ציון תקן (ציון סטנדרטי)

מבוא

מטרות השיעור

להגדיר את ציון התקן $z = \frac{x - μ}{σ}$ ולחשב אותו
להבין שציון התקן מודד את מרחקו של ערך מהממוצע ביחידות של סטיית תקן
לפרש את הסימן: z>0 מעל הממוצע, z<0 מתחת לממוצע, z=0 בדיוק בממוצע
לבודד מהנוסחה כל אחד מהגדלים $x, μ, σ$
למצוא מדדים חסרים בעזרת משוואה ממעלה ראשונה או מערכת של שתי משוואות

הרעיון המרכזי

הגדרת ציון התקן

ערך "גדול" הוא מושג יחסי: ציון 80 מצוין בכיתה שממוצעה 60, אך בינוני בכיתה שממוצעה 85. כדי למקם ערך יחסית לאוכלוסייה שלו, מודדים את מרחקו מהממוצע ביחידות של סטיית תקן. זהו ציון התקן (הציון הסטנדרטי):

z = \frac{x - μ}{σ}

המונה $x - μ$ הוא המרחק (בסימן) מהממוצע, והחלוקה ב- $σ$ הופכת אותו למספר חסר-יחידות: בכמה סטיות תקן הערך רחוק מהממוצע.

פירוש הסימן והגודל

z=0 ⟸ הערך שווה בדיוק לממוצע.
z>0 ⟸ הערך גבוה מהממוצע; ככל ש-z גדול יותר, הערך חריג יותר כלפי מעלה.
z<0 ⟸ הערך נמוך מהממוצע.

למשל z=1.5 פירושו "סטיית תקן וחצי מעל הממוצע", ו-z=-0.7 פירושו "0.7 סטיות תקן מתחת לממוצע". מכיוון ש- $σ > 0$ תמיד, הסימן של z נקבע אך ורק על ידי $x - μ$ .

בידוד הגדלים מהנוסחה

הנוסחה $z = \frac{x - μ}{σ}$ מקשרת בין ארבעה גדלים. בהינתן שלושה מהם — מוצאים את הרביעי ע"י בידוד:

x = μ + z σ

μ = x - z σ

σ = \frac{x - μ}{z} (z \neq = 0)

אם נתונים שני ערכים שונים מאותה אוכלוסייה עם ציוני התקן שלהם, נקבל מערכת של שתי משוואות מהצורה $x = μ + z σ$ , וממנה נחלץ את $μ$ ואת $σ$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב ציון תקן

ציונים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 70 וסטיית תקן 10. דנה קיבלה 85. מהו ציון התקן שלה?

z = \frac{85 - 70}{10} = 1.5

שלב 1 — כותבים את הנוסחה

z = \frac{x - \mu }{\sigma }

עם

x = 85, \mu = 70, \sigma = 10

דוגמה 2: ציון תקן שלילי

תוצאות מבחן מתפלגות נורמלית עם ממוצע 500 וסטיית תקן 100. מועמד קיבל 430. מהו ציון התקן?

z = \frac{430 - 500}{100} = - 0.7

שלב 1 — מציבים

z = \frac{430 - 500}{100} = -\frac{70}{100}

תשובה מספרית

תוצאות מבחן פסיכומטרי מתפלגות נורמלית עם ממוצע 500 וסטיית תקן 100. מועמד קיבל 430. מהו ציון התקן שלו? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מציאת הערך x מציון התקן

ציונים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 68 וסטיית תקן 8. ציון התקן של אילה הוא 1.25. מהו הציון שקיבלה?

x = μ + z σ = 68 + 1.25 \cdot 8 = 78

שלב 1 — בודדים את x

מהנוסחה

z = \frac{x - \mu }{\sigma }

מקבלים

x = \mu + z \cdot \sigma

תשובה מספרית

בכיתה ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 70 וסטיית תקן 10. דנה קיבלה 85. מהו ציון התקן של דנה?

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

במבחן ציוני התלמידים מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן 16. הציון של אילה הוא 92, וציון התקן שלה הוא 1.25. מהו ממוצע הציונים בכיתה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מערכת של שתי משוואות — מציאת ממוצע וסטיית תקן

במבחן מסכם: אילה קיבלה 92 (ציון תקן 1.25), ופנינה קיבלה 64 (ציון תקן $-0.5)$ . מצאו את $\mu$ ו- $\sigma$ של הכיתה.

{92 = μ + 1.25 σ 64 = μ - 0.5 σ \Rightarrow σ = 16, μ = 72

שלב 1 — שתי משוואות מהצורה $x = \mu + z\sigma$

אילה:

92 = \mu + 1.25\sigma

. פנינה:

64 = \mu - 0.5\sigma

תשובה מספרית

ציוני מבחן מסכם מתפלגים נורמלית. אילה קיבלה 92 וציון התקן שלה 1.25. פנינה קיבלה 64 וציון התקן שלה 0.5− . מהי סטיית התקן של ציוני המבחן?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק בסטיית התקן

טעות: " $x = 85, μ = 70$ , אז z=15."

נכון: $z = \frac{85 - 70}{10} = 1.5$ — חילקנו בסטיית התקן.

למה זה קורה?

מחשבים רק את ההפרש

x - \mu

ועוצרים שם.

איך מתקנים?

ציון התקן מודד מרחק ביחידות של סטיית תקן — חובה לחלק ב-

\sigma

. ההפרש לבדו תלוי ביחידות ואינו משווה בין אוכלוסיות.

טעות נפוצה: מתעלמים מהסימן של ציון התקן

טעות: " $x = 430, μ = 500$ , אז z=0.7."

נכון: $z = \frac{430 - 500}{100} = - 0.7$ — מתחת לממוצע, ולכן שלילי.

למה זה קורה?

מחשבים את הערך המוחלט של ההפרש ושוכחים שערך מתחת לממוצע נותן z שלילי.

איך מתקנים?

שמרו על הסדר

x - \mu (

ולא

\mu - x)

. אם x קטן מהממוצע, התוצאה שלילית — וזה בדיוק מה שצריך.

טעות נפוצה: מציבים z שלילי עם סימן הפוך

עבור $μ = 72, σ = 16, z = - 0.5$ : $x = 72 + (- 0.5) \cdot 16 = 72 - 8 = 64$ . אם הופכים בטעות את הסימן מקבלים 80 — שגוי.

למה זה קורה?

כשנתון z שלילי, מבלבלים בין

x = \mu + z\sigma

לבין

x = \mu - z\sigma

איך מתקנים?

הציבו את z על הסימן שלו לתוך

x = \mu + z\sigma

. עבור z שלילי, החיבור הופך בפועל לחיסור — אל תהפכו את הסימן פעמיים.

סיכום

מה למדנו?

ציון התקן:

ההגדרה: $z = \frac{x - μ}{σ}$ — מרחק מהממוצע ביחידות של סטיית תקן.
הסימן: z>0 מעל הממוצע, z<0 מתחת, z=0 שווה לממוצע.
בידוד: $x = μ + z σ$ , $μ = x - z σ$ , $σ = \frac{x - μ}{z}$ .
שני ערכים מאותה אוכלוסייה עם ציוני התקן שלהם ⟸ מערכת של שתי משוואות למציאת $μ$ ו- $σ$ .

זכרו: תמיד לחלק בסטיית התקן, ולשמור על הסדר $x - μ$ כדי לקבל את הסימן הנכון.

בשיעור הבא נשתמש בציון התקן כדי להשוות בין ערכים מאוכלוסיות שונות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב ציון תקן ועל מציאת מדדים חסרים!

ציון תקן (ציון סטנדרטי)

ציון תקן (ציון סטנדרטי)

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב ציון תקן

ציונים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 70 וסטיית תקן 10. דנה קיבלה 85. מהו ציון התקן שלה?

דוגמה 2: ציון תקן שלילי

תוצאות מבחן מתפלגות נורמלית עם ממוצע 500 וסטיית תקן 100. מועמד קיבל 430. מהו ציון התקן?

דוגמה 3: מציאת הערך x מציון התקן

ציונים מתפלגים נורמלית עם ממוצע 68 וסטיית תקן 8. ציון התקן של אילה הוא 1.25. מהו הציון שקיבלה?

דוגמה 4: מערכת של שתי משוואות — מציאת ממוצע וסטיית תקן

במבחן מסכם: אילה קיבלה 92 (ציון תקן 1.25), ופנינה קיבלה 64 (ציון תקן −0.5)-0.5)−0.5). מצאו את μ\muμ ו-σ\sigmaσ של הכיתה.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק בסטיית התקן

טעות נפוצה: מתעלמים מהסימן של ציון התקן

טעות נפוצה: מציבים z שלילי עם סימן הפוך

סיכום

תרגול נוסף

במבחן מסכם: אילה קיבלה 92 (ציון תקן 1.25), ופנינה קיבלה 64 (ציון תקן $-0.5)$ . מצאו את $\mu$ ו- $\sigma$ של הכיתה.