פתרון משוואה ריבועית בהקשר המודל

מבוא

ברוב בעיות המודל הריבועי מגיעים בשלב מסוים אל משוואה ריבועית שצריך לפתור. היא צצה בשני מצבים אופייניים: כשמחפשים את החיתוך עם ציר x (הצבת y=0 — "מתי הכדור נוגע בקרקע", "מתי הרווח אפס"), או כשמחפשים את הרגע שבו הגודל מגיע לערך נתון ("כעבור כמה זמן הגובה היה 30 מטר", "עבור איזה מחיר הרווח הוא 42 אלף ₪"). בשיעור הזה נתמקד במעשה הפתרון עצמו ובחיבורו לסיפור.

מטרות השיעור

לזהות מתי מודל אורייני מוביל למשוואה ריבועית
להציב ערך נתון ולהעביר הכול לצד אחד מול 0 לפני הפתרון
לפתור בשיטה המתאימה: הוצאת גורם משותף, פירוק לגורמים או נוסחת השורשים
להשתמש בתכונת המכפלה המתאפסת כדי לא לאבד פתרונות (למשל x=0)
לשמור על דיוק כשהדיסקרימיננטה אינה ריבוע מדויק, ולעגל רק בסוף

הרעיון המרכזי

שלושת השלבים לפתרון משוואה מתוך מודל

שלב 1 — הצבה והשוואה ל-0: מציבים את הערך הנתון בתבנית, ומעבירים את כל האיברים לצד אחד כך שבצד השני נשאר 0. משוואה ריבועית פותרים רק כשהיא בצורה $a x^{2} + b x + c = 0$ .

שלב 2 — בחירת שיטת פתרון:

אם אין מקדם חופשי (c=0) ⟸ גורם משותף: x(ax+b)=0.
אם הפירוק "נחמד" ⟸ פירוק לגורמים: $(x - r_{1}) (x - r_{2}) = 0$ .
תמיד אפשר ⟸ נוסחת השורשים: $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ .

שלב 3 — פירוש: כל פתרון מקבל משמעות בסיפור; את הפתרונות שאין להם משמעות (זמן/מרחק/מחיר שלילי) נפסול בשיעור הבא.

תכונת המכפלה המתאפסת — ולמה אסור לחלק ב-x

אם מכפלה שווה לאפס, אחד הגורמים לפחות הוא אפס: מ-x(-x+8)=0 נובע x=0 או -x+8=0. אם "נחלק ב-x" כדי לפשט, נאבד את הפתרון x=0 — שלעיתים הוא דווקא בעל משמעות (נקודת ההתחלה). לכן לא מחלקים במשתנה; משאירים מכפלה מול אפס.

דיוק כשהדיסקרימיננטה אינה ריבוע מדויק

כש- $b^{2} - 4 a c$ אינו ריבוע שלם (למשל 130), השורש אינו "יפה". כדאי לשמור על הביטוי המדויק $130$ עד סוף החישוב, ולעגל אך ורק בתשובה הסופית, לפי מספר הספרות שהתבקש. עיגול מוקדם מדי גורר תשובה לא מדויקת.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חיתוך עם ציר x בהוצאת גורם משותף

זרם מזרקה: $y=-x^{2}+8x$ . באיזה x פוגשים מי המזרקה את מי הבריכה $(y=0)$ ?

x (- x + 8) = 0 \Rightarrow x = 0 או x = 8

שימו לב: לא חילקנו ב-x, ולכן לא איבדנו את x=0.

שלב 1 — מציבים $y=0$

0=-x^{2}+8x

. כבר מושווה ל-0.

בדיקה מהירה

מסלול זרם מזרקה מתואר ב- $y=-x^{2}+8x (y$ גובה במטרים, x מרחק אופקי). באיזה ערך של x פוגשים מי המזרקה את מי הבריכה (כלומר $y=0)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: הגעה לערך נתון — הצבה, השוואה ל-0 ופירוק

גובה כדור: $y=-5x^{2}+25x$ . כעבור כמה שניות היה בגובה 30 מטר?

x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2, 3

שלב 1 — מציבים $y=30$

30=-5x^{2}+25x

תשובה מספרית

אופנוען יוצא מהעיר ומרחקו ממנה (בק"מ) מתואר ב- $M(t)=t^{2}+5t (t$ בשעות). כעבור כמה שעות היה מרחקו מהעיר 84 ק"מ? (קחו את הפתרון החיובי.)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: נוסחת השורשים עם דיסקרימיננטה שהיא ריבוע מדויק

מרחק אופנוען מהעיר: $M(t)=t^{2}+5t ($ ק״מ). כעבור כמה שעות המרחק 84 ק״מ?

t = \frac{- 5 \pm 361}{2} = \frac{- 5 \pm 19}{2} \Rightarrow t = 7

שלב 1 — מציבים ומשווים ל-0

t^{2}+5t=84 ⟸ t^{2}+5t-84=0

תשובה מספרית

במימון טיול, הסכום שנאסף (ב-₪) הוא $y=(20+x)(60-2x)$ , כאשר $x \ge 0$ מספר החברים החדשים. כמה חברים חדשים הצטרפו אם נאספו 800 ₪? (בחרו את הפתרון המתאים לסיטואציה.)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: דיסקרימיננטה שאינה ריבוע מדויק — דיוק ועיגול בסוף

גובה כדור: $y=-5x^{2}+10x+1.5$ . תוך כמה שניות חזר לקרקע? (שתי ספרות עשרוניות)

x = \frac{- 10 \pm 130}{- 10} \Rightarrow x \approx 2.14

עיגלנו רק בתשובה הסופית — לא באמצע החישוב.

שלב 1 — $y=0$

-5x^{2}+10x+1.5=0

תשובה מספרית

גובה כדור (במטרים) הוא $y=-5x^{2}+10x+1.5 (x$ בשניות). תוך כמה שניות מרגע הזריקה חזר הכדור לקרקע? דייקו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

סטייה מותרת: ±0.01

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: פותרים בלי להשוות ל-0 קודם

טעות: מ- $30 = - 5 x^{2} + 25 x$ לקרוא ישר "מקדמים a=-5,b=25,c=30".

נכון: קודם $- 5 x^{2} + 25 x - 30 = 0$ , ואז c=-30.

למה זה קורה?

מציבים את הערך הנתון ומיד מנסים לפרק או להשתמש בנוסחת השורשים, בלי להעביר הכול לצד אחד.

איך מתקנים?

נוסחת השורשים והפירוק עובדים רק על משוואה בצורה

ax^{2}+bx+c=0

. תמיד מעבירים את הערך הנתון לצד אחד ומשווים ל-0.

טעות נפוצה: מחלקים ב-x ומאבדים את הפתרון $x=0$

טעות: מ-x(-x+8)=0 לחלק ב-x ולקבל רק x=8.

נכון: x=0 או x=8 — שני פתרונות.

למה זה קורה?

כדי 'לפשט' את

x(-x+8)=0

מחלקים בשני האגפים ב-x.

איך מתקנים?

לא מחלקים במשתנה. משאירים מכפלה מול אפס ומשתמשים בתכונת המכפלה המתאפסת: כל גורם בנפרד שווה לאפס.

טעות נפוצה: מעגלים מוקדם מדי כשהדיסקרימיננטה אינה ריבוע מדויק

$130 \approx 11.40$ — משתמשים בערך זה רק בשלב האחרון, לא לפני כן.

למה זה קורה?

מחליפים את

\sqrt{130}

בערך מעוגל כבר באמצע, והשגיאה מצטברת.

איך מתקנים?

שומרים על הביטוי המדויק

(\sqrt{130})

לאורך החישוב, ומעגלים אך ורק בתשובה הסופית לפי מספר הספרות שהתבקש.

סיכום

מה למדנו?

פתרון משוואה ריבועית מתוך מודל — שלושה שלבים:

הצבה והשוואה ל-0: מציבים את הערך הנתון, מעבירים הכול לצד אחד ⟸ $a x^{2} + b x + c = 0$ .
שיטת פתרון: גורם משותף (אין c), פירוק (פירוק נחמד), או נוסחת השורשים (תמיד).
פירוש: כל פתרון מקבל משמעות בסיפור.

זכרו:

תכונת המכפלה המתאפסת — לא מחלקים ב-x, כדי לא לאבד את x=0.
כשהדיסקרימיננטה אינה ריבוע מדויק — שומרים דיוק ומעגלים רק בסוף.

בשיעור הבא נבנה מודל ריבועי שלם מתוך תיאור מילולי ונמצא ערכי קיצון בעזרת הקודקוד.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פתרון משוואות ריבועיות הנובעות ממודלים — מחיתוך עם הצירים ועד הגעה לערך נתון!

פתרון משוואה ריבועית בהקשר המודל

פתרון משוואה ריבועית בהקשר המודל

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חיתוך עם ציר x בהוצאת גורם משותף

זרם מזרקה: y=−x2+8xy=-x^{2}+8xy=−x2+8x. באיזה x פוגשים מי המזרקה את מי הבריכה (y=0)(y=0)(y=0)?

דוגמה 2: הגעה לערך נתון — הצבה, השוואה ל-0 ופירוק

גובה כדור: y=−5x2+25xy=-5x^{2}+25xy=−5x2+25x. כעבור כמה שניות היה בגובה 30 מטר?

דוגמה 3: נוסחת השורשים עם דיסקרימיננטה שהיא ריבוע מדויק

מרחק אופנוען מהעיר: M(t)=t2+5t(M(t)=t^{2}+5t (M(t)=t2+5t(ק״מ). כעבור כמה שעות המרחק 84 ק״מ?

דוגמה 4: דיסקרימיננטה שאינה ריבוע מדויק — דיוק ועיגול בסוף

גובה כדור: y=−5x2+10x+1.5y=-5x^{2}+10x+1.5y=−5x2+10x+1.5. תוך כמה שניות חזר לקרקע? (שתי ספרות עשרוניות)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: פותרים בלי להשוות ל-0 קודם

טעות נפוצה: מחלקים ב-x ומאבדים את הפתרון x=0x=0x=0

טעות נפוצה: מעגלים מוקדם מדי כשהדיסקרימיננטה אינה ריבוע מדויק

סיכום

תרגול נוסף

זרם מזרקה: $y=-x^{2}+8x$ . באיזה x פוגשים מי המזרקה את מי הבריכה $(y=0)$ ?

גובה כדור: $y=-5x^{2}+25x$ . כעבור כמה שניות היה בגובה 30 מטר?

מרחק אופנוען מהעיר: $M(t)=t^{2}+5t ($ ק״מ). כעבור כמה שעות המרחק 84 ק״מ?

גובה כדור: $y=-5x^{2}+10x+1.5$ . תוך כמה שניות חזר לקרקע? (שתי ספרות עשרוניות)

טעות נפוצה: מחלקים ב-x ומאבדים את הפתרון $x=0$