השוואה בין אוכלוסיות בעזרת ציון תקן

מבוא

מטרות השיעור

להבין מדוע אי אפשר להשוות ערכים גולמיים בין אוכלוסיות בעלות ממוצעים וסטיות תקן שונים
לחשב ציון תקן לכל ערך ולהשוות את ציוני התקן
לקבוע מי מבין שני ערכים נמצא במיקום יחסי גבוה יותר באוכלוסייתו
להשוות נכון גם כאשר שני ציוני התקן שליליים
ליישם את ההשוואה בהקשרים ישראליים: ציונים בין כיתות, גבהים בין מדינות, שכר

הרעיון המרכזי

למה לא משווים ערכים גולמיים?

נניח שדן (ישראלי) גבוה 177 ס"מ ויוהן (הולנדי) גבוה 187 ס"מ. יוהן גבוה יותר במספרים — אבל ההולנדים גבוהים יותר בממוצע. השאלה המעניינת היא מי בולט יותר באוכלוסייה שלו. לכך הערך הגולמי לבדו אינו מספיק: הוא תלוי בממוצע ובסטיית התקן של האוכלוסייה.

ציון התקן $z = \frac{x - μ}{σ}$ מתרגם כל ערך ל"שפה אחידה" — בכמה סטיות תקן הוא רחוק מהממוצע של אוכלוסייתו. מכיוון שציון התקן חסר-יחידות ומנוטרל מהבדלי הממוצע והפיזור, אפשר להשוות אותו בין אוכלוסיות שונות.

כלל ההשוואה

כדי להשוות מיקום יחסי של שני ערכים מאוכלוסיות שונות:

חשבו את ציון התקן של כל ערך בנפרד, לפי הממוצע וסטיית התקן של אוכלוסייתו.
השוו את ציוני התקן: ציון תקן גבוה יותר ⟸ מיקום יחסי גבוה יותר (רחוק יותר מעל הממוצע).
שוויון בציוני התקן פירושו מיקום יחסי זהה — גם אם הערכים הגולמיים שונים.

זהירות: ציונים שליליים וכיוון הרצוי

כאשר שני הציונים שליליים, עדיין הציון הגבוה יותר (הקרוב יותר לאפס) הוא בעל המיקום היחסי הטוב יותר. למשל z=-0.5 טוב יותר מ-z=-1.

שימו לב גם להקשר: כשערך גבוה הוא הרצוי (ציון מבחן, גובה), מיקום יחסי טוב יותר = ציון תקן גדול יותר. כשערך נמוך הוא הרצוי (למשל זמן ריצה — מהר יותר), המיקום היחסי הטוב יותר מתאים דווקא לציון תקן שלילי יותר. תמיד שאלו: באיזה כיוון נמצא הערך הרצוי באוכלוסייה הזו?

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: השוואת גבהים בין שתי מדינות

גובה גברים — הולנד: $\mu =185, \sigma =6$ ; ישראל: $\mu =175, \sigma =10$ . דן הישראלי 177 סנטימטר, יוהן ההולנדי 187 סנטימטר. מי גבוה יותר יחסית?

z_{דן} = \frac{177 - 175}{10} = 0.2, z_{יוהן} = \frac{187 - 185}{6} \approx 0.33

שלב 1 — ציון תקן לדן

z(דן)

= \frac{177 - 175}{10} = \frac{2}{10} = 0.2

תשובה מספרית

גובה הגברים בישראל מתפלג נורמלית עם ממוצע 175 ס"מ וסטיית תקן 10 ס"מ. דן הוא גבר ישראלי שגובהו 177 ס"מ. מהו ציון התקן של גובהו של דן?

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

גובה הגברים בהולנד מתפלג נורמלית עם ממוצע 185 ס"מ וסטיית תקן 6 ס"מ; בישראל הממוצע 175 ס"מ וסטיית התקן 10 ס"מ. דן (ישראלי) גובהו 177 ס"מ ויוהן (הולנדי) גובהו 187 ס"מ. מי גבוה יותר ביחס לאוכלוסייה שלו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מערכת משוואות ואז השוואה

במבחן: אילה $92 (z=1.25)$ , פנינה $64 (z=-0.5)$ . מצאו $\mu$ ו- $\sigma$ , ואז בדקו את אריאל שקיבל 80.

σ = 16, μ = 72; z_{אריאל} = \frac{80 - 72}{16} = 0.5

שלב 1 — מוצאים $\mu$ ו- $\sigma$

92 = \mu + 1.25\sigma

ו-

64 = \mu - 0.5\sigma

. חיסור:

28 = 1.75\sigma

, ולכן

\sigma = 16

ו-

\mu = 72

דוגמה 3: השוואת ביצוע של אותו אדם בשני מבחנים

פנינה במבחן ראשון: $z=-0.5$ . במועד ב' קיבלה 70, כשהממוצע 80 וסטיית התקן 10. באיזה מבחן הצליחה יותר יחסית?

z_{מועד ב’} = \frac{70 - 80}{10} = - 1 < - 0.5 = z_{ראשון}

שלב 1 — ציון תקן במועד ב'

z = \frac{70 - 80}{10} = -\frac{10}{10} = -1

דוגמה 4: אותו ציון גולמי, מיקום יחסי שונה

שני תלמידים קיבלו 80. כיתה א $': \mu =70, \sigma =5$ . כיתה ב $': \mu =65, \sigma =10$ . מי במיקום יחסי גבוה יותר?

z_{א’} = \frac{80 - 70}{5} = 2 > \frac{80 - 65}{10} = 1.5 = z_{ב’}

שלב 1 — כיתה א'

z = \frac{80 - 70}{5} = \frac{10}{5} = 2

סידור

שלושה תלמידים נבחנו במבחנים שונים, כל אחד בכיתה אחרת. דוד: ציון 78, ממוצע 70, סטיית תקן 5. מאיה: ציון 76, ממוצע 60, סטיית תקן 8. נועה: ציון 85, ממוצע 80, סטיית תקן 10. סדרו את התלמידים מהמיקום היחסי הגבוה ביותר (הטוב ביותר) לנמוך ביותר.

גררו את הפריטים לסדר הנכון

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משווים את הערכים הגולמיים במקום את ציוני התקן

טעות: "יוהן 187 ודן 177, אז יוהן בולט יותר באוכלוסייתו."

נכון: $z_{יוהן} \approx 0.33$ , $z_{דן} = 0.2$ — כאן במקרה יוהן אכן גבוה יותר יחסית, אך ההכרעה היא לפי ה-z, לא לפי הגובה הגולמי.

למה זה קורה?

מסיקים שהערך הגדול יותר מנצח, בלי להתחשב בכך שהאוכלוסיות שונות.

איך מתקנים?

חשבו z לכל ערך באוכלוסייתו והשוו את ה-z. הערך הגולמי תלוי בממוצע ובסטיית התקן ואינו בר-השוואה ישירה.

תשובה קצרה

במבחן הראשון ציון התקן של פנינה היה $0.5- ($ ציון 64, ממוצע 72). במועד ב' ציון התקן שלה היה $1- ($ ציון 70, ממוצע 80). באיזה מבחן הצליחה פנינה יותר ביחס לשאר הנבחנים? כתבו: "המבחן הראשון" או "מועד ב'".

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: חושבים שציון שלילי יותר הוא הטוב יותר

טעות: "פנינה קיבלה z=-1 במועד ב' ו-z=-0.5 בראשון, אז מועד ב' טוב יותר."

נכון: -0.5>-1, ולכן המבחן הראשון טוב יותר יחסית.

למה זה קורה?

מבלבלים בין 'רחוק מאפס' לבין 'גבוה'.

איך מתקנים?

גם בין ציונים שליליים, הגבוה יותר (הקרוב לאפס) מציין מיקום יחסי טוב יותר:

-0.5

טוב מ-

-1

טעות נפוצה: מניחים שמיקום יחסי זהה פירושו ערך גולמי זהה

שני תלמידים עם z=2 נמצאים באותו מיקום יחסי, גם אם האחד קיבל 80 (כיתה עם $μ = 70, σ = 5$ ) והשני 90 (כיתה עם $μ = 70, σ = 10$ ).

למה זה קורה?

מזהים בין ציון התקן לציון הגולמי.

איך מתקנים?

שני ערכים שונים יכולים לחלוק את אותו z באוכלוסיות שונות, ואותו ערך גולמי יכול לתת z שונה. ה-z הוא מדד יחסי, לא הערך עצמו.

סיכום

מה למדנו?

השוואה בין אוכלוסיות:

אי אפשר להשוות ערכים גולמיים מאוכלוסיות שונות — הם תלויים ב- $μ$ וב- $σ$ .
מחשבים ציון תקן $z = \frac{x - μ}{σ}$ לכל ערך באוכלוסייתו.
משווים את ציוני התקן: z גבוה יותר ⟸ מיקום יחסי גבוה יותר (גם בין ציונים שליליים).
שוויון ב-z ⟸ מיקום יחסי זהה, גם אם הערכים הגולמיים שונים.

זכרו: ראשית מחשבים, ורק אז משווים — ותמיד לפי ציון התקן, לא לפי הערך הגולמי. בהקשר שבו ערך נמוך הוא הרצוי, היזהרו מכיוון ה"טוב".

בכך השלמנו את היחידה על ההתפלגות הנורמלית וציון התקן!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על השוואת מיקום יחסי בין אוכלוסיות בעזרת ציון תקן!

השוואה בין אוכלוסיות בעזרת ציון תקן

השוואה בין אוכלוסיות בעזרת ציון תקן

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: השוואת גבהים בין שתי מדינות

גובה גברים — הולנד: μ=185,σ=6\mu =185, \sigma =6μ=185,σ=6; ישראל: μ=175,σ=10\mu =175, \sigma =10μ=175,σ=10. דן הישראלי 177 סנטימטר, יוהן ההולנדי 187 סנטימטר. מי גבוה יותר יחסית?

דוגמה 2: מערכת משוואות ואז השוואה

במבחן: אילה 92(z=1.25)92 (z=1.25)92(z=1.25), פנינה 64(z=−0.5)64 (z=-0.5)64(z=−0.5). מצאו μ\muμ ו-σ\sigmaσ, ואז בדקו את אריאל שקיבל 80.

דוגמה 3: השוואת ביצוע של אותו אדם בשני מבחנים

פנינה במבחן ראשון: z=−0.5z=-0.5z=−0.5. במועד ב' קיבלה 70, כשהממוצע 80 וסטיית התקן 10. באיזה מבחן הצליחה יותר יחסית?

דוגמה 4: אותו ציון גולמי, מיקום יחסי שונה

שני תלמידים קיבלו 80. כיתה א′:μ=70,σ=5': \mu =70, \sigma =5′:μ=70,σ=5. כיתה ב′:μ=65,σ=10': \mu =65, \sigma =10′:μ=65,σ=10. מי במיקום יחסי גבוה יותר?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משווים את הערכים הגולמיים במקום את ציוני התקן

טעות נפוצה: חושבים שציון שלילי יותר הוא הטוב יותר

טעות נפוצה: מניחים שמיקום יחסי זהה פירושו ערך גולמי זהה

סיכום

תרגול נוסף

גובה גברים — הולנד: $\mu =185, \sigma =6$ ; ישראל: $\mu =175, \sigma =10$ . דן הישראלי 177 סנטימטר, יוהן ההולנדי 187 סנטימטר. מי גבוה יותר יחסית?

במבחן: אילה $92 (z=1.25)$ , פנינה $64 (z=-0.5)$ . מצאו $\mu$ ו- $\sigma$ , ואז בדקו את אריאל שקיבל 80.

פנינה במבחן ראשון: $z=-0.5$ . במועד ב' קיבלה 70, כשהממוצע 80 וסטיית התקן 10. באיזה מבחן הצליחה יותר יחסית?

שני תלמידים קיבלו 80. כיתה א $': \mu =70, \sigma =5$ . כיתה ב $': \mu =65, \sigma =10$ . מי במיקום יחסי גבוה יותר?