קריאת הסתברויות ושיעורים מתוך הגרף

מבוא

בשיעור הקודם ראינו שכל השטח שמתחת לעקומה הנורמלית שווה ל-1 ( $100%$ מהאוכלוסייה), ושכל שטח חלקי הוא חלק יחסי — או הסתברות. עכשיו נלמד לקרוא את האחוזים האלה מתוך גרף מסומן: נסמן את השנתות לפי הממוצע וסטיית התקן, ונחבר את האחוזים הכתובים בין השנתות.

מטרות השיעור

לסמן על ציר ה-x את השנתות של העקומה הנורמלית במרחקי חצי סטיית תקן וסטיית תקן שלמה מהממוצע
לקרוא הסתברות / חלק יחסי לטווח בין שני ערכים על ידי חיבור האחוזים שבין השנתות
לחשב הסתברות ל**"גדול מ-"** ול**"קטן מ-"** על ידי חיבור האחוזים בצד המתאים
לחבר אחוזים משני צדי הממוצע כשהטווח חוצה את המרכז
להעריך את מספר הפרטים באוכלוסייה: $מספר = אחוז \times גודל האוכלוסייה$

הרעיון המרכזי

הגרף המסומן של העקומה הנורמלית

ברמה זו אנו קוראים את ההסתברויות מגרף שעליו כבר רשומים אחוזי השטח בין השנתות — איננו מחשבים אותם מטבלה. השנתות ממוקמות במרחקים של חצי וסטיות תקן שלמות מהממוצע, והאחוזים הרשומים על הגרף (סימטריים סביב הממוצע) הם:

הרצועה (במרחקי סטיית תקן $σ$ מהממוצע $μ$ )	אחוז השטח
בין $μ$ ל- $μ + 0.5 σ$	$19%$
בין $μ + 0.5 σ$ ל- $μ + σ$	$15%$
בין $μ + σ$ ל- $μ + 1.5 σ$	$9%$
בין $μ + 1.5 σ$ ל- $μ + 2 σ$	$5%$
מעבר ל- $μ + 2 σ$ (הקצה)	$2%$

הצד השמאלי זהה בסימטריה. בדיקה: כל צד מסתכם ב- $19 + 15 + 9 + 5 + 2 = 50%$ , ושני הצדדים יחד נותנים $100%$ — בדיוק כל השטח.

כמה עובדות שכדאי לזכור מהגרף

מתוך חיבור האחוזים מתקבלות עובדות שימושיות:

בתוך סטיית תקן אחת מכל צד ( $μ - σ$ עד $μ + σ$ ): $34% + 34% = 68%$ .
בתוך שתי סטיות תקן ( $μ - 2 σ$ עד $μ + 2 σ$ ): $48% + 48% = 96%$ .
מהממוצע עד סטיית תקן אחת ( $μ$ עד $μ + σ$ ): $19% + 15% = 34%$ .
מעל סטיית תקן אחת ( $X > μ + σ$ ): $9% + 5% + 2% = 16%$ .
מעל שתי סטיות תקן ( $X > μ + 2 σ$ ): $2%$ .

שלושת הצעדים לקריאת הסתברות

סימון השנתות: ממירים כל ערך נתון למרחק בסטיות תקן מהממוצע: $\frac{ערך - μ}{σ}$ אומר כמה $σ$ -ים הוא מרוחק. כך נמקם אותו על השנתה הנכונה.
זיהוי הרצועות: מסמנים את השטח המבוקש — בין שתי שנתות (טווח), מימין לשנתה ("גדול מ-") או משמאל לה ("קטן מ-").
חיבור האחוזים: מחברים את כל האחוזים הרשומים ברצועות שבתוך השטח. אם הטווח חוצה את הממוצע — מחברים גם משמאל וגם מימין.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סימון השנתות וקריאת טווח פשוט

ציוני מבחן: ממוצע 68, סטיית תקן 8. מה ההסתברות שציון אקראי בין 60 ל-76?

P (60 < X < 76) = P (μ - σ < X < μ + σ) = 34% + 34% = 68%

שלב 1 — ממירים לשנתות

60 = 68 - 8 =

הממוצע פחות סטיית תקן אחת ⟸ שנתה

-1\sigma . 76 = 68 + 8 =

שנתה

+1\sigma

תשובה מספרית

ציוני מבחן בבית ספר גדול מתפלגים נורמלית. הציון הממוצע הוא 68 וסטיית התקן 8. על גרף העקומה הרשומים בין השנתות אחוזי השטח: 19% בין הממוצע לחצי סטיית תקן, 15% בין חצי סטיית תקן לסטיית תקן שלמה, 9% בין סטיית תקן ל-1.5 סטיות תקן, 5% בין 1.5 ל-2 סטיות תקן, ו-2% מעבר ל-2 סטיות תקן (וכך גם בצד השני, בסימטריה). בוחרים תלמיד באקראי. מה ההסתברות (באחוזים, ללא %) שהציון שלו בין 60 ל-76?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בהתפלגות הציונים (ממוצע 68, סטיית תקן 8, ואותם אחוזים: 19%, 15%, 9%, 5%, 2%). תלמיד נחשב 'בינוני-גבוה' אם ציונו בין 68 ל-76. מה אחוז התלמידים הבינוניים-גבוהים? (מספר אחוזים, ללא %.)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: "קטן מ-" — קריאת קצה

באותה התפלגות (ממוצע 68, סטיית תקן 8): מה אחוז התלמידים שציונם נמוך מ-60?

P (X < 60) = P (X < μ - σ) = 9% + 5% + 2% = 16%

שימו לב: "קטן מ-" לוקח את השטח משמאל לשנתה. בדיקה הפוכה: $P (X > μ - σ) = 100% - 16% = 84%$ .

שלב 1 — ממירים לשנתה

60 = 68 - 8 =

שנתה

-1\sigma

סידור

גובהם של מבוגרים מתפלג נורמלית עם ממוצע 170 ס"מ וסטיית תקן 10 ס"מ. רוצים למצוא מהגרף את אחוז המבוגרים הגבוהים מ-190 ס"מ. סדרו את שלבי הקריאה לפי הסדר הנכון.

גררו את הפריטים לסדר הנכון

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: טווח החוצה את הממוצע

גובה מבוגרים: ממוצע 170 ס״מ, סטיית תקן 10 ס״מ. מה ההסתברות שגובה אקראי בין 155 ל-175 ס״מ?

P (155 < H < 175) = משמאל (9% + 15% + 19%) + מימין 19% = 43% + 19% = 62%

הטעות הנפוצה כאן: לחבר רק צד אחד. כשהטווח חוצה את הממוצע — תמיד מחברים את שני הצדדים.

שלב 1 — ממירים לשנתות

155 = 170 - 1.5 \cdot 10 ⟸

שנתה

-1.5\sigma . 175 = 170 + 0.5 \cdot 10 ⟸

שנתה

+0.5\sigma

בדיקה מהירה

בהתפלגות הגבהים (ממוצע 170 ס"מ, סטיית תקן 10 ס"מ, אחוזים: 19%, 15%, 9%, 5%, 2%). מה ההסתברות שגובהו של מבוגר אקראי בין 175 ל-185 ס"מ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: הערכת מספר פרטים באוכלוסייה

בבית ספר 1,200 תלמידים, ציונים מתפלגים נורמלית (ממוצע 68, סטיית תקן 8). תלמיד מצטיין אם ציונו מעל 84. כמה מצטיינים צפויים?

$P (X > 84) = 2% \Rightarrow 0.02 \times 1200 = 24$ תלמידים.

האחוז הוא חלק יחסי; כדי לקבל מספר פרטים מכפילים בגודל האוכלוסייה.

שלב 1 — ממירים לשנתה

84 = 68 + 2 \cdot 8 =

שנתה

+2\sigma

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מתחילים את החיבור מהשנתה הלא נכונה

בטווח 175 עד 185 (כלומר $+ 0.5 σ$ עד $+ 1.5 σ$ ) מחברים $15% + 9% = 24%$ — ולא מתחילים מהממוצע (שהיה נותן $19% + 15% + 9%$ בטעות).

למה זה קורה?

לא ממירים את הערך למספר סטיות תקן בזהירות, ומתחילים מהממוצע במקום מהשנתה הנכונה.

איך מתקנים?

המירו כל ערך לפי (ערך − ממוצע) חלקי סטיית תקן, וסמנו אותו על השנתה המתאימה. חברו רק את האחוזים שבין השנתות שמגדירות את הטווח המבוקש.

טעות נפוצה: מבלבלים בין 'גדול מ-' ל'קטן מ-'

$P (X < μ - σ) = 16%$ (שמאל), בעוד $P (X > μ - σ) = 84%$ (ימין). יחד: $16% + 84% = 100%$ .

למה זה קורה?

לוקחים את השטח בצד הלא נכון של השנתה.

איך מתקנים?

'גדול מ-' = השטח מימין לשנתה; 'קטן מ-' = השטח משמאלה. אפשר לבדוק: שני הצדדים יחד חייבים להסתכם ב-100%.

טעות נפוצה: שוכחים לחבר את שני צדי הממוצע בטווח שחוצה אותו

$P (155 < H < 175) = 43% + 19% = 62%$ — ולא $43%$ בלבד.

למה זה קורה?

מחשבים רק צד אחד של הטווח כשהוא נמשך משני צדי המרכז.

איך מתקנים?

אם הערך התחתון משמאל לממוצע והעליון מימינו, פצלו את הטווח בממוצע, חשבו כל צד בנפרד וחברו.

טעות נפוצה: נשארים באחוז ולא מכפילים בגודל האוכלוסייה

$2% מתוך 1200 = 0.02 \times 1200 = 24$ — מספר, לא אחוז.

למה זה קורה?

עוצרים אחרי קריאת האחוז ושוכחים שהשאלה ביקשה מספר פרטים.

איך מתקנים?

כשמבקשים 'כמה פרטים' — הכפילו את האחוז (כשבר עשרוני) בגודל האוכלוסייה הנכון.

סיכום

מה למדנו?

קריאת הסתברות מהגרף המסומן:

ממירים לשנתות: כל ערך הופך למרחק בסטיות תקן מהממוצע, $\frac{ערך - μ}{σ}$ , ומסומן על השנתה.
מזהים את השטח: טווח (בין שתי שנתות), "גדול מ-" (מימין) או "קטן מ-" (משמאל).
מחברים אחוזים: מסכמים את האחוזים הרשומים ברצועות שבתוך השטח; טווח שחוצה את הממוצע — מחברים משני צדיו.
מעריכים מספר: $מספר פרטים = אחוז \times גודל האוכלוסייה$ .

זכרו את העובדות השימושיות: $\pm σ \Rightarrow 68%$ , $\pm 2 σ \Rightarrow 96%$ , מעל $2 σ \Rightarrow 2%$ .

בשיעור הבא נהפוך את הכיוון: בהינתן אחוז נמצא את ערך המשתנה, ונשתמש בסימטריה כדי למצוא שטח אחד מתוך שטח נתון!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן בקריאת הסתברויות ושיעורים מתוך הגרף הנורמלי!