בעיות מודלינג: תנועה, רווח ושטח

מבוא

עד כה קיבלנו את התבנית הריבועית מוכנה. עכשיו האתגר האמיתי של אוריינות מתמטית: לקרוא בעיה מילולית ולבנות בעצמנו את המודל הריבועי, ואז להפיק ממנו מידע. נעבוד בשלושה תחומים אופייניים לבגרות 3 יח"ל: תנועה וגובה (קליע, כדור, אבן), רווח והכנסה (₪), ושטח (מגרשים וגינות עם היקף נתון). בכל המקרים נשתמש בתכונות הפרבולה בלבד — ובמיוחד בקודקוד דרך $x = - \frac{b}{2 a}$ — כדי למצוא ערך מקסימלי או מינימלי. אין כאן חשבון דיפרנציאלי.

מטרות השיעור

לבנות מודל ריבועי מתוך תיאור מילולי בתחומי תנועה, רווח ושטח
למצוא ערך מקסימלי או מינימלי באמצעות קודקוד הפרבולה — $x = - \frac{b}{2 a}$
להציב בחזרה את שיעור ה-x של הקודקוד כדי לקבל את ערך הקיצון
לקבוע אם הקודקוד הוא מקסימום (a<0) או מינימום (a>0) ולחבר זאת לסיפור
בבעיות שטח: לתרגם היקף קבוע לקשר בין הממדים ולבנות פרבולה

הרעיון המרכזי

הקודקוד בלי גזירה — $x=-\frac{b}{2a}$ , ואז הצבה חזרה

במסלול 3 יח"ל לא משתמשים בגזירה. ערך הקיצון (מקסימום או מינימום) של פונקציה ריבועית מושג בקודקוד הפרבולה:

שלב א: שיעור ה-x של הקודקוד הוא $x = - \frac{b}{2 a}$ . זהו ה"מתי / היכן / באיזה מחיר" מושג הקיצון.

שלב ב: מציבים את ה-x הזה בחזרה בפונקציה כדי לקבל את ערך הקיצון עצמו (הגובה / הרווח / השטח).

הסוג: אם a>0 — מינימום; אם a<0 — מקסימום.

שלושה תחומי מודלינג ואיך בונים בכל אחד

תנועה וגובה: x הזמן, y הגובה. הגובה ההתחלתי הוא המקדם החופשי; הגובה המרבי הוא y של הקודקוד; הקרקע היא y=0.

רווח / הכנסה: לרוב $(מספר יחידות) \times (מחיר ליחידה)$ , ושני הגורמים לינאריים ב-x — המכפלה ריבועית. הרווח המרבי בקודקוד.

שטח עם היקף קבוע: מתרגמים את ההיקף לקשר בין הצלעות (למשל היקף 40 ⟸ סכום שתי צלעות =20 ⟸ הצלע השנייה 20-x). השטח A=x(20-x) ריבועי, והשטח המרבי בקודקוד.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: תנועה — זמן הגובה המקסימלי (שיעור x של הקודקוד)

גובה כדור: $y=-5x^{2}+25x (x$ בשניות). כעבור כמה זמן הגובה מקסימלי?

x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{25}{2 ( - 5 )} = 2.5

שלב 1 — מזהים a, b

a=-5, b=25

תשובה מספרית

מזל זורקת כדור; גובהו (במטרים) הוא $y=-5x^{2}+25x (x$ בשניות). כעבור כמה שניות הגיע הכדור לגובה המקסימלי?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שטח עם היקף קבוע — בונים פרבולה ומוצאים שטח מרבי

40 מטר גדר למלבן. אם צלע אחת x, מהו השטח המרבי?

A (x) = 20 x - x^{2}, x = 10, A (10) = 100

שלב 1 — מתרגמים את ההיקף

היקף

40 ⟸ x +

הצלע השנייה

= 20 ⟸

הצלע השנייה

20-x

תשובה מספרית

חקלאי בונה מגרש מלבני בעל היקף 40 מטר; שטחו הוא $A(x)=x(20-x) (x$ אורך צלע במטרים). מהו השטח המרבי האפשרי, במ"ר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: רווח — מחיר אופטימלי והרווח המרבי

רווח (אלפי $₪): P=-2x^{2}+40x-150 (x$ מחיר ב-₪). מהו המחיר שממקסם את הרווח, ומהו הרווח המרבי?

x = - \frac{40}{2 ( - 2 )} = 10, P (10) = 50

שלב 1 — שיעור x של הקודקוד

x=-\frac{b}{2a}=-40/(2 \cdot (-2))=10

. המחיר האופטימלי 10 ₪.

תשובה מספרית

רווח חודשי של מפעל (ב-₪ אלפי) הוא $P=-2x^{2}+40x-150$ , כאשר x מחיר המוצר ב-₪. עבור איזה מחיר (ב-₪) הרווח מרבי?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: גידור מול קיר — תרגום היקף לא-שגרתי

60 מטר גדר לשלוש צלעות (הרביעית קיר). הצלע הניצבת לקיר היא x. מהו השטח המרבי?

A (x) = 60 x - 2 x^{2}, x = 15, A (15) = 450

שלב 1 — מתרגמים את הגדר

שתי צלעות באורך x והצלע מול הקיר

60-2x (

כי

2x+(60-2x)=60)

בחירה מרובה

קבוצה של 20 חברים יוצאת לטיול; הסכום שנאסף (ב-₪) הוא $y=(20+x)(60-2x)$ , כאשר $x \ge 0$ מספר החברים החדשים. סמנו את כל הקביעות הנכונות לגבי הסכום המרבי.

בחרו את כל התשובות הנכונות

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מנסים לגזור כדי למצוא מקסימום/מינימום

טעות: לגזור את $P = - 2 x^{2} + 40 x - 150$ .

נכון: $x = - \frac{b}{2 a} = 10$ — בלי גזירה.

למה זה קורה?

מכירים מהקשרים אחרים שמקסימום נמצא בעזרת נגזרת

= 0

איך מתקנים?

במסלול 3 יח״ל אין גזירה. ערך הקיצון נמצא בקודקוד הפרבולה, ושיעור ה-x שלו הוא

x=-\frac{b}{2a}

— תכונה של הפרבולה.

טעות נפוצה: עוצרים ב- $x=-\frac{b}{2a}$ ומדווחים אותו כערך הקיצון

טעות: "השטח המרבי הוא 10" (מתוך x=10).

נכון: x=10 הוא הצלע; השטח הוא A(10)=100.

למה זה קורה?

חושבים ש-

-\frac{b}{2a}

הוא 'המקסימום', אך הוא רק שיעור ה-x של הקודקוד.

איך מתקנים?

-\frac{b}{2a}

נותן את ה-x (הזמן/המחיר/המידה). את ערך הקיצון (הגובה/הרווח/השטח) מקבלים בהצבה חזרה בפונקציה.

טעות נפוצה: בונים מודל ליניארי במקום ריבועי בבעיית שטח

טעות: $A = 20 \cdot x$ (צלע שנייה קבועה).

נכון: A=x(20-x) — שתי הצלעות תלויות זו בזו.

למה זה קורה?

מציבים מספר קבוע במקום לתרגם את ההיקף לקשר בין הצלעות.

איך מתקנים?

היקף קבוע נותן קשר בין הצלעות (צלע שנייה = חצי-היקף פחות x). השטח הוא מכפלת שתי הצלעות — תמיד ריבועי.

סיכום

מה למדנו?

בניית מודל ריבועי ומציאת קיצון — ללא גזירה:

תנועה/גובה: x זמן, y גובה; גובה התחלתי = מקדם חופשי, גובה מרבי = y של הקודקוד.
רווח/הכנסה: מכפלת (כמות)×(מחיר) — פרבולה; הרווח המרבי בקודקוד.
שטח/היקף קבוע: מתרגמים את ההיקף לקשר בין הצלעות; $A = x (חצי-היקף - x)$ .

זכרו:

ערך הקיצון בקודקוד: $x = - \frac{b}{2 a}$ , ואז הצבה חזרה לקבלת הערך.
a>0 ⟸ מינימום, a<0 ⟸ מקסימום.

בשיעור הבא נתמקד בתחום בעל המשמעות ובפסילת פתרונות שאינם מתאימים לסיטואציה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על בניית מודלים של תנועה, רווח ושטח ועל מציאת ערכי מקסימום ומינימום בעזרת הקודקוד!

בעיות מודלינג: תנועה, רווח ושטח

בעיות מודלינג: תנועה, רווח ושטח

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: תנועה — זמן הגובה המקסימלי (שיעור x של הקודקוד)

גובה כדור: y=−5x2+25x(xy=-5x^{2}+25x (xy=−5x2+25x(x בשניות). כעבור כמה זמן הגובה מקסימלי?

דוגמה 2: שטח עם היקף קבוע — בונים פרבולה ומוצאים שטח מרבי

40 מטר גדר למלבן. אם צלע אחת x, מהו השטח המרבי?

דוגמה 3: רווח — מחיר אופטימלי והרווח המרבי

רווח (אלפי ₪):P=−2x2+40x−150(x₪): P=-2x^{2}+40x-150 (x₪):P=−2x2+40x−150(x מחיר ב-₪). מהו המחיר שממקסם את הרווח, ומהו הרווח המרבי?

דוגמה 4: גידור מול קיר — תרגום היקף לא-שגרתי

60 מטר גדר לשלוש צלעות (הרביעית קיר). הצלע הניצבת לקיר היא x. מהו השטח המרבי?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מנסים לגזור כדי למצוא מקסימום/מינימום

טעות נפוצה: עוצרים ב-x=−b2ax=-\frac{b}{2a}x=−2ab​ ומדווחים אותו כערך הקיצון

טעות נפוצה: בונים מודל ליניארי במקום ריבועי בבעיית שטח

סיכום

תרגול נוסף

גובה כדור: $y=-5x^{2}+25x (x$ בשניות). כעבור כמה זמן הגובה מקסימלי?

רווח (אלפי $₪): P=-2x^{2}+40x-150 (x$ מחיר ב-₪). מהו המחיר שממקסם את הרווח, ומהו הרווח המרבי?

טעות נפוצה: עוצרים ב- $x=-\frac{b}{2a}$ ומדווחים אותו כערך הקיצון