מעבר בין ייצוג מילולי, גרפי ואלגברי

מבוא

במודל הריבועי אותה סיטואציה מהחיים יכולה להופיע בשלוש "שפות" שונות: סיפור מילולי ("מזל זורקת כדור כלפי מעלה..."), גרף של פרבולה במערכת צירים, ותבנית אלגברית מהצורה $y = a x^{2} + b x + c$ . שלוש השפות מתארות את אותו דבר, והמיומנות החשובה ביותר ביחידה הזו היא לעבור ביניהן בחופשיות — לקרוא סיפור ולדעת איזו פרבולה ואיזו תבנית מתאימות לו, או לקבל תבנית ולדעת איזה גרף ואיזה סיפור עומדים מאחוריה.

מטרות השיעור

לתרגם תיאור מילולי של תופעה לתבנית ריבועית ולגרף של פרבולה
לזהות מתוך הסיפור את כיוון הפתיחה (סימן a) לפי "מקסימום או מינימום"
לקשר את הגובה/הערך ההתחלתי לחיתוך עם ציר y (הערך ב-x=0)
לקשר את הערך הקיצוני (מקסימום/מינימום) לשיעור ה-y של הקודקוד
להתאים גרף נתון לתבנית (ולהיפך) ולנמק את הבחירה לפי שלוש תכונות

הרעיון המרכזי

שלוש השפות של המודל הריבועי

מילולי → אלגברי: קוראים את הסיפור ומזהים מה הגודל על כל ציר (למשל x זמן, y גובה), ומה הקשר ביניהם. בונים את התבנית $y = a x^{2} + b x + c$ .

אלגברי ↔ גרפי: קוראים מהתבנית את צורת הפרבולה (כפי שלמדנו ביחידה הקודמת):

סימן a — פתיחה כלפי מעלה (a>0, קודקוד מינימום) או כלפי מטה (a<0, קודקוד מקסימום).
המקדם החופשי c — שיעור ה-y של החיתוך עם ציר y (הערך ב-x=0).
$x = - \frac{b}{2 a}$ — שיעור ה-x של הקודקוד וציר הסימטריה.

גרפי → מילולי: מפרשים כל מאפיין של הפרבולה במונחי הסיפור — קודקוד = ערך קיצוני, חיתוך עם y = ערך התחלתי, חיתוך עם x = הרגע/המקום שבו הגודל מתאפס.

המתרגם הקטן: ביטויים מהסיפור והמשמעות המתמטית שלהם

"מאיזה גובה נזרק" / "ההון ההתחלתי" / "כמה גובים בהתחלה" ⟸ חיתוך עם ציר y (הצבת x=0).
"הגובה המקסימלי" / "הרווח המרבי" / "הערך הנמוך ביותר" ⟸ שיעור ה-y של הקודקוד.
"מתי / היכן מושג המקסימום" ⟸ שיעור ה-x של הקודקוד (-b/2a).
"מתי הכדור נוגע בקרקע" / "מתי הרווח אפס" ⟸ חיתוך עם ציר x (הצבת y=0).
"עולה ואז יורד" ⟸ מקסימום, a<0. "יורד ואז עולה" ⟸ מינימום, a>0.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מסיפור לתכונות הפרבולה

מזל זורקת כדור כלפי מעלה: הוא עולה, מגיע לשיא ויורד לקרקע. אילו תכונות חייבות להיות לפרבולה?

עולה ואז יורד \Rightarrow מקסימום \Rightarrow a < 0

שלב 1 — מה על כל ציר

x =

הזמן מרגע הזריקה

, y =

הגובה מעל הקרקע.

בדיקה מהירה

מזל זורקת כדור כלפי מעלה. הכדור עולה, מגיע לגובה מקסימלי ואז יורד וחוזר לקרקע. איזו תכונה חייבת להיות לפרבולה $y=ax^{2}+bx+c$ המתארת את גובה הכדור?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: הגובה ההתחלתי הוא החיתוך עם ציר y

גובה כדור: $y=-5x^{2}+10x+1.5 (x$ בשניות). מאיזה גובה נזרק הכדור?

y (0) = - 5 \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + 1.5 = 1.5

שלב 1 — "רגע הזריקה" הוא $x=0$

הגובה ההתחלתי הוא הערך ב-

x=0

, כלומר החיתוך עם ציר y.

תשובה מספרית

גובה כדור (במטרים) מתואר בתבנית $y=-5x^{2}+10x+1.5$ , כאשר x הזמן בשניות מרגע הזריקה. מאיזה גובה (במטרים) נזרק הכדור? (זהו הגובה ברגע $x=0.)$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מסיפור לתבנית — מכפלה של מספר משלמים במחיר

20 חברים משלמים 60 ₪ כל אחד; כל חבר חדש מוזיל את המחיר ב-2 ₪. נסמן ב-x חברים חדשים. מהי התבנית לסכום שנאסף?

y = (20 + x) (60 - 2 x) = 1200 + 20 x - 2 x^{2}

זוהי פרבולה הפותחת כלפי מטה (a=-2<0) — יש סכום מרבי.

שלב 1 — מספר המשלמים

20 המקוריים ועוד x חדשים:

20+x

משלמים.

בדיקה מהירה

קבוצה של 20 חברים יוצאת לטיול; כל אחד משלם 60 ₪. כל חבר חדש שמצטרף מוזיל את המחיר ב-2 ₪ לכל מטייל. נסמן ב-x את מספר החברים החדשים. איזו תבנית מתארת את סכום הכסף הכולל שנאסף?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מתאימים תבנית לתיאור מילולי לפי שלוש תכונות

רווח מפעל (מיליוני ₪): פרבולה הפותחת כלפי מטה, חותכת את ציר y בגובה 6, וקודקוד בערך x חיובי. איזו תבנית מתאימה?

a < 0, c = 6, x_{קודקוד} = - \frac{4}{2 ( - 1 )} = 2 > 0

שלב 1 — פתיחה כלפי מטה

a<0

. פוסלים כל תבנית עם

a>0 (

למשל

y=x^{2}+4x+6)

תשובה קצרה

קשת פנימית של גשר מתוארת בפונקציה $y=-x^{2}+9$ , כאשר ציר ה-x מונח בגובה פני המים וציר ה-y עובר בקודקוד הקשת. מהו הגובה המרבי של הקשת מעל המים (במטרים)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בוחרים פרבולה עם מינימום $(a>0)$ למסלול של גובה קליע

טעות: לתאר זריקת כדור כלפי מעלה בפרבולה הפותחת כלפי מעלה.

נכון: הכדור עולה ואז יורד — מקסימום — ולכן a<0.

למה זה קורה?

מתבלבלים בין הצורה הכללית של פרבולה לבין מה שהסיפור מחייב.

איך מתקנים?

גובה שעולה ואז יורד = מקסימום = פתיחה כלפי מטה

(a<0)

. גובה/עלות שיורדת ואז עולה = מינימום

= a>0

טעות נפוצה: מבלבלים בין הגובה ההתחלתי לגובה המקסימלי

ב- $y = - 5 x^{2} + 10 x + 1.5$ : הגובה ההתחלתי הוא 1.5 (ב-x=0), אך הגובה המקסימלי הוא 6.5 (בקודקוד x=1).

למה זה קורה?

גם הערך ההתחלתי וגם הערך הקיצוני הם 'גבהים', וקל לערבב ביניהם.

איך מתקנים?

הגובה ההתחלתי = החיתוך עם ציר y (הצבת

x=0)

. הגובה המקסימלי = שיעור ה-y של הקודקוד

(x=-\frac{b}{2a}

, ואז הצבה חזרה).

טעות נפוצה: מתאימים גרף לתבנית רק לפי כיוון הפתיחה

שתי פרבולות יכולות לפתוח כלפי מטה אך להיבדל בחיתוך עם ציר y או במיקום הקודקוד — חובה לבדוק את שלוש התכונות.

למה זה קורה?

בודקים את סימן a בלבד ומתעלמים מהחיתוך עם ציר y וממיקום הקודקוד.

איך מתקנים?

התאמת גרף לתבנית דורשת שלוש בדיקות:

(1)

סימן

a, (2)

המקדם החופשי c (חיתוך עם

y), (3)

הסימן של

-\frac{b}{2a} (

צד הקודקוד).

טעות נפוצה: מחברים במקום להכפיל כשבונים מודל של 'סכום כולל'

טעות: y=(20+x)+(60-2x).

נכון: y=(20+x)(60-2x) — מכפלה, ולכן פרבולה.

למה זה קורה?

רואים שני ביטויים (מספר אנשים, מחיר) ומחברים אותם במקום להכפיל.

איך מתקנים?

סכום כולל = מספר יחידות × מחיר ליחידה — תמיד מכפלה. הכפלה של שני ביטויים לינאריים נותנת תבנית ריבועית.

סיכום

מה למדנו?

אותה סיטואציה ריבועית בשלושה ייצוגים — וכיצד עוברים ביניהם:

מילולי → אלגברי: מזהים מה על כל ציר ובונים את $y = a x^{2} + b x + c$ (לרוב כמכפלת שני ביטויים לינאריים).
אלגברי ↔ גרפי: סימן a (פתיחה/סוג קודקוד), c (חיתוך עם y), $- \frac{b}{2 a}$ (קודקוד וציר סימטריה).
גרפי → מילולי: קודקוד = ערך קיצוני, חיתוך עם y = ערך התחלתי, חיתוך עם x = רגע/מקום שבו הגודל מתאפס.

זכרו:

"עולה ואז יורד" ⟸ מקסימום ⟸ a<0; "יורד ואז עולה" ⟸ מינימום ⟸ a>0.
התאמת גרף לתבנית = שלוש בדיקות: סימן a, ערך c, וסימן -b/2a.

בשיעור הבא נפתור משוואה ריבועית הנובעת מתוך מודל ונפרש כל פתרון לפי הסיפור.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מעבר בין תיאור מילולי, גרף של פרבולה ותבנית אלגברית!

מעבר בין ייצוג מילולי, גרפי ואלגברי

מעבר בין ייצוג מילולי, גרפי ואלגברי

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מסיפור לתכונות הפרבולה

מזל זורקת כדור כלפי מעלה: הוא עולה, מגיע לשיא ויורד לקרקע. אילו תכונות חייבות להיות לפרבולה?

דוגמה 2: הגובה ההתחלתי הוא החיתוך עם ציר y

גובה כדור: y=−5x2+10x+1.5(xy=-5x^{2}+10x+1.5 (xy=−5x2+10x+1.5(x בשניות). מאיזה גובה נזרק הכדור?

דוגמה 3: מסיפור לתבנית — מכפלה של מספר משלמים במחיר

20 חברים משלמים 60 ₪ כל אחד; כל חבר חדש מוזיל את המחיר ב-2 ₪. נסמן ב-x חברים חדשים. מהי התבנית לסכום שנאסף?

דוגמה 4: מתאימים תבנית לתיאור מילולי לפי שלוש תכונות

רווח מפעל (מיליוני ₪): פרבולה הפותחת כלפי מטה, חותכת את ציר y בגובה 6, וקודקוד בערך x חיובי. איזו תבנית מתאימה?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בוחרים פרבולה עם מינימום (a>0)(a>0)(a>0) למסלול של גובה קליע

טעות נפוצה: מבלבלים בין הגובה ההתחלתי לגובה המקסימלי

טעות נפוצה: מתאימים גרף לתבנית רק לפי כיוון הפתיחה

טעות נפוצה: מחברים במקום להכפיל כשבונים מודל של 'סכום כולל'

סיכום

תרגול נוסף

גובה כדור: $y=-5x^{2}+10x+1.5 (x$ בשניות). מאיזה גובה נזרק הכדור?

טעות נפוצה: בוחרים פרבולה עם מינימום $(a>0)$ למסלול של גובה קליע