מציאת קודקודי התחום האפשרי

מבוא

מטרות השיעור

להבין שכל קודקוד של התחום האפשרי הוא נקודת חיתוך של שני ישרים תוחמים
למצוא קודקוד בפתרון מערכת של שתי משוואות ליניאריות (חיסור או הצבה)
לזכור שגם הצירים x=0 ו-y=0 הם ישרים תוחמים
לבדוק שכל נקודת חיתוך אכן מקיימת את כל האילוצים, ולכן שייכת לתחום

הרעיון המרכזי

מהו קודקוד של התחום האפשרי?

התחום האפשרי הוא החיתוך של מספר חצאי-מישור, כל אחד מוגדר על ידי אי-שוויון ליניארי. גבולו של התחום מורכב מקטעי ישרים, וקודקוד הוא נקודה שבה שני ישרים תוחמים נפגשים.

כדי למצוא קודקוד פותרים את מערכת שתי משוואות הישרים: ${a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$

הפתרון (x, y) הוא הקודקוד — בתנאי שהוא מקיים גם את שאר האילוצים.

הצירים הם גם ישרים תוחמים

ברוב בעיות התכנון הליניארי מופיעים האילוצים $x \geq 0$ ו- $y \geq 0$ (כמויות אינן שליליות). הגבולות שלהם הם הישרים x=0 (ציר ה-y) ו-y=0 (ציר ה-x). לכן כשמחפשים קודקודים — אסור לשכוח לחתוך גם עם הצירים.

לא כל חיתוך הוא קודקוד

שני ישרים תמיד נחתכים (אם אינם מקבילים), אך לא כל נקודת חיתוך היא קודקוד של התחום האפשרי. נקודה היא קודקוד רק אם היא מקיימת את כל אי-השוויונים. לכן אחרי כל חישוב חיתוך — מציבים את הנקודה בכל האילוצים ובודקים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חיתוך ישר אלכסוני עם ישר אנכי

מצאו את נקודת החיתוך של $x+y=10$ עם $x=4$ .

x = 4 \Rightarrow 4 + y = 10 \Rightarrow y = 6

שלב 1 — מזהים את המשתנה הידוע

הישר

x=4

קובע ישירות ש-

x=4

תשובה מספרית

קודקוד של התחום האפשרי נמצא בנקודת החיתוך של הישר $x+y=10$ עם הישר האנכי $x=4$ . מהו שיעור ה-y של קודקוד זה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

מצאו את נקודת החיתוך של הישר $3x+2y=18$ עם הישר האנכי $x=2$ . רשמו את התשובה בצורת נקודה (x, y).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: חיתוך שני ישרים אלכסוניים (שיטת החיסור)

מצאו את נקודת החיתוך של $2x+y=12$ ו- $x+y=8$ .

{2 x + y = 12 x + y = 8 \Rightarrow x = 4, y = 4

שלב 1 — בוחרים שיטה

בשתי המשוואות המקדם של y זהה

(1)

, לכן חיסור יבטל את y.

תשובה מספרית

קודקוד של התחום הוא נקודת החיתוך של שני הישרים $2x+y=12$ ו- $x+y=8$ . מהו שיעור ה-x של הקודקוד?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: כל קודקודי המשולש

מצאו את כל קודקודי התחום $x \ge 0, y \ge 0, x+y \le 6$ .

(0,0),\; (6,0),\; (0,6)

שלב 1 — מזהים את שלושת הישרים התוחמים

הישרים הם

x=0, y=0

ו-

x+y=6

דוגמה 4: חיתוך שאינו קודקוד — חשיבות הבדיקה

בתחום $x \ge 0, y \ge 0, x+y \le 10, 2x+y \le 14$ — האם החיתוך של $x+y=10$ עם $y=0$ הוא קודקוד?

2 \cdot 10 + 0 = 20 > 14 \Rightarrow (10, 0) מחוץ לתחום

שלב 1 — מוצאים את החיתוך

y=0

מציב ב-

x+y=10

ונותן

x=10

, כלומר הנקודה

(10, 0)

תשובה מספרית

התחום האפשרי מוגדר על ידי $x \ge 0, y \ge 0, x+y \le 10, 2x+y \le 14$ . אחד הקודקודים הוא נקודת החיתוך של שני הישרים האלכסוניים $x+y=10$ ו- $2x+y=14$ . מהו מכפלת השיעורים $x \cdot y$ בקודקוד זה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שכל חיתוך של שני ישרים הוא קודקוד

טעות: מסמנים את (10,0) כקודקוד למרות ש- $2 \cdot 10 + 0 = 20 > 14$ .

נכון: (10,0) מחוץ לתחום; הקודקוד על הציר הוא (7,0).

למה זה קורה?

מתעלמים מכך שהנקודה חייבת לקיים גם את שאר האילוצים.

איך מתקנים?

אחרי מציאת החיתוך — הציבו את הנקודה בכל אי-השוויונים. אם אחד מהם מופר, זו אינה נקודת קודקוד.

טעות נפוצה: מחליפים בין שיעור ה-x לשיעור ה-y

טעות: מקבלים x=4,\ y=6 ורושמים (6,4).

נכון: הנקודה היא (4,6).

למה זה קורה?

רושמים את הנקודה בסדר הפוך אחרי פתרון המערכת.

איך מתקנים?

כתבו תמיד (x, y) לפי הסדר: קודם הפתרון ל-x ואז הפתרון ל-y. בדקו בהצבה.

טעות נפוצה: שוכחים את הצירים כישרים תוחמים

בתחום $x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 6$ שני קודקודים יושבים על הצירים: (6,0) ו-(0,6).

למה זה קורה?

מתמקדים רק באילוצים האלכסוניים ומפספסים קודקודים על הצירים.

איך מתקנים?

זכרו ש-

x \ge 0

ו-

y \ge 0

פירושם שהישרים

x=0

ו-

y=0

תוחמים את התחום; חתכו גם איתם.

סיכום

מה למדנו?

מציאת קודקודי התחום האפשרי:

כל קודקוד הוא נקודת חיתוך של שני ישרים תוחמים.
מוצאים אותו בפתרון מערכת שתי משוואות הישרים (חיסור או הצבה).
גם הצירים x=0 ו-y=0 הם ישרים תוחמים.
בודקים שכל נקודת חיתוך מקיימת את כל האילוצים — אחרת אינה קודקוד.

בשיעור הבא נציב את שיעורי הקודקודים בפונקציית המטרה ונמצא את הערך האופטימלי בשיטת הקודקודים!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת קודקודי התחום האפשרי בשיטת פתרון מערכת המשוואות!

מציאת קודקודי התחום האפשרי

מציאת קודקודי התחום האפשרי

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חיתוך ישר אלכסוני עם ישר אנכי

מצאו את נקודת החיתוך של x+y=10x+y=10x+y=10 עם x=4x=4x=4.

דוגמה 2: חיתוך שני ישרים אלכסוניים (שיטת החיסור)

מצאו את נקודת החיתוך של 2x+y=122x+y=122x+y=12 ו-x+y=8x+y=8x+y=8.

דוגמה 3: כל קודקודי המשולש

מצאו את כל קודקודי התחום x≥0,y≥0,x+y≤6x \ge 0, y \ge 0, x+y \le 6x≥0,y≥0,x+y≤6.

דוגמה 4: חיתוך שאינו קודקוד — חשיבות הבדיקה

בתחום x≥0,y≥0,x+y≤10,2x+y≤14x \ge 0, y \ge 0, x+y \le 10, 2x+y \le 14x≥0,y≥0,x+y≤10,2x+y≤14 — האם החיתוך של x+y=10x+y=10x+y=10 עם y=0y=0y=0 הוא קודקוד?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שכל חיתוך של שני ישרים הוא קודקוד

טעות נפוצה: מחליפים בין שיעור ה-x לשיעור ה-y

טעות נפוצה: שוכחים את הצירים כישרים תוחמים

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את נקודת החיתוך של $x+y=10$ עם $x=4$ .

מצאו את נקודת החיתוך של $2x+y=12$ ו- $x+y=8$ .

מצאו את כל קודקודי התחום $x \ge 0, y \ge 0, x+y \le 6$ .

בתחום $x \ge 0, y \ge 0, x+y \le 10, 2x+y \le 14$ — האם החיתוך של $x+y=10$ עם $y=0$ הוא קודקוד?