge 4x≥0,y≥0,x+y≥4 סגור או פתוח?

דוגמה 2: מינימום בתחום פתוח

בתחום x≥0,y≥0,x+y≥6x \ge 0, y \ge 0, x+y \ge 6x≥0,y≥0,x+y≥6 מצאו את המינימום של f=2x+3yf=2x+3yf=2x+3y.

דוגמה 3: למה אין מקסימום בתחום פתוח?

הסבירו מדוע ל-f=2x+3yf=2x+3yf=2x+3y אין מקסימום בתחום x≥0,y≥0,x+y≥6x \ge 0, y \ge 0, x+y \ge 6x≥0,y≥0,x+y≥6.

דוגמה 4: אילוץ נוסף סוגר את התחום

לתחום x≥0,y≥0,x+y≥6x \ge 0, y \ge 0, x+y \ge 6x≥0,y≥0,x+y≥6 מוסיפים x+y≤10x+y \le 10x+y≤10. מהו עכשיו המקסימום של f=2x+3yf=2x+3yf=2x+3y?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מניחים שתמיד קיימים גם מקסימום וגם מינימום

טעות נפוצה: מסיקים שלתחום פתוח 'אין פתרון'

טעות נפוצה: מסמנים את חצי-המישור ההפוך

סיכום

תרגול נוסף

האם התחום $x \ge 0, y \ge 0, x+y \ge 4$ סגור או פתוח?

בתחום $x \ge 0, y \ge 0, x+y \ge 6$ מצאו את המינימום של $f=2x+3y$ .

הסבירו מדוע ל- $f=2x+3y$ אין מקסימום בתחום $x \ge 0, y \ge 0, x+y \ge 6$ .

לתחום $x \ge 0, y \ge 0, x+y \ge 6$ מוסיפים $x+y \le 10$ . מהו עכשיו המקסימום של $f=2x+3y$ ?